Aditivitatea Sigma

Titlul acestei pagini este incorect datorită caracteristicilor software-ului MediaWiki . Titlul corect este σ-aditivitate .

În matematică , aditivitatea și σ-aditivitatea ( aditivitatea sigma ) a unei funcții definite pe subseturi ale unui set dat sunt abstracții ale proprietăților măsurii ( lungimea , aria , volumul ) unui set: „măsura” uniunii dintre două seturi disjuncte nu sunt altceva decât suma celor două măsuri unice.

Definiții

Este ${\mathcal {A}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {A}}}$ ${\ mathcal {A}}$ o algebră de mulțimi . O functie $\mu \colon {\mathcal {A}}\to [-\infty ,\infty ]$ ${\ displaystyle \ mu \ colon {\ mathcal {A}} \ to [- \ infty, \ infty]}$ ${\ displaystyle \ mu \ colon {\ mathcal {A}} \ to [- \ infty, \ infty]}$ (vezi linia reală extinsă ) se spune ( finit ) aditiv dacă, $\forall \,A,B\in {\mathcal {A}}$ ${\ displaystyle \ forall \, A, B \ in {\ mathcal {A}}}$ ${\ displaystyle \ forall \, A, B \ in {\ mathcal {A}}}$ disjunct avem:

\mu (A\cup B)=\mu (A)+\mu (B)

{\ displaystyle \ mu (A \ cup B) = \ mu (A) + \ mu (B)}

{\ displaystyle \ mu (A \ cup B) = \ mu (A) + \ mu (B)}

Funcția se numește aditiv numeric sau σ-aditiv dacă pentru fiecare secvență $A_{1},A_{2},\dots {},A_{n},\dots {}\in {\mathcal {A}}$ ${\ displaystyle A_ {1}, A_ {2}, \ dots {}, A_ {n}, \ dots {} \ în {\ mathcal {A}}}$ ${\ displaystyle A_ {1}, A_ {2}, \ dots {}, A_ {n}, \ dots {} \ în {\ mathcal {A}}}$ disjuncte unele de altele și astfel încât uniunea lor numărabilă este încă înăuntru ${\mathcal {A}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {A}}}$ ${\ mathcal {A}}$ avem: ^[1]

\mu \left(\bigcup _{n=1}^{\infty }A_{n}\right)=\sum _{n=1}^{\infty }\mu (A_{n})

{\ displaystyle \ mu \ left (\ bigcup _ {n = 1} ^ {\ infty} A_ {n} \ right) = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} \ mu (A_ {n}) }

{\ displaystyle \ mu \ left (\ bigcup _ {n = 1} ^ {\ infty} A_ {n} \ right) = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} \ mu (A_ {n}) }

Fiecare funcție σ-aditivă este o funcție aditivă (finit), dar inversul nu este adevărat.

Proprietate

Ca o consecință a definiției avem că nici o funcție aditivă nu poate asuma $-\infty$ ${\ displaystyle - \ infty}$ $- \ infty$ acea $+\infty$ ${\ displaystyle + \ infty}$ $+ \ infty$ ca valori, deoarece expresia $\infty -\infty$ ${\ displaystyle \ infty - \ infty}$ ${\ displaystyle \ infty - \ infty}$ este nedefinit. Prin inducția matematică se poate dovedi că o funcție aditivă satisface:

\mu \left(\bigcup _{n=1}^{N}A_{n}\right)=\sum _{n=1}^{N}\mu (A_{n})

{\ displaystyle \ mu \ left (\ bigcup _ {n = 1} ^ {N} A_ {n} \ right) = \ sum _ {n = 1} ^ {N} \ mu (A_ {n})}

{\ displaystyle \ mu \ left (\ bigcup _ {n = 1} ^ {N} A_ {n} \ right) = \ sum _ {n = 1} ^ {N} \ mu (A_ {n})}

pentru fiecare colecție terminată $A_{1},A_{2},\dots {},A_{n}$ ${\ displaystyle A_ {1}, A_ {2}, \ dots {}, A_ {n}}$ ${\ displaystyle A_ {1}, A_ {2}, \ dots {}, A_ {n}}$ de seturi disjuncte ${\mathcal {A}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {A}}}$ ${\ mathcal {A}}$ .

