Harta potcoavelor

Harta potcoavelor lui Smale

f

{\ displaystyle f}

f

este compoziția a trei transformări geometrice.

Se amestecă într-o minge reală de chit colorat după interacțiuni consecutive ale hărții potcoavelor.

În teoria haosului , o hartă potcoavă este orice element al unei clase de hărți haotice ale pătratului în sine, fundamental în studiul sistemelor dinamice . Harta a fost introdusă de Stephen Smale în timp ce studia comportamentul orbitelor oscilatorului van der Pol . Acțiunea hărții este definită geometric ca contracția pătratului, întinderea ulterioară a rezultatului într-o bandă lungă și în cele din urmă plierea acestuia în formă de potcoavă.

Descriere

Majoritatea punctelor ies în cele din urmă din pătrat după aplicarea hărții. Iterând harta, acestea din urmă vor merge la semidiscurile atașate pătratului unde vor converge într-un punct fix într-unul din semicercuri. Punctele care rămân în pătrat după iterații repetate formează un set fractal și fac parte din setul invariant al hărții.

Contracția, dilatarea și îndoirea hărții potcoavelor sunt tipice sistemelor haotice, dar nu sunt necesare și nici măcar suficiente. ^[1] În harta Smale, contracția și dilatarea sunt uniforme. Se compensează reciproc, astfel încât suprafața pătratului să nu se schimbe. Pliul a devenit simplu și îngrijit, astfel încât să puteți descrie cu ușurință orbitele care rămân în pătrat pentru totdeauna.

Pentru o hartă potcoavă:

există un număr infinit de orbite periodice;
există orbite periodice de perioadă arbitrar mare;
numărul orbitelor periodice crește exponențial cu perioada;
lângă fiecare punct al mulțimii invariante există un punct al unei orbite periodice.

Caracteristici

Harta potcoavelor $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ este un difeomorfism definit de o regiune $S.$ ${\ displaystyle S}$ $S.$ a avionului în sine. Regiunea $S.$ ${\ displaystyle S}$ $S.$ este un pătrat flancat de două semicercuri. Acțiunea de $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ se definește prin compoziția a trei transformări geometrice. Mai întâi pătratul este contractat vertical de un factor $\alpha <1/2$ ${\ displaystyle \ alpha <1/2}$ ${\ displaystyle \ alpha <1/2}$ . Semicercurile sunt contractate pentru a rămâne așa și, de asemenea, pentru a fi atașate dreptunghiului rezultat. Contractează cu un factor mai mic decât $1/2$ ${\ displaystyle 1/2}$ $1/2$ asigură că va exista un spațiu gol între cele două brațe ale potcoavelor. Dreptunghiul este apoi extins orizontal cu un factor $1/\alpha$ ${\ displaystyle 1 / \ alpha}$ ${\ displaystyle 1 / \ alpha}$ ; jumătatea discurilor rămâne neschimbată. În cele din urmă fâșia rezultată este pliată sub formă de potcoavă și repoziționată în $S.$ ${\ displaystyle S}$ $S.$ .

Partea interesantă este imaginea pătratului în sine. Odată ce această parte este definită, harta poate fi extinsă la un difeomorfism prin descrierea acțiunii sale asupra semicercurilor. Semidiscurile sunt destinate contractării și, în cele din urmă, mapării într-unul din cele două jumătăți de cerc (stânga din figură). Extensia de $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ semicercurilor atașate adaugă un punct fix setului non-rătăcitor al hărții. Pentru a menține clasa simplă a hărții lui Smale, regiunea curbată a potcoavului nu ar trebui să se întoarcă în pătrat.

Harta potcoavelor este injectivă , ceea ce înseamnă că inversul există $f^{-1}$ ${\ displaystyle f ^ {- 1}}$ $f ^ {- 1}$ când te strângi la imaginea $S.$ ${\ displaystyle S}$ $S.$ în comparație cu $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ .

Prin plierea benzii în moduri diferite, sunt posibile și alte tipuri de hărți potcoavă.

Variante ale hărții potcoavelor

Pentru a vă asigura că harta rămâne injectivă, pătratul contractat nu trebuie să se suprapună. Când acțiunea pe pătrat este extinsă la un difeomorfism, extinderea nu se poate face întotdeauna în plan. De exemplu, pentru a extinde harta din dreapta la un difeomorfism, trebuie să utilizați o „ capotă ” care se înfășoară în jurul ecuatorului.

