Constantele Feigenbaum

Viteza de bifurcație Feigenbaum (sau constanta Feigenbaum)
Simbol	δ
Valoare	4, 66920160910299067185320382 ... (secvența A006890 a OEIS )
Originea numelui	Mitchell Feigenbaum
Fracție continuă	[4; 1, 2, 43, 2, 163, 2, 3, 1, 1, 2, 5, ...] (secvența A159766 a OEIS)
Camp	numere reale (presupuse transcendente )

Parametru de reducere Feigenbaum
Simbol	α
Valoare	2, 502907875095892822283902873218 ... (secvența A006891 a OEIS )
Fracție continuă	[2; 1, 1, 85, 2, 8, 1, 10, 16, 3, 8, 9, 2, ...] (secvența A159767 a OEIS)
Camp	numere reale (presupuse transcendente )
Raportul dintre două intervale succesive de bifurcație tinde la δ, în timp ce raportul dintre cel mai mic atractiv la o bifurcație și cel mai mic atractiv la următoarea bifurcație tinde la α.

În matematică , constantele Feigenbaum sau numerele Feigenbaum sunt două numere reale definite de matematicianul Mitchell Feigenbaum în 1975. Ele exprimă relații care apar în diagramele de bifurcație ale sistemelor studiate de teoria haosului .

Definiție

Diagramele de bifurcație se referă la valorile limită asumate de secvențele de tip:

\quad x_{n+1}=\mu f(x_{n})

{\ displaystyle \ quad x_ {n + 1} = \ mu f (x_ {n})}

{\ displaystyle \ quad x_ {n + 1} = \ mu f (x_ {n})}

unde f este o funcție reală, pozitivă definită, de trei ori diferențiată pe [0,1] și are un singur maxim în afara acestui interval, apoi un maxim relativ, notat cu x _m. Odată ce funcția este fixată, sub o anumită valoare de μ , secvența duce la o singură limită. Deasupra acestei valori și sub alta secvența oscilează apropiindu-se de două limite; deasupra celei de-a doua valori oscilează în jurul a patru limite și așa mai departe în conformitate cu un proces numit dublarea perioadei sau cascada Feigenbaum. Valorile limită la care tinde secvența pentru fiecare interval constituie un atractiv ciclic . Valorile μ care separă două intervale se numesc bifurcații și sunt notate cu μ ₁ , μ ₂ etc.

Prima constantă Feigenbaum este definită ca limita raportului dintre două intervale succesive de bifurcație:

\delta =\lim _{n\to \infty }{\frac {\mu _{n+1}-\mu _{n}}{\mu _{n+2}-\mu _{n+1}}}

{\ displaystyle \ delta = \ lim _ {n \ to \ infty} {\ frac {\ mu _ {n + 1} - \ mu _ {n}} {\ mu _ {n + 2} - \ mu _ { n + 1}}}}

{\ displaystyle \ delta = \ lim _ {n \ to \ infty} {\ frac {\ mu _ {n + 1} - \ mu _ {n}} {\ mu _ {n + 2} - \ mu _ { n + 1}}}}

În cazul hărții logistice , unde $\quad x_{n+1}=\mu x_{n}(1-x_{n})$ ${\ displaystyle \ quad x_ {n + 1} = \ mu x_ {n} (1-x_ {n})}$ ${\ displaystyle \ quad x_ {n + 1} = \ mu x_ {n} (1-x_ {n})}$ studiat inițial de Feigenbaum:

δ = 4.66920160910299067185320382 ...

S-a constatat că aceeași relație se găsește între diametrele cercurilor succesive de pe axa reală a mulțimii Mandelbrot .

Toate sistemele haotice care respectă această lege se bifurcă la aceeași viteză. Prima constantă a lui Feigenbaum poate fi utilizată pentru a prezice când va apărea haosul în sistem.

Pentru a defini a doua constantă Feigenbaum, pentru fiecare atractiv ciclic al cascadei de bifurcație, trebuie luat în considerare punctul cel mai apropiat de x _m , notat cu d _n în cazul atractorului de 2 ⁿ puncte. Secvența d _n este astfel construită și definită:

\alpha =\lim _{n\to \infty }{\frac {d_{n}}{d_{n+1}}}

{\ displaystyle \ alpha = \ lim _ {n \ to \ infty} {\ frac {d_ {n}} {d_ {n + 1}}}}

{\ displaystyle \ alpha = \ lim _ {n \ to \ infty} {\ frac {d_ {n}} {d_ {n + 1}}}}

Din nou în cazul hărții logistice:

α = 2.502907875095892822283902873218 ...

Aceste constante se aplică unei clase mari de sisteme dinamice. Se crede, de fapt nu s-a dovedit încă, că sunt transcendente .

linkuri externe

( EN ) Eric W. Weisstein,Feigenbaum Constants , în MathWorld , Wolfram Research.

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică