Funcție aditivă

În teoria numerelor , o funcție aditivă este o funcție aritmetică f ( n ) a întregului n astfel încât pentru fiecare a și b numere întregi coprimă avem:

f(ab)=f(a)+f(b)\,

{\ displaystyle f (ab) = f (a) + f (b) \,}

f (ab) = f (a) + f (b) \,

Funcție complet aditivă

O funcție aditivă $f(n)$ ${\ displaystyle f (n)}$ $f (n)$ se numește complet aditiv dacă $f(ab)=f(a)+f(b)$ ${\ displaystyle f (ab) = f (a) + f (b)}$ $f (ab) = f (a) + f (b)$ este adevărat pentru toate numerele întregi pozitive a și b , chiar dacă acestea nu sunt coprimă.

Fiecare funcție complet aditivă este aditivă, dar nu invers.

Exemple

Sunt funcții aritmetice complet aditive:

Funcția de logaritm considerată în N.
a ₀ ( n ) - suma primilor care împart n . Avem ₀ (20) = a ₀ (2 ² · 5) = 2 + 2 + 5 = 9. Unele valori: ( OEIS A001414 ).

a ₀ (4) = 4

la ₀ (27) = 9

a ₀ (144) = a ₀ (2 ⁴ 3 ² ) = a ₀ (2 ⁴ ) + a ₀ (3 ² ) = 8 + 6 = 14

a ₀ (2.000) = a ₀ (2 ⁴ 5 ³ ) = a ₀ (2 ⁴ ) + a ₀ (5 ³ ) = 8 + 15 = 23

la ₀ (2.001) = 55

la ₀ (2.002) = 33

a ₀ (2.003) = 2003

a ₀ (54.032.858.972.279) = 1240658

a ₀ (54.032.858.972.302) = 1780417

a ₀ (20.802.650.704.327.415) = 1240681

...

a ₁ ( n ) - suma primei diviziuni distincte n . Avem: a ₁ (1) = 0, a ₁ (20) = 2 + 5 = 7. Câteva valori suplimentare: ( OEIS A008472 )

a ₁ (4) = 2

a ₁ (27) = 3

a ₁ (144) = a ₁ (2 ⁴ 3 ² ) = a ₁ (2 ⁴ ) + a ₁ (3 ² ) = 2 + 3 = 5

a ₁ (2.000) = a ₁ (2 ⁴ 5 ³ ) = a ₁ (2 ⁴ ) + a ₁ (5 ³ ) = 2 + 5 = 7

a ₁ (2.001) = 55

a ₁ (2.002) = 33

a ₁ (2.003) = 2003

a ₁ (54.032.858.972.279) = 1238665

a ₁ (54.032.858.972.302) = 1780410

a ₁ (20.802.650.704.327.415) = 1238677

...

Funcția Ω (n), definită ca numărul total de factori mai întâi din n, numărând fiecare factor în multiplicitatea sa. Aceasta implică Ω (1) = 0 deoarece 1 nu are factori primi. Alte valori: ( OEIS A001222 ^{[ conexiune întreruptă ]} )

Ω (4) = 2

Ω (27) = 3

Ω (144) = Ω (2 ⁴ 3 ² ) = Ω (2 ⁴ ) + Ω (3 ² ) = 4 + 2 = 6

Ω (2.000) = Ω (2 ⁴ 5 ³ ) = Ω (2 ⁴ ) + Ω (5 ³ ) = 4 + 3 = 7

Ω (2.001) = 3

Ω (2.002) = 4

Ω (2.003) = 1

Ω (54.032.858.972.279) = 3

Ω (54.032.858.972.302) = 6

Ω (20.802.650.704.327.415) = 7

...

ω ( n ), definit ca numărul total de factori primi distincti ai lui n . Acesta este un exemplu de funcție aditivă care nu este complet aditivă. Unele valori (comparați cu Ω ( n )) ( OEIS A001221 ):

ω (4) = 1

ω (27) = 1

ω (144) = ω (2 ⁴ 3 ² ) = ω (2 ⁴ ) + ω (3 ² ) = 1 + 1 = 2

ω (2.000) = ω (2 ⁴ 5 ³ ) = ω (2 ⁴ ) + ω (5 ³ ) = 1 + 1 = 2

ω (2.001) = 3

ω (2.002) = 4

ω (2.003) = 1

ω (54.032.858.972.279) = 3

ω (54.032.858.972.302) = 5

ω (20.802.650.704.327.415) = 5

...

Funcții aditive și funcții multiplicative

Din orice funcție aditivă $f(n)\,$ ${\ displaystyle f (n) \,}$ $f (n) \,$ puteți crea cu ușurință o funcție multiplicativă $g(n)$ ${\ displaystyle g (n)}$ $g (n)$ , adică cu proprietatea pe care pentru fiecare a și b coprimă avem:

g(ab)=g(a)\times g(b)

{\ displaystyle g (ab) = g (a) \ ori g (b)}

g (ab) = g (a) \ ori g (b)

Un exemplu este $g(n)=2^{f(n)}$ ${\ displaystyle g (n) = 2 ^ {f (n)}}$ $g (n) = 2 ^ {f (n)}$

Funcții aditive în alte domenii ale matematicii

În afara teoriei numerelor, o funcție aditivă este definită ca o funcție care păstrează operația de adăugare:

f(x+y)=f(x)+f(y)

{\ displaystyle f (x + y) = f (x) + f (y)}

f (x + y) = f (x) + f (y)

pentru fiecare element x și y al domeniului . Ecuația funcțională anterioară este cunoscută sub numele de ecuație Cauchy .

Bibliografie

Janko Bračič, Kolobar aritmetičnih funkcij ( Ring of arithmetic functions ), (Obzornik mat, fiz. 49 (2002) 4, pp 97 - 108) (MSC (2000) 11A25)

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică

V · D · M Teoria numerelor
Cele mai utilizate numere	Natural · Întreg · Par și impar
Principii generale	Principiul inducției · Principiul unei bune ordonări · Relația de echivalență
Secvențe de numere întregi	Factorial · Fibonacci · Număr de catalană · Număr Perrin · Număr de Euler · Secvență Mian-Chowla · Succesiunea lui Thue-Morse
Caracteristicile numerelor prime	Primul număr · lema lui Euclid · Teorema infinitate de numere prime · ciurul Eratostene · teste primality · Teorema fundamentală a aritmeticii · Total acoperire mine · Bézout Identitate · MCD · mcm · algoritmul lui Euclid · Teorema de Prime Numbers
Funcții aritmetice	Funcție multiplicativă · funcție aditivă · convoluție Dirichlet · funcția Euler Euler · funcția Möbius · funcția tau pe pozitiv · funcția sigmoidă · funcția Liouville · funcția Mertens
Aritmetica modulară	Teorema a restului chinez · teorema lui Fermat mici · teorema lui Euler · Criterii de divizibilitate · teorema lui Fermat pe sume de două pătrate · Wilson Teorema · reciprocitatea pătratică
Conjecturi	Conjectura lui Goldbach · Conjectura Polignac · Guess abc · conjectura primelor gemene · Conjectura lui Legendre · Noua conjectură Mersenne · Conjectura Collatz · Ipoteza Riemann
Alte	Problema lui Waring
Principalii teoreticieni	Fibonacci · Fermat · Gauss · Euler · Legendre · Riemann · Dirichlet
Disciplinele conexe	Teoria algebrică a numerelor · Teoria analitică a numerelor · Criptografie · Teoria computațională a numerelor