Harta potcoavelor este un difeomorfism care satisface axioma A a lui Smale și care servește, de asemenea, ca model pentru comportamentul general într-un punct de homoclină transversal, unde varietățile stabile și instabile ale unui punct periodic se intersectează.

Dinamica

Harta potcoavelor a fost creată pentru dinamica haotică a unui flux în vecinătatea unei orbite periodice date. Cartierul ales este un mic disc perpendicular pe orbită . Pe măsură ce sistemul evoluează, punctele de pe disc rămân aproape de orbita periodică, urmărind orbitele care în cele din urmă vor intersecta din nou discul, iar celelalte orbite vor diferi în schimb.

Comportamentul tuturor orbitelor de pe disc poate fi determinat luând în considerare ce se întâmplă pe disc. Intersecția dintre disc și orbita periodică dată returnează fiecare perioadă la sine și la fel și punctele din jurul său. Când acest înconjurător revine, forma sa s-a schimbat. Printre punctele mapate în pătrat există puncte care vor părăsi discul și altele care vor reveni în continuare. Setul de puncte care nu părăsesc niciodată vecinătatea orbitei periodice formează un fractal.

Un nume simbolic poate fi dat orbitelor care rămân în jur. Discul inițial poate fi împărțit într-un număr mic de regiuni. Cunoscând succesiunea vizitelor de orbită în aceste regiuni, orbita poate fi localizată exact. Succesiunea vizitelor oferă o reprezentare simbolică a dinamicii, cunoscută sub numele de dinamică simbolică .

Orbite

Este posibil să se descrie comportamentul tuturor condițiilor inițiale ale hărții potcoavelor. Un punct de plecare $u_{0}=(x,y)$ ${\ displaystyle u_ {0} = (x, y)}$ ${\ displaystyle u_ {0} = (x, y)}$ este mapat la obiect $u_{1}=f(u_{0})$ ${\ displaystyle u_ {1} = f (u_ {0})}$ ${\ displaystyle u_ {1} = f (u_ {0})}$ . Iterația sa este punctul $u_{2}=f(u_{1})=f^{2}(u_{0})$ ${\ displaystyle u_ {2} = f (u_ {1}) = f ^ {2} (u_ {0})}$ ${\ displaystyle u_ {2} = f (u_ {1}) = f ^ {2} (u_ {0})}$ , și continuarea orbitei este generată $u_{0}$ ${\ displaystyle u_ {0}}$ $tu_ {0}$ , $u_{1}$ ${\ displaystyle u_ {1}}$ $u_1$ , $u_{2}$ ${\ displaystyle u_ {2}}$ $u_2$ , $\ldots$ ${\ displaystyle \ ldots}$ $\ ldots$

Cu interacțiuni repetate ale hărții Smale, majoritatea orbitelor ajung în punctul fix al semidiscului stâng. Acest lucru se întâmplă deoarece harta trimite semidiscul în sine printr-o transformare afină , care are exact un punct fix. Orice orbită care se termină în jumătatea discului stâng nu o va părăsi niciodată și va converge către punctul fix. Punctele din jumătatea cercului din dreapta sunt mapate către cel stâng la următoarea iterație, iar majoritatea punctelor sunt trimise pe jumătatea discurilor.

Iterează pătratul

Imagini și contramagini ale regiunii pătrate prin aplicarea hărții Smale

Prin interacțiunile înainte ale hărții potcoavelor, pătratul original este trimis într-o serie de dungi orizontale. Punctele acestor dungi orizontale provin din dungi verticale ale pătratului de pornire. Spus $S_{0}$ ${\ displaystyle S_ {0}}$ $S_0$ pătratul original este cartografiat înainte $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ Uneori, luăm în considerare doar punctele returnate în pătrat, care este un set de dungi orizontale

H_{n}=f^{n}(S_{0})\cap S_{0}.

{\ displaystyle H_ {n} = f ^ {n} (S_ {0}) \ cap S_ {0}.}

{\ displaystyle H_ {n} = f ^ {n} (S_ {0}) \ cap S_ {0}.}

Punctele dungilor orizontale provin din dungi verticale ale pătratului

V_{n}=f^{-n}(H_{n})

{\ displaystyle V_ {n} = f ^ {- n} (H_ {n})}

{\ displaystyle V_ {n} = f ^ {- n} (H_ {n})}

,

care sunt dungile orizontale $H_{n}$ ${\ displaystyle H_ {n}}$ $H_ {n}$ cartografiat înapoi $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ ori. Adică un punct în $V_{n}$ ${\ displaystyle V_ {n}}$ $V_ {n}$ se va încheia în ansamblu $H_{n}$ ${\ displaystyle H_ {n}}$ $H_ {n}$ dungi verticale după $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ interacțiuni.

