Soi stabil

În matematică și în special în studiul sistemelor dinamice , o varietate stabilă a unui punct de echilibru al unui sistem dinamic este ansamblul de puncte din spațiul de fază a cărui orbită se apropie de punctul de echilibru pe măsură ce timpul progresează. Este un obiect fundamental pentru studierea stabilității interne a unui sistem dinamic și, în special, pentru descrierea atrăgătorilor .

Descriere

Având în vedere un sistem dinamic:

{\dot {x}}=f(x)\qquad x\in M

{\ displaystyle {\ dot {x}} = f (x) \ qquad x \ în M}

{\ displaystyle {\ dot {x}} = f (x) \ qquad x \ în M}

definit de un câmp vector $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ pe o varietate $M.$ ${\ displaystyle M}$ $M.$ , de exemplu $\mathbb {R} ^{n}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$ $\ mathbb {R} ^ {n}$ , imaginea (orbita) fluxului $\phi _{t}(x_{0})=x(t,x_{0})$ ${\ displaystyle \ phi _ {t} (x_ {0}) = x (t, x_ {0})}$ ${\ displaystyle \ phi _ {t} (x_ {0}) = x (t, x_ {0})}$ este traiectoria parcursă de sistem pornind de la punctul de plecare $x_{0}$ ${\ displaystyle x_ {0}}$ $x_0$ . Este $p$ ${\ displaystyle p}$ $p$ un punct de echilibru:

f(p)=0

{\ displaystyle f (p) = 0}

{\ displaystyle f (p) = 0}

Este un punct fix al fluxului:

\phi _{t}(p)=p

{\ displaystyle \ phi _ {t} (p) = p}

{\ displaystyle \ phi _ {t} (p) = p}

adică o soluție staționară (invariantă în timp) a ecuației diferențiale. Limita stabilită :

V_{p}=\{x\in M:\lim _{t\to +\infty }\phi _{t}(x)=p\}

{\ displaystyle V_ {p} = \ {x \ în M: \ lim _ {t \ to + \ infty} \ phi _ {t} (x) = p \}}

{\ displaystyle V_ {p} = \ {x \ în M: \ lim _ {t \ to + \ infty} \ phi _ {t} (x) = p \}}

se numește varietate stabilă a sistemului dinamic.

În mod similar, setul:

V'_{p}=\{x\in M:\lim _{t\to -\infty }\phi _{t}(x)=p\}

{\ displaystyle V '_ {p} = \ {x \ în M: \ lim _ {t \ to - \ infty} \ phi _ {t} (x) = p \}}

{\ displaystyle V '_ {p} = \ {x \ în M: \ lim _ {t \ to - \ infty} \ phi _ {t} (x) = p \}}

se numește colector instabil și poate fi văzut ca ansamblul de puncte care se îndepărtează de punctul de echilibru.

Bibliografie

( EN ) Ralph Abraham și Jerrold E. Marsden, Foundations of Mechanics , (1978) Benjamin / Cummings Publishing, Reading Mass. ISBN 0-8053-0102-X
( EN ) SS Sritharan, "Invariant Manifold Theory for Hydrodynamic Transition", (1990), John Wiley & Sons, NY, ISBN 0-582-06781-2

Elemente conexe

linkuri externe

Treccani - Soi stabil (Luca Tomassini) , pe treccani.it .

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică