Dimensiunea Krull

În algebră , dimensiunea Krull a unui inel comutativ unitar A este limita superioară a lungimii lanțurilor idealurilor prime . Dimensiunea Krull este deci un număr natural sau infinit ; ultimul caz apare atunci când există lanțuri infinite de idealuri primare sau când există lanțuri lungi în mod arbitrar.

Este numit după Wolfgang Krull , care l-a introdus în 1928. ^[1]

Definiție și proprietăți

Lungimea unui lanț de idealuri prime este definită ca numărul maxim de incluziuni înguste: astfel lanțul

P_{0}\subsetneq P_{1}\subsetneq \cdots \subsetneq P_{n}

{\ displaystyle P_ {0} \ subsetneq P_ {1} \ subsetneq \ cdots \ subsetneq P_ {n}}

{\ displaystyle P_ {0} \ subsetneq P_ {1} \ subsetneq \ cdots \ subsetneq P_ {n}}

are lungimea n . Înălțimea unui ideal prim P este extremă superioară a lungimii lanțurilor idealurilor prime descendente din P ; dimensiunea Krull a lui A este extremă superioară a înălțimilor idealurilor sale primare.

Un câmp , având un singur ideal prim (cel compus doar din 0) are dimensiunea 0; în schimb, de exemplu, inelul $\mathbb {Z}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Z}}$ $\ mathbb {Z}$ de numere întregi are dimensiunea 1, deoarece singurele idealuri prime nenule sunt i ( p ), unde p este un număr prim , iar dacă p și q sunt prime distincte, atunci ( p ) nu este conținut în ( q ) (și vice versa); prin urmare, lanțurile maxime ale idealurilor prime sunt le $(0)\subset (p)$ ${\ displaystyle (0) \ subset (p)}$ ${\ displaystyle (0) \ subset (p)}$ . Acest lucru se întâmplă, mai general, în toate domeniile cu idealuri principale , care au deci dimensiunea 1.

În inelele noetheriene idealurile prime satisfac atât condiția lanțului ascendent, cât și cea a lanțului descendent, și, prin urmare, fiecare lanț de idealuri prime este finit. Cu toate acestea, acest lucru nu este suficient pentru a garanta că lanțurile au o lungime finită „uniform”, adică fiecare lanț este mai scurt decât n , pentru un n fix: un exemplu de inel noetherian de dimensiuni infinite a fost construit de Masayoshi Nagata . ^[2] Cu toate acestea, pentru inelele noetheriene locale , dimensiunea este în mod necesar finită.

Dimensiuni reduse

Un inel de dimensiunea 0 este un inel în care nu există izolare a idealurilor prime sau în care fiecare ideal prim este, de asemenea, maxim . În cazul Noetherian, inelele de dimensiune 0 sunt exact inelele artiniene , definite ca acele inele în care fiecare lanț descendent de idealuri (nu neapărat prime) este staționar. Un alt exemplu de inele de dimensiunea 0 (nu neapărat noetheriană) sunt inelele booleene .

Cele mai simple inele de dimensiunea 1 sunt inelele apreciate discret , care sunt domenii de integritate locală cu un singur ideal diferit de zero, care este, de asemenea, principal ; alte inele de dimensiunea unu sunt domeniile Dedekind , printre care inelele K [ X ], unde K este un câmp și inelul $\mathbb {Z}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Z}}$ $\ mathbb {Z}$ de numere întregi.

Dimensiunea dimensiunii

Mărimea locațiilor unui inel A este legată de înălțimea lui P : exact, dacă P este un ideal prim al lui A , atunci dimensiunea locației A _P este exact h ( P ).

Dimensiunea este păstrată pentru extensii întregi : acestea au, de fapt, proprietatea că este posibil să se „ridice” lanțurile idealurilor prime ( teorema ascendentă ) și că două idealuri prime conținute una în cealaltă nu se pot contracta la același ideal ( teorema incomparabilității); rezultă că extensiile întregi păstrează înălțimea idealurilor prime și, de asemenea, dimensiunea. În special, inelele numerelor întregi algebrice au aceeași dimensiune ca și $\mathbb {Z}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Z}}$ $\ mathbb {Z}$ , adică 1: fiecare ideal prim diferit de zero este maxim .

Dacă A este un inel noetherian local , atunci dimensiunea lui A este egală cu dimensiunea finalizării sale în raport cu idealul său maxim.

În general, nu este posibil să se calculeze dimensiunea inelului polinomilor A [ X ] pornind de la cea a lui A : fără alte ipoteze, cel mai bun rezultat general este

1+\dim(A)\leq \dim(A[X])\leq 1+2\cdot \dim(A).

{\ displaystyle 1+ \ dim (A) \ leq \ dim (A [X]) \ leq 1 + 2 \ cdot \ dim (A).}

{\ displaystyle 1+ \ dim (A) \ leq \ dim (A [X]) \ leq 1 + 2 \ cdot \ dim (A).}

^[3]

Pentru o gamă largă de inele (inclusiv inele Noetherian ^[4] și inele de evaluare ^[5] ), cu toate acestea, dimensiunea lui A [ X ] este exact 1 + dim ( A ). În consecință, datorită teoremei de bază a lui Hilbert , dacă A este noetherian (de exemplu, dacă A este un câmp ) atunci $\dim(A[X_{1},\ldots ,X_{n}])=n+\dim(A)$ ${\ displaystyle \ dim (A [X_ {1}, \ ldots, X_ {n}]) = n + \ dim (A)}$ ${\ displaystyle \ dim (A [X_ {1}, \ ldots, X_ {n}]) = n + \ dim (A)}$ .

În cazul inelului seriei formale A [[ X ]], situația este mai haotică și nu este pe deplin înțeleasă: este de fapt posibil ca A [[ X ]] să aibă dimensiune infinită chiar dacă dimensiunea lui A este 1, ca de exemplu în cazul unui inel de evaluare non-noetherian. ^[6] De asemenea, în acest caz, cazul noetherian este mai simplu de tratat: din moment ce $A[[X_{1},\ldots ,X_{n}]]$ ${\ displaystyle A [[X_ {1}, \ ldots, X_ {n}]]}$ ${\ displaystyle A [[X_ {1}, \ ldots, X_ {n}]]}$ este finalizarea $A[X_{1},\ldots ,X_{n}]_{(X_{1},\ldots ,X_{n})}$ ${\ displaystyle A [X_ {1}, \ ldots, X_ {n}] _ {(X_ {1}, \ ldots, X_ {n})}}$ ${\ displaystyle A [X_ {1}, \ ldots, X_ {n}] _ {(X_ {1}, \ ldots, X_ {n})}}$ , ai întotdeauna asta $\dim(A[[x_{1},\ldots ,x_{n}]])=n+\dim(A)$ ${\ displaystyle \ dim (A [[x_ {1}, \ ldots, x_ {n}]]) = n + \ dim (A)}$ ${\ displaystyle \ dim (A [[x_ {1}, \ ldots, x_ {n}]]) = n + \ dim (A)}$ .

Notă

^ Biografia lui Krull , în arhiva The MacTutor History of Mathematics , Universitatea din St Andrews . Adus la 18 decembrie 2010 .
^ Atiyah, Macdonald , p.126
^ Kaplansky , pp . 25-27 .
^ Kaplansky , p.108 .
^ Kaplansky , p.41 .
^ (EN) Jim Coykendall, Progress on the question dimension for power series rings, în James W. Brewer, Sarah Glaz, William J. Olberding Heinzer și Bruce M. (eds), Multiplicative Ideal Theory in Commutative Algebra, Springer, 2006, DOI : 10.1007 / 978-0-387-36717-0_8 , ISBN 0-387-24600-2 .

Bibliografie

( EN ) Michael Atiyah și Ian G. Macdonald , Introducere în algebră comutativă , Westview Press, 1969, ISBN 0-201-40751-5 .
Irving Kaplansky , Inele comutative , The University of Chicago Press, 1974, ISBN 0-226-42454-5 .

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică

[1] Biografia lui Krull , în arhiva The MacTutor History of Mathematics , Universitatea din St Andrews . Adus la 18 decembrie 2010 .

[2] Atiyah, Macdonald , p.126

[3] Kaplansky , pp . 25-27 .

[4] Kaplansky , p.108 .

[5] Kaplansky , p.41 .

[6] (EN) Jim Coykendall, Progress on the question dimension for power series rings, în James W. Brewer, Sarah Glaz, William J. Olberding Heinzer și Bruce M. (eds), Multiplicative Ideal Theory in Commutative Algebra, Springer, 2006, DOI : 10.1007 / 978-0-387-36717-0_8 , ISBN 0-387-24600-2 .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]