Proprietăți utile ale unei funcții aditive $\mu$ ${\ displaystyle \ mu}$ $\ mu$ Sunt:

$\mu (\emptyset )=0$ ${\ displaystyle \ mu (\ emptyset) = 0}$ ${\ displaystyle \ mu (\ emptyset) = 0}$ .
De sine $\mu$ ${\ displaystyle \ mu}$ $\ mu$ este non-negativ (adică $\forall \,E\in {\mathcal {A}}\;\;\mu (E)\geq 0$ ${\ displaystyle \ forall \, E \ in {\ mathcal {A}} \; \; \ mu (E) \ geq 0}$ ${\ displaystyle \ forall \, E \ in {\ mathcal {A}} \; \; \ mu (E) \ geq 0}$ ) Și $A\subset B$ ${\ displaystyle A \ subset B}$ $A \ subset B$ , asa de $\mu (A)\leq \mu (B)$ ${\ displaystyle \ mu (A) \ leq \ mu (B)}$ ${\ displaystyle \ mu (A) \ leq \ mu (B)}$ .
De sine $A\subset B$ ${\ displaystyle A \ subset B}$ $A \ subset B$ asa de $\mu (B-A)=\mu (B)-\mu (A)$ ${\ displaystyle \ mu (BA) = \ mu (B) - \ mu (A)}$ ${\ displaystyle \ mu (B-A) = \ mu (B) - \ mu (A)}$ .
Date $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ Și $B.$ ${\ displaystyle B}$ $B.$ , $\mu (A\cup B)+\mu (A\cap B)=\mu (A)+\mu (B)$ ${\ displaystyle \ mu (A \ cup B) + \ mu (A \ cap B) = \ mu (A) + \ mu (B)}$ ${\ displaystyle \ mu (A \ cup B) + \ mu (A \ cap B) = \ mu (A) + \ mu (B)}$ .

Exemple

Un exemplu de funcție σ-aditivă este funcția $\mu$ ${\ displaystyle \ mu}$ $\ mu$ definite pe setul de părți ale numerelor reale , astfel încât:

\mu (A)={\begin{cases}1&{\mbox{ se }}0\in A\\0&{\mbox{ se }}0\notin A\end{cases}}

{\ displaystyle \ mu (A) = {\ begin {cases} 1 & {\ mbox {se}} 0 \ în A \\ 0 & {\ mbox {se}} 0 \ notin A \ end {cases}}}

{\ displaystyle \ mu (A) = {\ begin {cases} 1 & {\ mbox {se}} 0 \ în A \\ 0 & {\ mbox {se}} 0 \ notin A \ end {cases}}}

Notă

^ Dacă ${\mathcal {A}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {A}}}$ ${\ mathcal {A}}$ este în special o σ-algebră , atunci ipoteza referitoare la uniunea lui $A_{i}$ ${\ displaystyle A_ {i}}$ $Către}$ este întotdeauna verificat.

Bibliografie

( EN ) N. Bourbaki, Elements of math. Integrare , Addison-Wesley (1975) pp. Capitolul 6; 7; 8
( EN ) N. Dunford, JT Schwartz, Operatori liniari. Teoria generală , 1 , Interscience (1958)

Elemente conexe

linkuri externe

( EN ) VV Sazonov, Algebra of sets , în Encyclopaedia of Mathematics , Springer and European Mathematical Society, 2002.
( EN ) σ-algebra , în PlanetMath .

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică

[1] Dacă ${\mathcal {A}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {A}}}$ ${\ mathcal {A}}$ este în special o σ-algebră , atunci ipoteza referitoare la uniunea lui $A_{i}$ ${\ displaystyle A_ {i}}$ $Către}$ este întotdeauna verificat.

[1]