Set invariant

Intersecții care converg către setul invariant

Exemplu de măsură invariantă

Dacă un punct rămâne la infinit în pătrat, acesta trebuie să aparțină mulțimii $\Lambda$ ${\ displaystyle \ Lambda}$ $\ Lambda$ care este cartografiat în sine. Trebuie stabilit dacă acest set este gol sau nu. Dungile verticale $V_{1}$ ${\ displaystyle V_ {1}}$ $V_ {1}$ sunt trimise la cele orizontale $H_{1}$ ${\ displaystyle H_ {1}}$ $H_1$ , dar nu toate punctele de $V_{1}$ ${\ displaystyle V_ {1}}$ $V_ {1}$ sunt trimiși în ei înșiși. Numai punctele de la intersecția dintre $V_{1}$ ${\ displaystyle V_ {1}}$ $V_ {1}$ Și $H_{1}$ ${\ displaystyle H_ {1}}$ $H_1$ poate aparține $\Lambda$ ${\ displaystyle \ Lambda}$ $\ Lambda$ , după cum puteți verifica urmărind punctele din intersecție în următoarea iterație.

Intersecția dungilor verticale și orizontale, $H_{n}\cap V_{n}$ ${\ displaystyle H_ {n} \ cap V_ {n}}$ ${\ displaystyle H_ {n} \ cap V_ {n}}$ , sunt pătrate decât în limită $n\to \infty$ ${\ displaystyle n \ to \ infty}$ $n \ to \ infty$ converge la setul invariant $\Lambda$ ${\ displaystyle \ Lambda}$ $\ Lambda$ . Structura acestui întreg poate fi înțeleasă mai bine prin introducerea unui sistem de etichete pentru fiecare intersecție - o dinamică simbolică.

Dinamica simbolică

Domeniile de bază ale hărții potcoavelor

Atâta timp cât $H_{n}\cap V_{n}\subset V_{1}$ ${\ displaystyle H_ {n} \ cap V_ {n} \ subset V_ {1}}$ ${\ displaystyle H_ {n} \ cap V_ {n} \ subset V_ {1}}$ , orice punct care aparține $\Lambda$ ${\ displaystyle \ Lambda}$ $\ Lambda$ trebuie cartografiat în banda verticală stângă $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ din $V_{1}$ ${\ displaystyle V_ {1}}$ $V_ {1}$ , sau în cel din dreapta $B.$ ${\ displaystyle B}$ $B.$ . Banda orizontală inferioară a $H_{n}$ ${\ displaystyle H_ {n}}$ $H_ {n}$ este imaginea lui $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ în timp ce cea superioară este imaginea lui $B.$ ${\ displaystyle B}$ $B.$ , acesta este $H_{1}=f(A)\cup f(B)$ ${\ displaystyle H_ {1} = f (A) \ cup f (B)}$ ${\ displaystyle H_ {1} = f (A) \ cup f (B)}$ . Se pot folosi apoi benzi $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ Și $B.$ ${\ displaystyle B}$ $B.$ pentru a eticheta cele patru pătrate la intersecția dintre $V_{1}$ ${\ displaystyle V_ {1}}$ $V_ {1}$ Și $H_{1}$ ${\ displaystyle H_ {1}}$ $H_1$ :

{\begin{aligned}\Lambda _{A\bullet A}&=f(A)\cap A\\\Lambda _{A\bullet B}&=f(A)\cap B\\\Lambda _{B\bullet A}&=f(B)\cap A\\\Lambda _{B\bullet B}&=f(B)\cap B\end{aligned}}

{\ displaystyle {\ begin {align} \ Lambda _ {A \ bullet A} & = f (A) \ cap A \\\ Lambda _ {A \ bullet B} & = f (A) \ cap B \\\ Lambda _ {B \ bullet A} & = f (B) \ cap A \\\ Lambda _ {B \ bullet B} & = f (B) \ cap B \ end {align}}}

{\ displaystyle {\ begin {align} \ Lambda _ {A \ bullet A} & = f (A) \ cap A \\\ Lambda _ {A \ bullet B} & = f (A) \ cap B \\\ Lambda _ {B \ bullet A} & = f (B) \ cap A \\\ Lambda _ {B \ bullet B} & = f (B) \ cap B \ end {align}}}

Întregul $\Lambda _{A\bullet B}$ ${\ displaystyle \ Lambda _ {A \ bullet B}}$ ${\ displaystyle \ Lambda _ {A \ bullet B}}$ constă din puncte de bandă $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ că sunt înăuntru $B.$ ${\ displaystyle B}$ $B.$ în iterația anterioară. Punctul a fost folosit $\bullet$ ${\ displaystyle \ bullet}$ $\ bullet$ pentru a separa regiunea unde se află punctul orbitei de cea în care se afla anterior.

Notarea poate fi extinsă și la interacțiuni mai mari ale hărții Smale. Fâșiile verticale pot fi apelate în funcție de secvența de vizite la fâșie $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ sau $B.$ ${\ displaystyle B}$ $B.$ . De exemplu, întregul $ABB\subset V_{3}$ ${\ displaystyle ABB \ subset V_ {3}}$ ${\ displaystyle ABB \ subset V_ {3}}$ constă din puncte din $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ care va fi trimis $B.$ ${\ displaystyle B}$ $B.$ cu o singură iterație și care va rămâne în următoarea iterație:

ABB=\{x\in A\,|\,f(x)\in B\,\,\,\mathrm {e} \,\,\,f_{2}(x)\in B\}.

{\ displaystyle ABB = \ {x \ în A \, | \, f (x) \ în B \, \, \, \ mathrm {e} \, \, \, f_ {2} (x) \ în B \}.}

{\ displaystyle ABB = \ {x \ în A \, | \, f (x) \ în B \, \, \, \ mathrm {e} \, \, \, f_ {2} (x) \ în B \}.}

Dungi orizontale sunt indicate de dungi verticale care sunt imaginile lor contra. Cu această notație, intersecția dintre $H_{2}$ ${\ displaystyle H_ {2}}$ $H_2$ Și $V_{2}$ ${\ displaystyle V_ {2}}$ ${\ displaystyle V_ {2}}$ este format din 16 pătrate, dintre care unul este

\Lambda _{AB\bullet BB}=f_{2}(AB)\cap BB.

{\ displaystyle \ Lambda _ {AB \ bullet BB} = f_ {2} (AB) \ cap BB.}

{\ displaystyle \ Lambda _ {AB \ bullet BB} = f_ {2} (AB) \ cap BB.}

Toate punctele în $\Lambda _{AB\bullet BB}$ ${\ displaystyle \ Lambda _ {AB \ bullet BB}}$ ${\ displaystyle \ Lambda _ {AB \ bullet BB}}$ sunt în $B.$ ${\ displaystyle B}$ $B.$ și va continua să fie pentru cel puțin o iterație ulterioară. Traiectoria lor anterioară înainte de a fi cartografiată în $B. B.$ ${\ displaystyle BB}$ ${\ displaystyle BB}$ a fost $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ urmată de $B.$ ${\ displaystyle B}$ $B.$ .

Orbite periodice

Oricare dintre intersecții $\Lambda _{P\bullet F}$ ${\ displaystyle \ Lambda _ {P \ bullet F}}$ ${\ displaystyle \ Lambda _ {P \ bullet F}}$ a unei dungi orizontale cu una verticală, unde $P.$ ${\ displaystyle P}$ $P.$ Și $F.$ ${\ displaystyle F}$ $F.$ sunt secvențe de $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ Și $B.$ ${\ displaystyle B}$ $B.$ , este o afinitate a regiunii mici $V_{1}$ ${\ displaystyle V_ {1}}$ $V_ {1}$ . De sine $P.$ ${\ displaystyle P}$ $P.$ este compus din $k$ ${\ displaystyle k}$ $k$ simboluri și dacă $f^{-k}(\Lambda _{P\bullet F})$ ${\ displaystyle f ^ {- k} (\ Lambda _ {P \ bullet F})}$ ${\ displaystyle f ^ {- k} (\ Lambda _ {P \ bullet F})}$ Și $\Lambda _{P\bullet F}$ ${\ displaystyle \ Lambda _ {P \ bullet F}}$ ${\ displaystyle \ Lambda _ {P \ bullet F}}$ intersectează, regiunea $\Lambda _{P\bullet F}$ ${\ displaystyle \ Lambda _ {P \ bullet F}}$ ${\ displaystyle \ Lambda _ {P \ bullet F}}$ va avea un punct fix. Acest lucru se întâmplă când $P.$ ${\ displaystyle P}$ $P.$ Și $F.$ ${\ displaystyle F}$ $F.$ sunt la fel, de fapt $\Lambda _{ABAB\bullet ABAB}\subset V_{4}\cup H_{4}$ ${\ displaystyle \ Lambda _ {ABAB \ bullet ABAB} \ subset V_ {4} \ cup H_ {4}}$ ${\ displaystyle \ Lambda _ {ABAB \ bullet ABAB} \ subset V_ {4} \ cup H_ {4}}$ are cel puțin un punct fix, care este, de asemenea, același cu $\Lambda _{AB\bullet AB}$ ${\ displaystyle \ Lambda _ {AB \ bullet AB}}$ ${\ displaystyle \ Lambda _ {AB \ bullet AB}}$ . Inclusiv din ce în ce mai mult $LA B.$ ${\ displaystyle AB}$ $AB$ în $P.$ ${\ displaystyle P}$ $P.$ Și $F.$ ${\ displaystyle F}$ $F.$ , zona de intersecție poate fi făcută în mod arbitrar mică, care va converge într-un punct care face parte dintr-o orbită periodică a hărții potcoavelor. Orbita periodică poate fi descrisă prin cea mai simplă succesiune de $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ Și $B.$ ${\ displaystyle B}$ $B.$ indicând regiunile vizitate pe orbită.

