Seria Bell

În matematică , seria lui Bell este o serie formală de putere utilizată pentru a studia proprietățile funcțiilor aritmetice multiplicative . Acest gen de serie a fost introdus și dezvoltat de Eric Temple Bell .

Să luăm în considerare o funcție aritmetică $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ și un număr prim $p$ ${\ displaystyle p}$ $p$ , este definit ca seria lui Bell de $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ modul $p$ ${\ displaystyle p}$ $p$ seria formală de putere $f_{p}(x)$ ${\ displaystyle f_ {p} (x)}$ ${\ displaystyle f_ {p} (x)}$ exprimat ca

f_{p}(x):=\sum _{n=0}^{\infty }f(p^{n})x^{n}.

{\ displaystyle f_ {p} (x): = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} f (p ^ {n}) x ^ {n}.}

{\ displaystyle f_ {p} (x): = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} f (p ^ {n}) x ^ {n}.}

Teorema unicității este valabilă: date două funcții multiplicative $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ Și $g$ ${\ displaystyle g}$ $g$ , se întâmplă asta $f=g$ ${\ displaystyle f = g}$ ${\ displaystyle f = g}$ dacă și numai dacă $f_{p}(x)=g_{p}(x)$ ${\ displaystyle f_ {p} (x) = g_ {p} (x)}$ ${\ displaystyle f_ {p} (x) = g_ {p} (x)}$ pentru toate primele cursuri $p .$ ${\ displaystyle p.}$ ${\ displaystyle p.}$

O teoremă a înmulțirii este valabilă și pentru orice pereche de funcții aritmetice $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ Și $g$ ${\ displaystyle g}$ $g$ , denotăm cu $h=f*g$ ${\ displaystyle h = f * g}$ ${\ displaystyle h = f * g}$ convoluția lor Dirichlet . Apoi pentru orice număr prim $p$ ${\ displaystyle p}$ $p$ da ai

h_{p}(x)=f_{p}(x)g_{p}(x).

{\ displaystyle h_ {p} (x) = f_ {p} (x) g_ {p} (x).}

{\ displaystyle h_ {p} (x) = f_ {p} (x) g_ {p} (x).}

În special, acest lucru face mai ușor să găsiți seria lui Bell dintr-o serie de inversuri Dirichlet .

De sine $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ atunci este o funcție complet multiplicativă

f_{p}(x)={\frac {1}{1-f(p)x}}.

{\ displaystyle f_ {p} (x) = {\ frac {1} {1-f (p) x}}.}

{\ displaystyle f_ {p} (x) = {\ frac {1} {1-f (p) x}}.}

Exemple

Următoarea listă prezintă seria Bell a celor mai cunoscute funcții aritmetice.

Funcția Möbius : $\mu _{p}(x)=1-x.$ ${\ displaystyle \ mu _ {p} (x) = 1-x.}$ ${\ displaystyle \ mu _ {p} (x) = 1-x.}$
Funcția Euler tozient : $\phi _{p}(x)={\frac {1-x}{1-px}}.$ ${\ displaystyle \ phi _ {p} (x) = {\ frac {1-x} {1-px}}.}$ ${\ displaystyle \ phi _ {p} (x) = {\ frac {1-x} {1-px}}.}$
Funcția Liouville : $\lambda _{p}(x)={\frac {1}{1+x}}.$ ${\ displaystyle \ lambda _ {p} (x) = {\ frac {1} {1 + x}}.}$ ${\ displaystyle \ lambda _ {p} (x) = {\ frac {1} {1 + x}}.}$
Funcția de alimentare $k$ ${\ displaystyle k}$ $k$ -thth (cu $k$ ${\ displaystyle k}$ $k$ întreg negativ): $({\textrm {Id}}_{k})_{p}(x)={\frac {1}{1-p^{k}x}}.$ ${\ displaystyle ({\ textrm {Id}} _ {k}) _ {p} (x) = {\ frac {1} {1-p ^ {k} x}}.}$ ${\ displaystyle ({\ textrm {Id}} _ {k}) _ {p} (x) = {\ frac {1} {1-p ^ {k} x}}.}$
Funcția Sigma : $(\sigma _{k})_{p}(x)={\frac {1}{1-\sigma _{k}(p)x+p^{k}x^{2}}}.$ ${\ displaystyle (\ sigma _ {k}) _ {p} (x) = {\ frac {1} {1- \ sigma _ {k} (p) x + p ^ {k} x ^ {2}} }.}$ ${\ displaystyle (\ sigma _ {k}) _ {p} (x) = {\ frac {1} {1- \ sigma _ {k} (p) x + p ^ {k} x ^ {2}} }.}$

Bibliografie

Tom M. Apostol (1976): Introducere în teoria numerelor analitice , Springer-Verlag, New York. ISBN 0-387-90163-9 (Capitolul 2.16).

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică