Funcția Liouville

În teoria numerelor , funcția Liouville , notată cu λ ( n ) și numită în onoarea lui Joseph Liouville , este o funcție aritmetică complet multiplicativă definită ca

$\lambda \left(n\right)=\left(-1\right)^{\sum _{k=1}^{r}e_{k}}$ ${\ displaystyle \ lambda \ left (n \ right) = \ left (-1 \ right) ^ {\ sum _ {k = 1} ^ {r} e_ {k}}}$ ${\ displaystyle \ lambda \ left (n \ right) = \ left (-1 \ right) ^ {\ sum _ {k = 1} ^ {r} e_ {k}}}$

unde n se intenționează a fi un număr întreg pozitiv și factorizarea acestuia să fie

$n=\prod _{k=1}^{r}p_{k}^{e_{k}}$ ${\ displaystyle n = \ prod _ {k = 1} ^ {r} p_ {k} ^ {e_ {k}}}$ ${\ displaystyle n = \ prod _ {k = 1} ^ {r} p_ {k} ^ {e_ {k}}}$

În mod echivalent, funcția Liouville poate fi definită ca:

\lambda (n)=(-1)^{\Omega (n)}\,\!

{\ displaystyle \ lambda (n) = (- 1) ^ {\ Omega (n)} \, \!}

{\ displaystyle \ lambda (n) = (- 1) ^ {\ Omega (n)} \, \!}

,

unde Ω (n) este numărul de factori mai întâi de n, numărați în multiplicitatea lor ^[1] .

Deoarece Ω ( n ) este aditiv , λ este complet multiplicativ . Mai mult, Ω (1) = 0 și, prin urmare, λ (1) = 1. Funcția Lioville îndeplinește următoarele identități :

\sum _{d|n}\lambda (d)=1\,\!

{\ displaystyle \ sum _ {d | n} \ lambda (d) = 1 \, \!}

{\ displaystyle \ sum _ {d | n} \ lambda (d) = 1 \, \!}

dacă n este un pătrat perfect și:

\sum _{d|n}\lambda (d)=0\,\!

{\ displaystyle \ sum _ {d | n} \ lambda (d) = 0 \, \!}

{\ displaystyle \ sum _ {d | n} \ lambda (d) = 0 \, \!}

in caz contrar.

Funcția Liouville este legată de funcția zeta Riemann prin următoarea formulă:

{\frac {\zeta (2s)}{\zeta (s)}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\lambda (n)}{n^{s}}}

{\ displaystyle {\ frac {\ zeta (2s)} {\ zeta (s)}} = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {\ lambda (n)} {n ^ {s }}}}

{\ displaystyle {\ frac {\ zeta (2s)} {\ zeta (s)}} = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {\ lambda (n)} {n ^ {s }}}}

Seria Lambert pentru funcția Liouville este

\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\lambda (n)q^{n}}{1-q^{n}}}=\sum _{n=1}^{\infty }q^{n^{2}}={\frac {1}{2}}\left(\vartheta _{3}(q)-1\right),

{\ displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {\ lambda (n) q ^ {n}} {1-q ^ {n}}} = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} q ^ {n ^ {2}} = {\ frac {1} {2}} \ left (\ vartheta _ {3} (q) -1 \ right),}

{\ displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {\ lambda (n) q ^ {n}} {1-q ^ {n}}} = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} q ^ {n ^ {2}} = {\ frac {1} {2}} \ left (\ vartheta _ {3} (q) -1 \ right),}

cu suma din stânga similară funcției theta a lui Ramanujan . $\vartheta _{3}(q)$ ${\ displaystyle \ vartheta _ {3} (q)}$ ${\ displaystyle \ vartheta _ {3} (q)}$ este funcția theta Jacobi .

Funcția Liouville este legată de funcția Möbius prin următoarea identitate :

\lambda (n)=\sum _{d^{2}|n}\mu \left({\frac {n}{d^{2}}}\right)

{\ displaystyle \ lambda (n) = \ sum _ {d ^ {2} | n} \ mu \ left ({\ frac {n} {d ^ {2}}} \ right)}

{\ displaystyle \ lambda (n) = \ sum _ {d ^ {2} | n} \ mu \ left ({\ frac {n} {d ^ {2}}} \ right)}

Conjecturi

Pólya a presupus că $L(n)=\sum _{k=1}^{n}\lambda (k)\leq 0$ ${\ displaystyle L (n) = \ sum _ {k = 1} ^ {n} \ lambda (k) \ leq 0}$ ${\ displaystyle L (n) = \ sum _ {k = 1} ^ {n} \ lambda (k) \ leq 0}$ pentru n > 1 ( conjectura lui Pólya ). Acest lucru sa dovedit a fi fals, n = 906150257 fiind un contraexemplu (găsit de Minoru Tanaka în 1980 ). Nu se știe dacă semnele modificărilor L (n) semnează de un număr infinit de ori.

De asemenea, definitorii $M(n)=\sum _{k=1}^{n}{\frac {\lambda (k)}{k}}$ ${\ displaystyle M (n) = \ sum _ {k = 1} ^ {n} {\ frac {\ lambda (k)} {k}}}$ ${\ displaystyle M (n) = \ sum _ {k = 1} ^ {n} {\ frac {\ lambda (k)} {k}}}$ , s-a presupus că $M(n)\geq 0$ ${\ displaystyle M (n) \ geq 0}$ ${\ displaystyle M (n) \ geq 0}$ pentru n suficient de mare (această presupunere este uneori atribuită necorespunzător lui Pál Turán ). Acest lucru a fost infirmat de Haselgrove în 1958 , care a dovedit că M ( n ) ia valori negative de un număr infinit de ori. Confirmarea acestei presupuneri ar fi dus la o dovadă a ipotezei Riemann , așa cum a arătat Pál Turán.

Notă

^ (EN) secvența A008836 , on -line Encyclopedia of Integer Sequences , Fundația OEIS.

Bibliografie

Tom M. Apostol (1976): Introducere în teoria numerelor analitice, Springer-Verlag, New York. ISBN 0-387-90163-9 (capitolul 2.12).
Polya, G., Verschiedene Bemerkungen zur Zahlentheorie. Jahresbericht der deutschen Math.-Vereinigung 28 (1919), 31-40.
Haselgrove, CB O dezaprobare a presupunerii lui Polya. Mathematika 5 (1958), 141-145.
Lehman, R., Despre funcția lui Liouville. Matematica. Comp. 14 (1960), 311-320.
M. Tanaka, O investigație numerică asupra sumei cumulative a funcției Liouville. Tokyo Journal of Mathematics 3 , 187-189, (1980).

Alte proiecte

Wikimedia Commons conține imagini sau alte fișiere despre funcția Liouville

linkuri externe

(EN) Eric W. Weisstein, funcția Liouville , în MathWorld Wolfram Research.

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică

[1] (EN) secvența A008836 , on -line Encyclopedia of Integer Sequences , Fundația OEIS.

[1]