Pentru fiecare secvență de $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ Și $B.$ ${\ displaystyle B}$ $B.$ există o orbită periodică.

Notă

^ David Ruelle,Ce este un atrăgător ciudat? ( PDF ), în Notificări ale Societății Americane de Matematică , vol. 53, nr. 7, 2006, pp. 764–765.

Bibliografie

David Ruelle ,Ce este un atrăgător ciudat? ( PDF ), în Notificări ale Societății Americane de Matematică , vol. 53, nr. 7, 2006, pp. 764–765.
Stephen Smale, Sisteme dinamice diferențiabile , în Buletinul Societății Americane de Matematică , vol. 73, nr. 6, 1967, pp. 747–817, DOI :10.1090 / S0002-9904-1967-11798-1 .
P. Cvitanović, G. Gunaratne și I. Procaccia, Proprietăți topologice și metrice ale atragătorilor ciudați de tip Hénon , în Physical Review A , vol. 38, nr. 3, 1988, pp. 1503–1520, DOI : 10.1103 / PhysRevA.38.1503 , PMID 9900529 .
André de Carvalho, Tăierea fronturilor și formarea potcoavelor , în teoria ergodică și sistemele dinamice , vol. 19, nr. 4, 1999, pp. 851–894, DOI : 10.1017 / S0143385799133972 .
André de Carvalho și Toby Hall, How to prune a potcoavă , în Nonlinearity , vol. 15, nr. 3, 2002, pp. R19 - R68, DOI : 10.1088 / 0951-7715 / 15/3/201 .

Elemente conexe

Alte proiecte

Wikimedia Commons conține imagini sau alte fișiere cu hărți potcoavă

linkuri externe

Smale Horseshoe Scholarpedia
ChaosBook.org Capitolul „Întindeți, pliați, tăiați”

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică

[1] David Ruelle,Ce este un atrăgător ciudat? ( PDF ), în Notificări ale Societății Americane de Matematică , vol. 53, nr. 7, 2006, pp. 764–765.

[1]

V · D · M Teoria haosului
Teoria bifurcației	Furcă de bifurcație · Nod de șa de bifurcație · Bifurcație imperfectă · Bifurcație transcritică · Bifurcație Hopf · Larva Pin (sistem dinamic)
Fractale	Arta fractală · Buddhabrot · navă de ardere · compresie fractală · Koch fulg de zăpadă · curba Peano · curba Sierpinski · Dimensiunea Hausdorff · dimensiunii fractale · Funcția Cantor · Set Cantor · Set Julia · Mandelbrot · Fractalii pentru dimensiune Hausdorff · Cantor de praf · Sterling · Sierpinski Triangle · Dimensiunea Minkowski-Bouligand
Atractorii	Sistem Lorenz · Atractorul din Hénon · Harta Poincaré · Harta logistică · Harta potcoavelor · Spațiul de fază
Teoreticienii haosului	Edward Norton Lorenz · Aleksandr Lyapunov · Benoît Mandelbrot · Edward October · Henri Poincare · David Ruelle · Stephen Wolfram · James Yorke