Set Mandelbrot

O reprezentare a setului Mandelbrot.

Setul Mandelbrot sau fractal Mandelbrot este unul dintre cele mai populare fractale , cunoscut și în afara câmpului matematic pentru imaginile sugestive multicolore care au fost dezvăluite. ^[1]

Acesta este setul de numere complexe $c$ ${\ displaystyle c}$ $c$ pentru care secvența definită de:

{\begin{cases}z_{0}=0\\z_{n+1}=z_{n}^{2}+c\end{cases}}

{\ displaystyle {\ begin {cases} z_ {0} = 0 \\ z_ {n + 1} = z_ {n} ^ {2} + c \ end {cases}}}

{\ displaystyle {\ begin {cases} z_ {0} = 0 \\ z_ {n + 1} = z_ {n} ^ {2} + c \ end {cases}}}

este limitat . ^[2] În ciuda simplității definiției, ansamblul are o formă complexă al cărei contur este un fractal. Doar odată cu apariția computerului a fost posibil să-l vizualizăm.

Ansamblul își ia numele de la Benoît Mandelbrot , care în cartea sa Les Objets Fractals: Forme, Hasard et Dimension ( 1975 ) a popularizat fractalii.

Istorie

Prima imagine publică a ansamblului Mandelbrot creat de Robert W. Brooks și Peter Matelski în 1978

Împreună, Mandelbrot se află în domeniul dinamicii complexe , al cărui studiu începe cu francezul matematic Pierre Fatou și Gaston Julia la începutul secolului al XX-lea . Primele desene ale ansamblului Mandelbrot datează din 1978 și fac parte dintr-un studiu realizat de Robert Brooks și Peter Matelski privind grupurile kleiniene ; ^[3] Benoît Mandelbrot în 1980 a fost primul care a vizualizat forma care îi poartă astăzi numele și a recunoscut că este un fractal. ^[4] ^[5]

Studiul aprofundat al acestui set a început în 1984 cu lucrarea matematicienilor Adrien Douady și John H. Hubbard , care au descoperit multe proprietăți fundamentale și i-au dat numele de Mandelbrot. ^[6]

Articolul de copertă al revistei Scientific American din august 1985 , tradus în italiană în Le Scienze în octombrie același an, reprezintă o imagine creată de Benoît Mandelbrot, Heinz-Otto Peitgen și John H. Hubbard; în acel articol întregul este definit ca „cel mai complex obiect existent în matematică” și, datorită și imaginilor colorate care însoțesc articolul, popularitatea întregului începe chiar și în rândul publicului larg. ^[7] ^[8] ^[9] Matematicienii Heinz-Otto Peitgen și Peter Richter au devenit celebri prin promovarea ansamblului cu fotografii, cărți și colecții de imagini. ^[10]

Opera lui Douady și Hubbard coincide cu o mare creștere a interesului pentru dinamica complexă, iar studiul ansamblului Mandelbrot este imediat un element central al acestui domeniu. O listă completă a tuturor matematicienilor care au contribuit de atunci la înțelegerea acestui set este dincolo de scopul acestei intrări, dar o astfel de listă ar include cu siguranță Mikhail Lyubich , ^[11] ^[12] Curt McMullen , John Milnor , Mitsuhiro Shishikura și Jean-Christophe Yoccoz .

Definiție formală

O reprezentare matematică riguroasă a setului Mandelbrot M. Punctele care aparțin setului sunt colorate în negru, restul alb.

Setul Mandelbrot $M.$ ${\ displaystyle M}$ $M.$ este definit pornind de la o familie de polinoame pătratice complexe :

f_{c}:\mathbb {C} \to \mathbb {C}

{\ displaystyle f_ {c}: \ mathbb {C} \ to \ mathbb {C}}

{\ displaystyle f_ {c}: \ mathbb {C} \ to \ mathbb {C}}

sub forma:

f_{c}(z)=z^{2}+c.

{\ displaystyle f_ {c} (z) = z ^ {2} + c.}

{\ displaystyle f_ {c} (z) = z ^ {2} + c.}

unde este $c$ ${\ displaystyle c}$ $c$ este un parametru complex.

Pentru fiecare $c$ ${\ displaystyle c}$ $c$ se are în vedere comportamentul succesiunii

$(0,f_{c}(0),f_{c}(f_{c}(0)),f_{c}(f_{c}(f_{c}(0))),\ldots )$ ${\ displaystyle (0, f_ {c} (0), f_ {c} (f_ {c} (0)), f_ {c} (f_ {c} (f_ {c} (0))), \ ldots )}}$ ${\ displaystyle (0, f_ {c} (0), f_ {c} (f_ {c} (0)), f_ {c} (f_ {c} (f_ {c} (0))), \ ldots )}}$

obținută prin iterație $f_{c}(z)$ ${\ displaystyle f_ {c} (z)}$ ${\ displaystyle f_ {c} (z)}$ începând de la punct $z=0$ ${\ displaystyle z = 0}$ ${\ displaystyle z = 0}$ ; acest lucru poate fi diferit la nesfârșit sau poate fi limitat. Setul Mandelbrot este definit ca setul de puncte $c$ ${\ displaystyle c}$ $c$ astfel încât succesiunea corespunzătoare este limitată.

Mai formal, dacă $f_{c}^{n}(z)$ ${\ displaystyle f_ {c} ^ {n} (z)}$ ${\ displaystyle f_ {c} ^ {n} (z)}$ indică a n-a iterație a $f_{c}(z)$ ${\ displaystyle f_ {c} (z)}$ ${\ displaystyle f_ {c} (z)}$ (acesta este $f_{c}(z)$ ${\ displaystyle f_ {c} (z)}$ ${\ displaystyle f_ {c} (z)}$ compus cu sine însuși de n ori), mulțimea Mandelbrot este subsetul planului complex dat de:

M=\left\{c\in \mathbb {C} :\sup _{n\in \mathbb {N} }|f_{c}^{n}(0)|<\infty \right\}

{\ displaystyle M = \ left \ {c \ in \ mathbb {C}: \ sup _ {n \ in \ mathbb {N}} | f_ {c} ^ {n} (0) | <\ infty \ right \ }}

{\ displaystyle M = \ left \ {c \ in \ mathbb {C}: \ sup _ {n \ in \ mathbb {N}} | f_ {c} ^ {n} (0) | <\ infty \ right \ }}

Se poate demonstra că dacă forma de $z_{n}$ ${\ displaystyle z_ {n}}$ ${\ displaystyle z_ {n}}$ este mai mare decât $2$ ${\ displaystyle 2}$ $2$ apoi secvența va diferi și de aici punctul $c$ ${\ displaystyle c}$ $c$ va fi extern setului Mandelbrot.

Reprezentare grafică

Redați fișierul media

Măriți întregul

Matematic, setul Mandelbrot este pur și simplu un set de numere complexe. Orice număr complex $c$ ${\ displaystyle c}$ $c$ poate aparține $M.$ ${\ displaystyle M}$ $M.$ sau nu. O reprezentare grafică riguroasă a setului Mandelbrot este obținută prin colorarea tuturor punctelor $c$ ${\ displaystyle c}$ $c$ care aparțin $M.$ ${\ displaystyle M}$ $M.$ de negru și celelalte de alb.

Imaginile multicolore care sunt văzute sunt generate prin colorarea punctelor din afara setului în funcție de „cât de rapidă” este secvența $|f_{c}^{n}(0)|$ ${\ displaystyle | f_ {c} ^ {n} (0) |}$ ${\ displaystyle | f_ {c} ^ {n} (0) |}$ divergă la nesfârșit. Valoarea minimă a $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ pentru care $|z_{n}|>2$ ${\ displaystyle | z_ {n} |> 2}$ ${\ displaystyle | z_ {n} |> 2}$ este un indice al cât de departe este „departe de contur” un punct și este utilizat pentru reprezentarea „color”. Paradoxal, punctele colorate care dau farmecului fractalei Mandelbrot sunt tocmai cele care nu aparțin întregului. ^[13]

Relația cu seturile Julia

Setul Mandelbrot permite indexarea seturilor Julia . Un set Julia diferit corespunde fiecărui punct al planului complex ; acest set este conectat dacă punctul în cauză aparține setului Mandelbrot și este în schimb neconectat dacă punctul nu îi aparține.

Intuitiv, cele mai interesante mulțimi Julia (adică cele cu forme mai puțin banale) corespund punctelor care sunt aproape de marginea setului Mandelbrot; punctele foarte în interior generează seturi Julia cu forme geometrice simple, în timp ce punctele externe, departe de margine, generează seturi Julia formate din multe seturi mici neconectate.

Generalizări și variante

Animația setului Multibrot pentru d mergând de la 2 la 5

Setul Mandelbrot poate fi generalizat de exponenți $d$ ${\ displaystyle d}$ $d$ mai mare de 2 per $z$ ${\ displaystyle z}$ $z$ ↦ $z^{d}+c$ ${\ displaystyle z ^ {d} + c}$ ${\ displaystyle z ^ {d} + c}$ . Aceste generalizări se numesc „Multibrot”.

Puterea 3
Puterea 4
Puterea 5
Puterea 6

Galerie de imagini

start
Pasul 1
Pasul 2
Pasul 3
Pasul 4
Pasul 5
Pasul 6
Pasul 7
Pasul 8
Pasul 9
Pasul 10
Pasul 11
Pasul 12
Pasul 13
Pasul 14

Notă

^ Uniunea matematică italiană , Buletinul Uniunii matematice italiene: matematica în societate și cultură , Bologna, N. Zanichelli , 2001, p. 236.
^ (EN) Mandelbrot Set Explorer: Glosar matematic pe math.bu.edu. Adus 2007-107 .
^ Robert Brooks și Peter Matelski, The Dynamics of 2-generator subgroups of PSL (2, C) , în „Riemann Surfaces and Related Topics”, ed. Kra și Maskit, Ann. Matematica. Stud. 97, 65-71, ISBN 0-691-08264-2
^(EN) Benoît Mandelbrot Aspecte fractale ale iterației de $z\mapsto \lambda z(1-z)$ ${\ displaystyle z \ mapsto \ lambda z (1-z)}$ ${\ displaystyle z \ mapsto \ lambda z (1-z)}$ pentru complex $\lambda ,z$ ${\ displaystyle \ lambda, z}$ ${\ displaystyle \ lambda, z}$ , Annals NY Acad. Sci. 357 , 249/259
^ ( EN ) RP Taylor & JC Sprott, Biophilic Fractals and the Visual Journey of Organic Screen-savers ( PDF ), su Nonlinear Dynamics, Psychology, and Life Sciences, Vol. 12, No. 1 , Society for Chaos Theory in Psychology & Științele vieții, 2008. Adus la 1 ianuarie 2009 .
^ ( FR ) Adrien Douady și John H. Hubbard, Etude dynamique des polynômes complexes , Prépublications mathémathiques d'Orsay 2/4 (1984/1985)
^(EN) John Briggs, Fractals: The Patterns of Haos. 1992, p. 80.
^ Arhimede , Voll. 39-40; Le Monnier, 1987. p. 109.
^ Mandelbrot , p. 259 .
^(EN) James Gleick, Chaos: Making a New Science, 1987. p. 229.
^ Lyubich, Mikhail, Six Lectures on Real and Complex Dynamics , mai-iunie, 1999. Accesat la 4 aprilie 2007 .
^ (EN) Mikhail Lyubich , Dynamic regulat și stochastic in the real quadratic family (PDF), în Proceedings of the National Academy of Sciences din Statele Unite ale Americii, vol. 95, noiembrie 1998, pp. 14025-14027, DOI : 10.1073 / pnas.95.24.14025 . Adus 04-04-2007 .
^ Maria Rita Laganà, Marco Righi și Francesco Romani, Informatică. Concepte și experimente , ediția a II-a, Milano, Apogeo Editore, 2007, p. 145, ISBN 978-88-503-2493-4 .

Bibliografie

( EN ) Benoît Mandelbrot, Fractals and haos: the Mandelbrot set and beyond , Springer, 2004, ISBN 0-387-20158-0 .

Elemente conexe

Alte proiecte

Wikimedia Commons conține imagini sau alte fișiere pe seturile Mandelbrot

linkuri externe

Benoit Mandelbrot: Fractalii și arta rugozității , TED

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică

[1] Uniunea matematică italiană , Buletinul Uniunii matematice italiene: matematica în societate și cultură , Bologna, N. Zanichelli , 2001, p. 236.

[2] (EN) Mandelbrot Set Explorer: Glosar matematic pe math.bu.edu. Adus 2007-107 .

[3] Robert Brooks și Peter Matelski, The Dynamics of 2-generator subgroups of PSL (2, C) , în „Riemann Surfaces and Related Topics”, ed. Kra și Maskit, Ann. Matematica. Stud. 97, 65-71, ISBN 0-691-08264-2

[4] (EN) Benoît Mandelbrot Aspecte fractale ale iterației de $z\mapsto \lambda z(1-z)$ ${\ displaystyle z \ mapsto \ lambda z (1-z)}$ ${\ displaystyle z \ mapsto \ lambda z (1-z)}$ pentru complex $\lambda ,z$ ${\ displaystyle \ lambda, z}$ ${\ displaystyle \ lambda, z}$ , Annals NY Acad. Sci. 357 , 249/259

[bf-5] ( EN ) RP Taylor & JC Sprott, Biophilic Fractals and the Visual Journey of Organic Screen-savers ( PDF ), su Nonlinear Dynamics, Psychology, and Life Sciences, Vol. 12, No. 1 , Society for Chaos Theory in Psychology & Științele vieții, 2008. Adus la 1 ianuarie 2009 .

[6] ( FR ) Adrien Douady și John H. Hubbard, Etude dynamique des polynômes complexes , Prépublications mathémathiques d'Orsay 2/4 (1984/1985)

[7] (EN) John Briggs, Fractals: The Patterns of Haos. 1992, p. 80.

[8] Arhimede , Voll. 39-40; Le Monnier, 1987. p. 109.

[9] Mandelbrot , p. 259 .

[10] (EN) James Gleick, Chaos: Making a New Science, 1987. p. 229.

[11] Lyubich, Mikhail, Six Lectures on Real and Complex Dynamics , mai-iunie, 1999. Accesat la 4 aprilie 2007 .

[12] (EN) Mikhail Lyubich , Dynamic regulat și stochastic in the real quadratic family (PDF), în Proceedings of the National Academy of Sciences din Statele Unite ale Americii, vol. 95, noiembrie 1998, pp. 14025-14027, DOI : 10.1073 / pnas.95.24.14025 . Adus 04-04-2007 .

[13] Maria Rita Laganà, Marco Righi și Francesco Romani, Informatică. Concepte și experimente , ediția a II-a, Milano, Apogeo Editore, 2007, p. 145, ISBN 978-88-503-2493-4 .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

V · D · M Teoria haosului
Teoria bifurcației	Furcă de bifurcație · Nod de șa de bifurcație · Bifurcație imperfectă · Bifurcație transcritică · Bifurcație Hopf · Larva Pin (sistem dinamic)
Fractale	Arta fractală · Buddhabrot · navă de ardere · compresie fractală · Koch fulg de zăpadă · curba Peano · curba Sierpinski · Dimensiunea Hausdorff · dimensiunii fractale · Funcția Cantor · Set Cantor · Set Julia · Mandelbrot · Fractalii pentru dimensiune Hausdorff · Cantor de praf · Sterling · Sierpinski Triangle · Dimensiunea Minkowski-Bouligand
Atractorii	Sistem Lorenz · Atractorul din Hénon · Harta Poincaré · Harta logistică · Harta potcoavelor · Spațiul de fază
Teoreticienii haosului	Edward Norton Lorenz · Aleksandr Lyapunov · Benoît Mandelbrot · Edward October · Henri Poincare · David Ruelle · Stephen Wolfram · James Yorke