Harta de Poincaré

În matematică , și mai precis în contextul sistemelor dinamice , o hartă de primă întoarcere sau hartă Poincaré, numit astfel în onoarea lui Henri Poincaré , este intersecția unei " orbită periodică în spațiul de fază a unui sistem dinamic continuu cu o anumită subspațiu mai mic, numit secțiunea Poincaré, transversală la curgerea sistemului. Mai precis, considerăm o orbită periodică originar pe secțiunea Poincaré și observăm punctul în care orbita re-intersectează secțiunea pentru prima dată, de unde și numele primei hărți de retur. Transversity mijlocului secțiunii Poincaré că orbitele periodice care provin din subspațiul ea traversează în loc să fugă paralel cu aceasta.

O hartă Poincaré poate fi gândită ca un sistem dinamic discret , cu un spațiu de N-1 fază dimensional, unde N este dimensionalitatea spațiului original , sistem dinamic continuu. Din moment ce păstrează multe proprietăți ale orbitelor periodice și cvasi-periodice ale sistemului original și a, în comparație cu acesta din urmă, un spațiu de fază de dimensiuni reduse, secțiunea Poincaré este adesea folosit pentru a analiza sistemul original într-un mod mai simplu. În practică, acest lucru nu este întotdeauna posibil, deoarece nu există nici o metodă generală pentru construirea unei hărți Poincare.

O hartă Poincaré diferă de o hartă recurență în care este variabilele spațiale și nu de timp care determină momentul pentru a marca un punct. De exemplu, poziția Lunii , când Pământul se află în periheliu este o hartă recurență; poziția Lunii pe măsură ce trece prin planul în care se află soare și perpendicular pe orbita Pământului în periheliu este o hartă Poincare. Acest tip de hartă a fost folosit de către Michel Henon pentru a studia mișcarea de stele într - o galaxie , deoarece traiectoria unei stele proiectat pe un plan este o incurcatura complicat. Harta Poincaré în acest caz este în măsură să demonstreze structura mai clar.

Definiție

În secțiunea Poincaré S, Poincaré P hartă proiecte punctul x în punctul P (x).

Fie (R, M, φ) să fie un diferențiabilă sistem dinamic la nivel mondial , cu R set de numere reale , M spațiul de fază și φ funcția de evoluție . Să γ fie o orbită periodică printr - un punct de p și S să fie secțiunea locală diferențiabilă și transversală a φ prin p numit secțiunea Poincaré prin p.

Având în vedere un dialog deschis și conectat vecinătate U a lui p, o funcție

P:U\to S

{\ P displaystyle: U \ S}

{\ P displaystyle: U \ S}

este numit harta Poincaré pentru y orbita pe Poincaré secțiunea S prin punctul p se

P (p) = p
P (U) este o vecinătate a lui p și P (U) este un Difeomorfism
pentru fiecare punct x în U, atunci pozitivă pe jumătate orbita lui x intersecteaza S pentru prima dată în P (x)

Hărți Poincaré și analiza de stabilitate

Așa cum am menționat mai devreme, hărți Poincaré poate fi interpretat ca un sistem dinamic discret . Stabilitatea unei orbită periodică a sistemului original este strâns legată de stabilitatea punctului fix al hărții Poincaré corespunzătoare.

Având în vedere sistemul dinamic (R, M, φ) cu o orbită periodică γ trece prin p. Este

P:U\to S

{\ P displaystyle: U \ S}

{\ P displaystyle: U \ S}

Poincaré corespunzătoare hartă pentru p. Se definește atunci

P^{0}:=id_{U}

{\ P displaystyle ^ {0}: = id_ {U}}

{\ P displaystyle ^ {0}: = id_ {U}}

P^{n+1}:=P\circ P^{n}

{\ Displaystyle P ^ {n + 1}: = P \ ^ P Circ {n}}

{\ Displaystyle P ^ {n + 1}: = P \ ^ P Circ {n}}

P^{-n-1}:=P^{-1}\circ P^{-n}

{\ P displaystyle ^ {- n-1}: = P ^ {- 1} \ ^ {P Circ - n}}

{\ P displaystyle ^ {- n-1}: = P ^ {- 1} \ ^ {P Circ - n}}

Și

P(n,x):=P^{n}(x)

{\ P displaystyle (n, x): = P ^ {n} (x)}

{\ P displaystyle (n, x): = P ^ {n} (x)}

De aceea (Z, U, P) este un sistem dinamic discret în spațiul U și cu o funcție de evoluție

P:\mathbb {Z} \times U\to U.

{\ Displaystyle P: \ mathbb {Z} \ ori U \ la U.}

{\ Displaystyle P: \ mathbb {Z} \ ori U \ la U.}

Prin definiție , acest sistem are un punct fix la p, de fapt , P (p) = p.

Y orbita periodică a sistemului dinamic continuu este stabil dacă și numai dacă punctul fix p al sistemului dinamic discret este stabil.

Y orbita periodică a sistemului dinamic continuu este asimptotic stabil dacă și numai dacă punctul fix p al sistemului dinamic discret este asimptotic stabil.

Bibliografie

Nicholas B. Tufillaro, Poincaré Harta , (1997)
Shivakumar Jolad, Poincaré Harta și aplicarea ei 'Spinning Magnet' problema , (2005)

Elemente conexe

Alte proiecte

Wikimedia Commons conține imagini sau alte harta fișiere de Poincaré

linkuri externe

(RO) Eric W. Weisstein, Harta Poincaré , în mathworld , Wolfram Research.

Portalul de fizică

Portalul de matematică

V · D · M Teoria haosului
Teoria bifurcației	Furcă de bifurcație · Nod de șa de bifurcație · Bifurcație imperfectă · Bifurcație transcritică · Bifurcație Hopf · Larva Pin (sistem dinamic)
Fractale	Arta fractală · Buddhabrot · navă de ardere · compresie fractală · Koch fulg de zăpadă · curba Peano · curba Sierpinski · Dimensiunea Hausdorff · dimensiunii fractale · Funcția Cantor · Set Cantor · Set Julia · Mandelbrot · Fractalii pentru dimensiune Hausdorff · Cantor de praf · Sterling · Sierpinski Triangle · Dimensiunea Minkowski-Bouligand
Atractorii	Sistem Lorenz · Atractorul din Hénon · Harta Poincaré · Harta logistică · Harta potcoavelor · Spațiul de fază
Teoreticienii haosului	Edward Norton Lorenz · Aleksandr Lyapunov · Benoît Mandelbrot · Edward October · Henri Poincare · David Ruelle · Stephen Wolfram · James Yorke