Soi central

În matematică , în special în studiul sistemelor dinamice , varietatea centrală a unui punct de echilibru al unui sistem dinamic constă în orbite al căror comportament în apropierea punctului de echilibru nu este supus nici atracției varietății stabile, nici repulsiei acelui instabil. .

Să se dea un sistem dinamic:

{\dot {x}}=Ax+f(x)\qquad x\in \mathbb {R} ^{n}

{\ displaystyle {\ dot {x}} = Ax + f (x) \ qquad x \ in \ mathbb {R} ^ {n}}

{\ displaystyle {\ dot {x}} = Ax + f (x) \ qquad x \ in \ mathbb {R} ^ {n}}

unde este $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ este o matrice constantă, $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ este elegant $C^{k}$ ${\ displaystyle C ^ {k}}$ $C ^ k$ cu $k\geq 2$ ${\ displaystyle k \ geq 2}$ ${\ displaystyle k \ geq 2}$ într-un cartier al punctului de echilibru izolat $x=0$ ${\ displaystyle x = 0}$ $x = 0$ Și:

\lim _{\|x\|\to 0}{\frac {\|f(x)\|}{\|x\|}}=0

{\ displaystyle \ lim _ {\ | x \ | \ to 0} {\ frac {\ | f (x) \ |} {\ | x \ |}} = 0}

{\ displaystyle \ lim _ {\ | x \ | \ to 0} {\ frac {\ | f (x) \ |} {\ | x \ |}} = 0}

De sine $M_{s}$ ${\ displaystyle M_ {s}}$ $Domnișoară}$ Și $M_{i}$ ${\ displaystyle M_ {i}}$ $Pe mine}$ sunt soiurile stabile și instabile ale ecuației:

{\dot {x}}=Ax

{\ displaystyle {\ dot {x}} = Ax}

{\ displaystyle {\ dot {x}} = Ax}

spus $M_{c}$ ${\ displaystyle M_ {c}}$ $M_c$ spațiul generat de vectorii proprii ai $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ asociat cu valori proprii cu zero parte reală, există o varietate invariantă $W_{c}\in C^{k-1}$ ${\ displaystyle W_ {c} \ în C ^ {k-1}}$ ${\ displaystyle W_ {c} \ în C ^ {k-1}}$ , numită varietate centrală, tangentă $M_{c}$ ${\ displaystyle M_ {c}}$ $M_c$ aproape de punctul de echilibru. Nu este neapărat unic.

Descriere

Este:

{\frac {d\mathbf {x} }{dt}}=\mathbf {f} (\mathbf {x} )

{\ displaystyle {\ frac {d \ mathbf {x}} {dt}} = \ mathbf {f} (\ mathbf {x})}

{\ displaystyle {\ frac {d \ mathbf {x}} {dt}} = \ mathbf {f} (\ mathbf {x})}

un sistem dinamic neliniar cu un punct de echilibru $\mathbf {x} ^{*}$ ${\ displaystyle \ mathbf {x} ^ {*}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {x} ^ {*}}$ . Liniarizarea sa într-un cartier al $\mathbf {x} ^{*}$ ${\ displaystyle \ mathbf {x} ^ {*}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {x} ^ {*}}$ Și:

{\frac {d\mathbf {x} }{dt}}=A\mathbf {x}

{\ displaystyle {\ frac {d \ mathbf {x}} {dt}} = A \ mathbf {x}}

{\ displaystyle {\ frac {d \ mathbf {x}} {dt}} = A \ mathbf {x}}

unde se află matricea iacobiană $\mathbf {x} ^{*}$ ${\ displaystyle \ mathbf {x} ^ {*}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {x} ^ {*}}$ :

A={\frac {d\mathbf {f} }{d\mathbf {x} }}(\mathbf {x} ^{*})

{\ displaystyle A = {\ frac {d \ mathbf {f}} {d \ mathbf {x}}} (\ mathbf {x} ^ {*})}

{\ displaystyle A = {\ frac {d \ mathbf {f}} {d \ mathbf {x}}} (\ mathbf {x} ^ {*})}

definește trei subspatii invariante :

subspațiul stabil, generat de vectorii proprii generalizați corespunzători valorilor proprii $\lambda$ ${\ displaystyle \ lambda}$ $\ lambda$ din $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ cu $\operatorname {Re} \lambda <0$ ${\ displaystyle \ operatorname {Re} \ lambda <0}$ ${\ displaystyle \ operatorname {Re} \ lambda <0}$
subspațiul instabil, generat de vectorii proprii generalizați corespunzători valorilor proprii $\lambda$ ${\ displaystyle \ lambda}$ $\ lambda$ cu $\operatorname {Re} \lambda >0$ ${\ displaystyle \ operatorname {Re} \ lambda> 0}$ ${\ displaystyle \ operatorname {Re} \ lambda> 0}$
subspatiul central, generat de vectorii proprii generalizati corespunzatori valorilor proprii $\lambda$ ${\ displaystyle \ lambda}$ $\ lambda$ cu $\operatorname {Re} \lambda =0$ ${\ displaystyle \ operatorname {Re} \ lambda = 0}$ ${\ displaystyle \ operatorname {Re} \ lambda = 0}$

Pentru sistemul neliniarizat există trei varietăți invariante corespunzătoare, formate din seturi de orbite ale sistemului și tangente la subspaiile de la punctul de echilibru:

colectorul stabil , adică colectorul invariant tangent la subspațiul stabil, care are aceeași dimensiune ca subspaiul stabil.
colectorul instabil, adică colectorul invariant tangent la subspațiul instabil, care are aceeași dimensiune ca subspaiul instabil.
galeria centrală, adică galeria invariantă tangentă la subspaiul central, care are aceeași dimensiune ca subspaiul central.

Teorema colectorului central

Teorema varietății centrale afirmă că dacă funcția ${\textbf {f}}({\textbf {x}})$ ${\ displaystyle {\ textbf {f}} ({\ textbf {x}})}$ ${\ displaystyle {\ textbf {f}} ({\ textbf {x}})}$ este elegant $C^{r}$ ${\ displaystyle C ^ {r}}$ ${\ displaystyle C ^ {r}}$ atunci pentru fiecare punct de echilibru există un vecinătate în care există cel puțin:

o varietate de clasă unică, stabilă $C^{r}$ ${\ displaystyle C ^ {r}}$ ${\ displaystyle C ^ {r}}$
o singură varietate de clasă instabilă $C^{r}$ ${\ displaystyle C ^ {r}}$ ${\ displaystyle C ^ {r}}$
o varietate de clasă centrală (nu neapărat unică) $C^{r-1}$ ${\ displaystyle C ^ {r-1}}$ ${\ displaystyle C ^ {r-1}}$ .

De asemenea, se arată că vecinătatea poate fi aleasă în așa fel încât toate soluțiile sistemului care se află în vecinătate să tindă exponențial la soluție ${\textbf {y}}(t)$ ${\ displaystyle {\ textbf {y}} (t)}$ ${\ displaystyle {\ textbf {y}} (t)}$ pe soiul central, și anume:

\lim _{t\to \infty }{\textbf {x}}(t)={\textbf {y}}(t)+O(e^{-\beta 't})

{\ displaystyle \ lim _ {t \ to \ infty} {\ textbf {x}} (t) = {\ textbf {y}} (t) + O (e ^ {- \ beta 't})}

{\ displaystyle \ lim _ {t \ to \ infty} {\ textbf {x}} (t) = {\ textbf {y}} (t) + O (e ^ {- \ beta 't})}

pentru unii $\beta '$ ${\ displaystyle \ beta '}$ ${\ displaystyle \ beta '}$ .

Bibliografie

( EN ) Rasband, SN „Manifolduri invariante”. §5.2 în Dinamica haotică a sistemelor neliniare . New York: Wiley, pp. 89-92, 1990.
( EN ) Wiggins, S. "Manifolduri invariante: sisteme liniare și neliniare." §1.1C în Introducere în sisteme dinamice neliniare aplicate și haos . New York: Springer-Verlag, pp. 14-25, 1990.

Elemente conexe

linkuri externe

Wang Sang Koon - Teoria colectorului central ( PDF ), pe cds.caltech.edu .

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică