Flux (matematică)

În matematică , în special în studiul ecuațiilor diferențiale obișnuite , un flux generalizează conceptul de funcție iterată de n ori, astfel încât numărul de iterații n devine un parametru continuu. Mai strict, un flux este o acțiune de grup a unui grup cu un singur parametru .

Este folosit în inginerie și fizică pentru a formaliza soluțiile ecuației care descrie un sistem dinamic .

Ideea unui vector de flux , adică fluxul unui câmp vectorial , este utilizată în cele mai disparate câmpuri, cum ar fi topologia diferențială , geometria Riemann și grupurile Lie . Câteva exemple de vectori de curgere sunt fluxul geodezic , câmpul vectorial hamiltonian , fluxul Ricci și fluxul Anosov .

Definiție

Un flux definit pe un set $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ este o acțiune de grup a $(\mathbb {R} ,+)$ ${\ displaystyle (\ mathbb {R}, +)}$ $(\ R, +)$ pe $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ . Mai explicit, un flux este o funcție $\varphi :X\times \mathbb {R} \rightarrow X$ ${\ displaystyle \ varphi: X \ times \ mathbb {R} \ rightarrow X}$ ${\ displaystyle \ varphi: X \ times \ mathbb {R} \ rightarrow X}$ cu $\varphi (x,0)=x$ ${\ displaystyle \ varphi (x, 0) = x}$ ${\ displaystyle \ varphi (x, 0) = x}$ și astfel încât să fie în concordanță cu structura unui grup cu un singur parametru :

\varphi (\varphi (x,t),s)=\varphi (x,t+s)

{\ displaystyle \ varphi (\ varphi (x, t), s) = \ varphi (x, t + s)}

{\ displaystyle \ varphi (\ varphi (x, t), s) = \ varphi (x, t + s)}

pentru fiecare $s, t$ ${\ displaystyle s, t}$ ${\ displaystyle s, t}$ în $\mathbb {R}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R}}$ $\ R$ si cu $x\in X$ ${\ displaystyle x \ în X}$ $x \ în X$ .

Întregul ${\mathcal {O}}(x,\varphi )=\{\varphi (x,t):t\in \mathbb {R} \}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {O}} (x, \ varphi) = \ {\ varphi (x, t): t \ in \ mathbb {R} \}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {O}} (x, \ varphi) = \ {\ varphi (x, t): t \ in \ mathbb {R} \}}$ se numește orbita lui $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ prin $\varphi$ ${\ displaystyle \ varphi}$ $\ varphi$ .

În mod normal, un flux este necesar să fie compatibil cu structurile definite pe $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ , de exemplu dacă $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ este un spațiu topologic de obicei este necesar ca fluxul să fie o funcție continuă (în acest fel fluxul formează un subgrup către un parametru de homeomorfisme ). În multe cazuri $X=\mathbb {R} ^{n}$ ${\ displaystyle X = \ mathbb {R} ^ {n}}$ ${\ displaystyle X = \ mathbb {R} ^ {n}}$ , sau este o varietate cu care se poate diferenția $\varphi$ ${\ displaystyle \ varphi}$ $\ varphi$ o funcție diferențiată (care formează un subgrup la un parametru de difereomorfisme ).

Un flux local este un flux definit pe un subset:

\mathrm {dom} (\varphi )=\{(x,t)\ |\ t\in [a_{x},b_{x}],\ a_{x}<0<b_{x},\ x\in X\}\subset X\times \mathbb {R}

{\ displaystyle \ mathrm {dom} (\ varphi) = \ {(x, t) \ | \ t \ în [a_ {x}, b_ {x}], \ a_ {x} <0 <b_ {x} , \ x \ în X \} \ subset X \ times \ mathbb {R}}

{\ displaystyle \ mathrm {dom} (\ varphi) = \ {(x, t) \ | \ t \ în [a_ {x}, b_ {x}], \ a_ {x} <0 <b_ {x} , \ x \ în X \} \ subset X \ times \ mathbb {R}}

și este în general introdus atunci când este vorba de fluxuri de câmp vector .

În multe domenii, cum ar fi ingineria, fizica și studiul ecuațiilor diferențiale, o notație specială este răspândită în care fluxul este implicit scris ca $x(t,x_{0})\equiv \phi _{t}(x_{0})$ ${\ displaystyle x (t, x_ {0}) \ equiv \ phi _ {t} (x_ {0})}$ ${\ displaystyle x (t, x_ {0}) \ equiv \ phi _ {t} (x_ {0})}$ , adică variabila $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ depinde de vreme $t$ ${\ displaystyle t}$ $t$ și din punctul de plecare $x_{0}$ ${\ displaystyle x_ {0}}$ $x_0$ .

Sisteme dinamice

Un exemplu comun de flux în fizica matematică sunt soluțiile unei ecuații diferențiale obișnuite autonome , utilizate pentru a descrie sisteme dinamice :

y'=f(y)\qquad y(t=0)=x_{0}

{\ displaystyle y '= f (y) \ qquad y (t = 0) = x_ {0}}

{\ displaystyle y '= f (y) \ qquad y (t = 0) = x_ {0}}

unde curgerea $\psi _{t}(x_{0})$ ${\ displaystyle \ psi _ {t} (x_ {0})}$ ${\ displaystyle \ psi _ {t} (x_ {0})}$ corespunzând orbitei (evoluția sistemului în spațiul de fază ) pentru punctul de plecare $x_{0}$ ${\ displaystyle x_ {0}}$ $x_0$ este singura soluție la problema valorii inițiale date.

Bibliografie

( EN ) IP [IP Kornfel'd] Cornfel'd, SV Fomin, Ya.G. Sinai, teoria ergodică , Springer (1982)
( EN ) PR Halmos, Prelegeri despre teoria ergodică , Matematică. Soc. Japonia (1956) MR0097489 Zbl 0073.09302
( EN ) E. Hopf, Ergodentheorie , Springer (1970) MR0024581 Zbl 0185.29001
(EN) AM Vershik, Realizarea măsurabilă a grupurilor de automorfism continuu ale unui inel unitar Izv. Akad. Nauk. SSSR Ser. Mat., 29: 1 (1965) pp. 127–136 Zbl 0194.16302
( EN ) GW Mackey, realizări punctuale ale grupurilor de transformare Illinois J. Math.

Elemente conexe

linkuri externe

( EN ) DV Anosov, Flux continuu , în Enciclopedia Matematicii , Springer și European Mathematical Society, 2002.
( EN ) DV Anosov, Flux măsurabil , în Enciclopedia Matematicii , Springer și European Mathematical Society, 2002.
( EN ) DV Anosov, Flux special , în Enciclopedia Matematicii , Springer și European Mathematical Society, 2002.
( EN ) flux , în PlanetMath .

Portal de verificări automate

Portalul de matematică