Soi invariant

În matematică , în special în analiza sistemelor dinamice , varietatea invariantă este o varietate topologică invariantă în raport cu acțiunea unui sistem dinamic ; de exemplu, varietatea centrală , soiul stabil și instabil sunt invariante.

Multiple invariante sunt adesea definite pornind de la „perturbații” ale unui subspatiu invariant la care sunt tangente în apropierea unui punct de echilibru .

Definiție

Având în vedere un sistem dinamic generic, descris prin ecuația diferențială obișnuită :

{\frac {dx}{dt}}=f(x)\qquad x\in \mathbb {R} ^{n}

{\ displaystyle {\ frac {dx} {dt}} = f (x) \ qquad x \ in \ mathbb {R} ^ {n}}

{\ displaystyle {\ frac {dx} {dt}} = f (x) \ qquad x \ in \ mathbb {R} ^ {n}}

este $x(t)=\phi _{t}(x_{0})$ ${\ displaystyle x (t) = \ phi _ {t} (x_ {0})}$ ${\ displaystyle x (t) = \ phi _ {t} (x_ {0})}$ fluxul său, soluția ecuației cu condiția inițială $x(0)=x_{0}$ ${\ displaystyle x (0) = x_ {0}}$ ${\ displaystyle x (0) = x_ {0}}$ . Un set $S\subset \mathbb {R} ^{n}$ ${\ displaystyle S \ subset \ mathbb {R} ^ {n}}$ $S \ subset \ mathbb {R} ^ {n}$ se numește set invariant pentru ecuația diferențială dacă, pentru fiecare $x_{0}\in S$ ${\ displaystyle x_ {0} \ în S}$ ${\ displaystyle x_ {0} \ în S}$ , soluția $t\mapsto \phi _{t}(x_{0})$ ${\ displaystyle t \ mapsto \ phi _ {t} (x_ {0})}$ ${\ displaystyle t \ mapsto \ phi _ {t} (x_ {0})}$ , definit pe intervalul său maxim de existență, are imagine în $S.$ ${\ displaystyle S}$ $S.$ . Alternativ, orbita care trece prin fiecare $x_{0}\in S$ ${\ displaystyle x_ {0} \ în S}$ ${\ displaystyle x_ {0} \ în S}$ este in $S.$ ${\ displaystyle S}$ $S.$ . Dacă întregul $S.$ ${\ displaystyle S}$ $S.$ este o varietate, se numește o varietate invariantă.

Bibliografie

( EN ) Rasband, SN „Manifolduri invariante”. §5.2 în Dinamica haotică a sistemelor neliniare New York: Wiley, pp. 89-92, 1990.
( EN ) Wiggins, S. "Manifolduri invariante: sisteme liniare și neliniare." §1.1C în Introducere în sisteme dinamice neliniare aplicate și haos. New York: Springer-Verlag, pp. 14-25, 1990.
( EN ) C. Chicone. Ecuații diferențiale ordinare cu aplicații , volumul 34 din „Texte în matematică aplicată”. Springer, 2006

Elemente conexe

linkuri externe

(EN) Eric W. Weisstein, Invariant Manifolds in MathWorld Wolfram Research.

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică