Bifurcația transcritică

În matematică, o bifurcație transcritică este o bifurcație locală în care, pe măsură ce parametrul se modifică, există o schimbare a stabilității punctelor de echilibru.

Descriere

Atât înainte, cât și după bifurcație există, de fapt, un punct de echilibru stabil și unul instabil. La o anumită valoare critică, cele două puncte coincid și stabilesc schimbul. În acest fel, punctul instabil devine stabil și invers.

Exemplul clasic de bifurcație transcritică este dat de ecuația diferențială

{\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}=rx-x^{2}

{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} x} {\ mathrm {d} t}} = rx-x ^ {2}}

{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} x} {\ mathrm {d} t}} = rx-x ^ {2}}

Ecuația este similară cu cea a ecuației logistice , doar în acest caz este $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ acea $r$ ${\ displaystyle r}$ $r$ pot lua orice valori, atât pozitive, cât și negative (în timp ce în logistică nu ar avea sens să se ia în considerare populațiile negative).

Prin studierea câmpului vectorial ca $r$ ${\ displaystyle r}$ $r$ observăm cum cele două puncte de echilibru rămân mereu $x=0$ ${\ displaystyle x = 0}$ $x = 0$ și $x=r$ ${\ displaystyle x = r}$ ${\ displaystyle x = r}$ , deși stabilitatea se schimbă în funcție de parametru.

Câmpul vector al bifurcației transcritice

De sine $r<0$ ${\ displaystyle r <0}$ ${\ displaystyle r <0}$ există un punct de echilibru instabil în $x=-r$ ${\ displaystyle x = -r}$ ${\ displaystyle x = -r}$ și un grajd în $x=0$ ${\ displaystyle x = 0}$ $x = 0$ .
De sine $r=0$ ${\ displaystyle r = 0}$ $r = 0$ cele două puncte de echilibru se ciocnesc în solo $x=0$ ${\ displaystyle x = 0}$ $x = 0$ instabil în stânga și stabil în dreapta. Aceasta este valoarea în care există schimbul de stabilitate între cele două puncte.
De sine $r>0$ ${\ displaystyle r> 0}$ $r> 0$ există un punct de echilibru instabil în $x=0$ ${\ displaystyle x = 0}$ $x = 0$ și un grajd în $x=r$ ${\ displaystyle x = r}$ ${\ displaystyle x = r}$ .

Diagrama bifurcației transcritice. Liniile solide reprezintă puncte de echilibru stabile, în timp ce liniile întrerupte reprezintă puncte de echilibru instabile.

Din diagrama de bifurcație putem vedea prezența a două ramuri: una stabilă care coincide cu axa abscisei pentru $r<0$ ${\ displaystyle r <0}$ ${\ displaystyle r <0}$ și cu bisectoarea principală pentru $r>0$ ${\ displaystyle r> 0}$ $r> 0$ iar cealaltă speculară instabilă în ceea ce privește originea.

Bibliografie

Strogatz SH (1994), Dinamică neliniară și haos (Perseus Books, Cambridge)

Elemente conexe

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică

V · D · M Teoria haosului
Teoria bifurcației	Furcă de bifurcație · Nod de șa de bifurcație · Bifurcație imperfectă · Bifurcație transcritică · Bifurcație Hopf · Larva Pin (sistem dinamic)
Fractale	Arta fractală · Buddhabrot · navă de ardere · compresie fractală · Koch fulg de zăpadă · curba Peano · curba Sierpinski · Dimensiunea Hausdorff · dimensiunii fractale · Funcția Cantor · Set Cantor · Set Julia · Mandelbrot · Fractalii pentru dimensiune Hausdorff · Cantor de praf · Sterling · Sierpinski Triangle · Dimensiunea Minkowski-Bouligand
Atractorii	Sistem Lorenz · Atractorul din Hénon · Harta Poincaré · Harta logistică · Harta potcoavelor · Spațiul de fază
Teoreticienii haosului	Edward Norton Lorenz · Aleksandr Lyapunov · Benoît Mandelbrot · Edward October · Henri Poincare · David Ruelle · Stephen Wolfram · James Yorke