Măsurare externă

În matematică , în special în teoria măsurătorilor , o măsură externă este o funcție definită pe toate subseturile unui set dat, cu valori reale extinse , care îndeplinește unele condiții tehnice suplimentare.

Teoria generală a măsurilor externe a fost dezvoltată de Constantin Carathéodory pentru a găsi o bază pentru teoria seturilor măsurabile și a măsurilor numerice aditive. Munca lui Carathéodory asupra măsurilor externe a găsit multe aplicații în teoria măsurabilă a mulțimilor și a fost esențială pentru ca Hausdorff să definească un invariant metric numit acum dimensiunea Hausdorff .

Măsurătorile sunt generalizări ale lungimii, ariei și volumului și sunt utile pentru seturi mult mai neregulate de intervale simple sau bile deschise în $\mathbb {R} ^{3}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {3}}$ $\ R ^ 3$ . Este necesară definirea unei funcții de măsurare generalizată $\varphi$ ${\ displaystyle \ varphi}$ $\ varphi$ care îndeplinește următoarele trei condiții:

Fiecare interval al regalității $[a,b]$ ${\ displaystyle [a, b]}$ $[a, b]$ are măsură $b-a$ ${\ displaystyle ba}$ $b-a$ .
Funcția de măsurare $\varphi$ ${\ displaystyle \ varphi}$ $\ varphi$ este o funcție extinsă non-negativă cu valoare reală definită pentru orice subset de $\mathbb {R}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R}}$ $\ R$ .
Funcția de măsurare $\varphi$ ${\ displaystyle \ varphi}$ $\ varphi$ este numeric aditiv . În mod explicit, pentru fiecare succesiune $\{A_{j}\}_{j}$ ${\ displaystyle \ {A_ {j} \} _ {j}}$ ${\ displaystyle \ {A_ {j} \} _ {j}}$ a două-la-două subseturi disjuncte de $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ avem:

\varphi \left(\bigcup _{i=1}^{\infty }A_{i}\right)=\sum _{i=1}^{\infty }\varphi (A_{i})

{\ displaystyle \ varphi \ left (\ bigcup _ {i = 1} ^ {\ infty} A_ {i} \ right) = \ sum _ {i = 1} ^ {\ infty} \ varphi (A_ {i}) }

{\ displaystyle \ varphi \ left (\ bigcup _ {i = 1} ^ {\ infty} A_ {i} \ right) = \ sum _ {i = 1} ^ {\ infty} \ varphi (A_ {i}) }

Scopul construirii unei măsuri externe pentru toate subseturile de $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ este aceea de a extrage o clasă adecvată de subseturi numite măsurabile, astfel încât proprietatea aditivității numărabile să fie satisfăcută.

Definiție

O măsură externă este definită ca o funcție definită pe toate subseturile unui set $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ :

\varphi :2^{X}\rightarrow [0,\infty ]

{\ displaystyle \ varphi: 2 ^ {X} \ rightarrow [0, \ infty]}

{\ displaystyle \ varphi: 2 ^ {X} \ rightarrow [0, \ infty]}

astfel încât:

Setul gol are zero măsură externă:

\varphi (\varnothing )=0\

{\ displaystyle \ varphi (\ varnothing) = 0 \}

{\ displaystyle \ varphi (\ varnothing) = 0 \}

$\varphi$ ${\ displaystyle \ varphi}$ $\ varphi$ este monoton , adică dacă $A\subseteq B$ ${\ displaystyle A \ subseteq B}$ ${\ displaystyle A \ subseteq B}$ asa de:

\varphi (A)\leq \varphi (B)

{\ displaystyle \ varphi (A) \ leq \ varphi (B)}

{\ displaystyle \ varphi (A) \ leq \ varphi (B)}

$\varphi$ ${\ displaystyle \ varphi}$ $\ varphi$ este numeric subadditiv . În mod explicit, pentru fiecare succesiune $\{A_{j}\}_{j}$ ${\ displaystyle \ {A_ {j} \} _ {j}}$ ${\ displaystyle \ {A_ {j} \} _ {j}}$ de subseturi de $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ nu neapărat disjunct avem:

\varphi \left(\bigcup _{j=1}^{\infty }A_{j}\right)\leq \sum _{j=1}^{\infty }\varphi (A_{j})

{\ displaystyle \ varphi \ left (\ bigcup _ {j = 1} ^ {\ infty} A_ {j} \ right) \ leq \ sum _ {j = 1} ^ {\ infty} \ varphi (A_ {j} )}}

{\ displaystyle \ varphi \ left (\ bigcup _ {j = 1} ^ {\ infty} A_ {j} \ right) \ leq \ sum _ {j = 1} ^ {\ infty} \ varphi (A_ {j} )}}

Rețineți că monotonia nu rezultă din subaditivitate (în timp ce ar urma, de exemplu, din aditivitate ).

Definiția permite definirea conceptului de măsurabilitate în modul următor. Un set $E\subset X$ ${\ displaystyle E \ subset X}$ $E \ subset X$ Și $\varphi$ ${\ displaystyle \ varphi}$ $\ varphi$ - măsurabile (sau Carathéodory - măsurabile prin $\varphi$ ${\ displaystyle \ varphi}$ $\ varphi$ ) dacă și numai dacă pentru fiecare subset $A\subset X$ ${\ displaystyle A \ subset X}$ $A \ subset X$ avem:

\varphi (A)=\varphi (A\cap E)+\varphi (A\cap E^{c})

{\ displaystyle \ varphi (A) = \ varphi (A \ cap E) + \ varphi (A \ cap E ^ {c})}

{\ displaystyle \ varphi (A) = \ varphi (A \ cap E) + \ varphi (A \ cap E ^ {c})}

Se arată că seturile $\varphi$ ${\ displaystyle \ varphi}$ $\ varphi$ -măsurabil formează o σ-algebră, e $\varphi$ ${\ displaystyle \ varphi}$ $\ varphi$ limitată la seturi măsurabile, este o măsură completă aditivă numeric.

Această metodă este, de asemenea, cunoscută sub numele de construcția Carathéodory și este una dintre modalitățile de a ajunge la conceptul de măsură al lui Lebesgue , care este foarte important în teoria măsurii și în teoria integralelor .

Măsurare externă și topologie

Este $(X,d)$ ${\ displaystyle (X, d)}$ $(X, d)$ un spațiu metric e $\varphi$ ${\ displaystyle \ varphi}$ $\ varphi$ o măsură externă sus $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ . De sine $\varphi$ ${\ displaystyle \ varphi}$ $\ varphi$ este astfel încât:

\varphi (E\cup F)=\varphi (E)+\varphi (F)

{\ displaystyle \ varphi (E \ cup F) = \ varphi (E) + \ varphi (F)}

{\ displaystyle \ varphi (E \ cup F) = \ varphi (E) + \ varphi (F)}

de fiecare dată când:

d(E,F)=\inf\{d(x,y):x\in E,y\in F\}>0

{\ displaystyle d (E, F) = \ inf \ {d (x, y): x \ în E, y \ în F \}> 0}

{\ displaystyle d (E, F) = \ inf \ {d (x, y): x \ în E, y \ în F \}> 0}

asa de $\varphi$ ${\ displaystyle \ varphi}$ $\ varphi$ se numește măsură externă metrică .

Dovedește că dacă $\varphi$ ${\ displaystyle \ varphi}$ $\ varphi$ este o măsură externă metrică pe $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ apoi fiecare subset Borel de $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ Și $\varphi$ ${\ displaystyle \ varphi}$ $\ varphi$ -măsurabil, unde seturile Borel $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ sunt elementele celei mai mici σ-algebre generate de seturi deschise.

Construirea de măsuri externe

Este $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ un set, $C.$ ${\ displaystyle C}$ $C.$ un subset de $2^{X}$ ${\ displaystyle 2 ^ {X}}$ ${\ displaystyle 2 ^ {X}}$ care conține setul gol și be $p$ ${\ displaystyle p}$ $p$ o funcție cu valoare reală extinsă peste $C.$ ${\ displaystyle C}$ $C.$ care dispare pe platoul gol. Dovedește că funcția $\varphi$ ${\ displaystyle \ varphi}$ $\ varphi$ astfel încât:

\varphi (E)=\inf \left\{\sum _{i=1}^{\infty }p(A_{i})\right\}\quad A_{i}\in C

{\ displaystyle \ varphi (E) = \ inf \ left \ {\ sum _ {i = 1} ^ {\ infty} p (A_ {i}) \ right \} \ quad A_ {i} \ în C}

{\ displaystyle \ varphi (E) = \ inf \ left \ {\ sum _ {i = 1} ^ {\ infty} p (A_ {i}) \ right \} \ quad A_ {i} \ în C}

unde limita inferioară se extinde peste toate secvențele $\{A_{i}\}$ ${\ displaystyle \ {A_ {i} \}}$ ${\ displaystyle \ {A_ {i} \}}$ de seturi de $C.$ ${\ displaystyle C}$ $C.$ acea acoperire $ȘI$ ${\ displaystyle E}$ $ȘI$ , este o măsură externă a $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ . Prin convenție, dacă nu există o astfel de secvență, atunci limita inferioară este infinită.

Măsurători externe în spații metrice

Există mai multe proceduri pentru construirea măsurilor externe pe un set. În cele ce urmează este descrisă o a doua procedură, mai potrivită pentru construirea măsurilor externe pe spații metrice, deoarece produce măsurători metrice externe.

Este $(X,d)$ ${\ displaystyle (X, d)}$ $(X, d)$ un spațiu metric, $C.$ ${\ displaystyle C}$ $C.$ un subset de $2^{X}$ ${\ displaystyle 2 ^ {X}}$ ${\ displaystyle 2 ^ {X}}$ care conține setul gol și be $p$ ${\ displaystyle p}$ $p$ o funcție cu valoare reală extinsă peste $C.$ ${\ displaystyle C}$ $C.$ care dispare pe platoul gol. Pentru fiecare $\delta >0$ ${\ displaystyle \ delta> 0}$ $\ delta> 0$ defini:

C_{\delta }=\{A\in C:\operatorname {diam} (A)\leq \delta \}\qquad \varphi _{\delta }(E)=\inf \left\{\sum _{i=1}^{\infty }p(A_{i})\right\}

{\ displaystyle C _ {\ delta} = \ {A \ în C: \ operatorname {diam} (A) \ leq \ delta \} \ qquad \ varphi _ {\ delta} (E) = \ inf \ left \ { \ sum _ {i = 1} ^ {\ infty} p (A_ {i}) \ right \}}

{\ displaystyle C _ {\ delta} = \ {A \ în C: \ operatorname {diam} (A) \ leq \ delta \} \ qquad \ varphi _ {\ delta} (E) = \ inf \ left \ { \ sum _ {i = 1} ^ {\ infty} p (A_ {i}) \ right \}}

unde limita inferioară se extinde peste toate secvențele $\{A_{i}\}_{i}$ ${\ displaystyle \ {A_ {i} \} _ {i}}$ ${\ displaystyle \ {A_ {i} \} _ {i}}$ de seturi de $C_{\delta }$ ${\ displaystyle C _ {\ delta}}$ $C _ {\ delta}$ acea acoperire $ȘI$ ${\ displaystyle E}$ $ȘI$ . În cazul în care $\delta \leq \delta '$ ${\ displaystyle \ delta \ leq \ delta '}$ ${\ displaystyle \ delta \ leq \ delta '}$ avem asta $\varphi _{\delta }'\leq \varphi _{\delta }$ ${\ displaystyle \ varphi _ {\ delta} '\ leq \ varphi _ {\ delta}}$ ${\ displaystyle \ varphi _ {\ delta} '\ leq \ varphi _ {\ delta}}$ , deoarece limita inferioară este luată pe o clasă mai mică atunci când $\delta$ ${\ displaystyle \ delta}$ $\ delta$ scade. În consecință, există o limită:

\lim _{\delta \rightarrow 0}\varphi _{\delta }(E)=\varphi _{0}(E)\in [0,\infty ]

{\ displaystyle \ lim _ {\ delta \ rightarrow 0} \ varphi _ {\ delta} (E) = \ varphi _ {0} (E) \ în [0, \ infty]}

{\ displaystyle \ lim _ {\ delta \ rightarrow 0} \ varphi _ {\ delta} (E) = \ varphi _ {0} (E) \ în [0, \ infty]}

Dovedește că $\varphi _{0}$ ${\ displaystyle \ varphi _ {0}}$ $\ varphi _ {0}$ este o măsură externă metrică pe $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ . Această construcție este utilizată în definiția măsurilor Hausdorff pentru un spațiu metric.

Bibliografie

( EN ) P. Halmos , Teoria măsurătorilor , D. van Nostrand and Co., 1950
(EN) ME Munroe, Introducere în măsură și integrare, Addison Wesley, 1953
( EN ) AN Kolmogorov & SV Fomin, traducere de Richard A. Silverman, Introductory Real Analysis , Dover Publications, New York, 1970 ISBN 0-486-61226-0

Elemente conexe

linkuri externe

( EN ) VA Skvortsov, Outer measure , în Enciclopedia Matematicii , Springer și European Mathematical Society, 2002.

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică