Succesiunea Thue-Morse

Succesiunea lui Thue-Morse, a lui Prouhet-Thue-Morse numită și succesiune, este o succesiune de cifre binare care găsește aplicații în diferite domenii ale matematicii .

Secvența începe cu: ^[1]

0110100110010110100101100110100110010110011010010110100110010110 ...

La 0 și 1, puteți înlocui orice altă pereche de simboluri, fără ca logica structurii secvenței să fie afectată ^[2] .

Istorie

Succesiunea lui Thue-Morse a fost studiată inițial de matematicianul Eugène Prouhet în 1851 , care a aplicat-o însă teoriei numerelor , fără a defini în mod explicit ^[3] . Primul care a făcut acest lucru a fost în 1906 , Axel Thue , care a folosit secvența pentru a fonda combinația de cuvinte ^[4] ^[5] . Cu toate acestea, succesiunea a fost adusă în atenția comunității internaționale abia în 1921 , grație lucrării Marston Morse care a aplicat-o geometriei diferențiale ^[6] .

Secvența Thue-Morse a fost redescoperită independent de mai multe ori, chiar și de matematicieni neprofesioniști. De exemplu, marele maestru de șah , fost campion mondial și profesor de matematică Max Euwe a descoperit în 1929 o modalitate de a folosi succesiunea pentru a ocoli o regulă de șah care consideră că meciul s-a încheiat într-o remiză în caz de repetare continuă secvențe de mișcări și putând extinde infinit jocul ^[7] , profitând de proprietățile sale pentru a fi lipsit de șiruri repetate de trei ori.

Definiție

Elementele succesiunii Thue-Morse dispuse în pătrate concentrice, din interior spre exterior. Aici liniuțele scurte reprezintă 0, iar liniile lungi 1. Observați diferențele structurale (evidente în colțuri) între nivelurile pare și impare.

Există mai multe moduri echivalente de definire a secvenței Thue-Morse.

Definiție directă

Al n-lea număr de secvență Thue-Morse este 0 dacă expresia lui n din baza 2 conține un număr egal de 1 și este una dacă conține o cantitate impară. De exemplu, expresia binară a numărului 5 este 101, care conține 2 cifre 1: atunci al cincilea simbol al secvenței Thue-Morse este 0. Matematicianul John Conway a definit numere odioase ^[8] numerele întregi n astfel încât t _n = 1 și numere rele ^[9] acelea pentru care t _n = 0 (acesta este un joc de cuvinte , în engleză , între sau ious și CE în continuare, adică „urăsc” și „rău”, și od d și ev en, adică „ciudat” și „egal”).

Ca o secvență recursivă

Succesiunea lui Thue-Morse este secvența care satisface proprietățile care, dacă t _n este al n -lea element al secvenței Thue-Morse, atunci:

t ₀ = 0;

₂ t _n = t _n și

t _{2 n +1} = t _n-1

pentru orice număr natural n.

La fel ca sistemul L

Succesiunea lui Thue-Morse este rezultatul următorului sistem Lindenmayer :

 variabile 0 1
nici o constantă
începând cu 0
reguli (0 → 01), (1 → 10)

Aceasta înseamnă că poate fi obținut începând cu un 0 și înlocuind toate 0-urile cu 01 și toate 1-urile cu 10 și repetându-l la nesfârșit. Rețineți că această procedură lasă valorile inițiale ale șirului neschimbate, în timp ce fiecare iterație dublează numărul de cifre.

Definiție prin negare bitwise

Succesiunea lui Thue-Morse, dacă este considerată ca o secvență de biți, poate fi definită recursiv prin intermediul negației , adăugând fiecărei tranziții pentru a secvența exact opusul său. Când dețineți primele 2 ⁿ elemente ale șirului, puteți cunoaște 2 ⁿ succesive ^, care constau în bitul opus din prima jumătate. De exemplu, știind că primul bit este 0, deoarece negația sa este 1, următorul bit va fi 1; și întrucât negarea lui 01 este 10, următorii doi biți vor fi 10; si asa mai departe. Primii pași sunt după cum urmează:

Construirea secvenței Thue-Morse cu metoda de negare bit-by-bit

T ₀ = 0.
T ₁ = 01.
T ₂ = 0110.
T ₃ = 01101001.
T ₄ = 0110100110010110.
T ₅ = 01101001100101101001011001101001.
T ₆ = 0110100110010110100101100110100110010110011010010110100110010110.

Ca produs infinit

Secvența Thue-Morse poate fi definită ca secvența 0 și 1 care satisface următoarea relație:

\prod _{i=0}^{\infty }(1-x^{2^{i}})=\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{t_{n}}x^{n}{\mbox{,}}\!

{\ displaystyle \ prod _ {i = 0} ^ {\ infty} (1-x ^ {2 ^ {i}}) = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} (- 1) ^ {t_ {n}} x ^ {n} {\ mbox {,}} \!}

{\ displaystyle \ prod _ {i = 0} ^ {\ infty} (1-x ^ {2 ^ {i}}) = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} (- 1) ^ {t_ {n}} x ^ {n} {\ mbox {,}} \!}

,

considerând întotdeauna t _n ca al n -lea element al succesiunii.

Proprietăți matematice

Cinci matrice binare pătrate care, dacă sunt citite linie cu linie, exprimând primele elemente ale secvenței Thue-Morse. Fiecare se obține combinând într-un pătrat patru dintre matricile anterioare, dintre care două ^[10] inversate.

Fiind secvența Thue-Morse construibilă pentru negative și adăugiri ulterioare, prin metoda negării blocurilor de biți, conține multe pătrate: adică, șiruri repetate sub forma xx, unde x este o secvență de biți. Suntem cubici, adică șiruri sub forma xxx ^[11] . Există chiar pătrate suprapuse, adică șiruri 0 x 0 x 0 sau 1 x 1 x 1. ^[12]
Pentru toți $n>1$ ${\ displaystyle n> 1}$ $n> 1$ , piesa succesiunii Thue-Morse de la început până la $t_{2n}$ ${\ displaystyle t_ {2n}}$ ${\ displaystyle t_ {2n}}$ Este un palindrom . De asemenea, numărarea 1 între două 0 consecutive în $t_{2n}$ ${\ displaystyle t_ {2n}}$ ${\ displaystyle t_ {2n}}$ (adică până la $t_{2^{n}}$ ${\ displaystyle t_ {2 ^ {n}}}$ ${\ displaystyle t_ {2 ^ {n}}}$ ) și chemare $q_{n}$ ${\ displaystyle q_ {n}}$ $q_ {n}$ ca șirul obținut prin concatenarea acelor valori (de exemplu $q_{1}=2$ ${\ displaystyle q_ {1} = 2}$ ${\ displaystyle q_ {1} = 2}$ Și $q_{2}=2102012$ ${\ displaystyle q_ {2} = 2102012}$ ${\ displaystyle q_ {2} = 2102012}$ ), $q_{n}$ ${\ displaystyle q_ {n}}$ $q_ {n}$ Este întotdeauna un șir palindrom și nu are pătrat ^[11] . Asta pentru că $T_{n}$ ${\ displaystyle T_ {n}}$ $T_ {n}$ nu conține niciodată pătrate suprapuse e $T_{n}$ ${\ displaystyle T_ {n}}$ $T_ {n}$ este întotdeauna palindrom.

Succesiunea lui Thue-Morse, deși nu este o secvență periodică , este un solicitant de secvență : aceasta înseamnă că, luând orice șir $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ în el, există întotdeauna o lungime $L_{x}$ ${\ displaystyle L_ {x}}$ $L_ {x}$ (de obicei mult mai mare decât lungimea $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ ) astfel încât orice bucată din secvență să conțină întotdeauna $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ cel puțin o dată. Exponentul critic al secvenței este 2. ^[13]
Prin definirea unei „ endofunții ” $f(S)$ ${\ displaystyle f (S)}$ $f (S)$ pe setul de secvențe binare, care operează pe o secvență prin înlocuirea tuturor 0s cu 01 și toate 1s cu 10, secvența Thue-Morse va rămâne neschimbată prin aplicarea lui f: adică $f(T)=T$ ${\ displaystyle f (T) = T}$ ${\ displaystyle f (T) = T}$ , Și $T.$ ${\ displaystyle T}$ $T.$ Prin urmare, este un punct fix al $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ . Singurul alt punct fix este cel obținut prin negarea însăși a secvenței Thue-Morse, adică prin înlocuirea tuturor 0 cu 1 și invers; este, prin urmare, în esență, singurul punct fix al funcției $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ .

Funcție generatoare

Definire $F(x)$ ${\ displaystyle F (x)}$ $F (x)$ ca funcție generatoare a secvenței Thue-Morse în câmpul finit $GF(2)$ ${\ displaystyle GF (2)}$ ${\ displaystyle GF (2)}$ :

F(x)=0+1x+1x^{2}+0x^{3}+1x^{4}+\dots

{\ displaystyle F (x) = 0 + 1x + 1x ^ {2} + 0x ^ {3} + 1x ^ {4} + \ dots}

{\ displaystyle F (x) = 0 + 1x + 1x ^ {2} + 0x ^ {3} + 1x ^ {4} + \ dots}

se poate arăta că F îndeplinește „ ecuația pătratică :

(1+x)F^{2}+F\equiv {\frac {x}{1+x^{2}}}(\mod {2})

{\ displaystyle (1 + x) F ^ {2} + F \ equiv {\ frac {x} {1 + x ^ {2}}} (\ mod {2})}

{\ displaystyle (1 + x) F ^ {2} + F \ equiv {\ frac {x} {1 + x ^ {2}}} (\ mod {2})}

Această ecuație are două soluții: secvența Thue-Morse și complementara sa, care se obține prin înlocuirea 0s cu 1s și 1s cu 0s.

Se leagă cu √2 și π

Am fost testate următoarele rapoarte: ^[14] ^[15]

\prod _{n=0}^{\infty }{\left({\frac {2n+1}{2n+2}}\right)}^{(-1)^{t_{n}}}={\frac {\sqrt {2}}{2}}

{\ displaystyle \ prod _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ left ({\ frac {2n + 1} {2n + 2}} \ right)} ^ {(- 1) ^ {t_ {n} }} = {\ frac {\ sqrt {2}} {2}}}

{\ displaystyle \ prod _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ left ({\ frac {2n + 1} {2n + 2}} \ right)} ^ {(- 1) ^ {t_ {n} }} = {\ frac {\ sqrt {2}} {2}}}

\prod _{n=0}^{\infty }{\left({\frac {2n+1}{2n+2}}\right)}^{2t_{n}}={\frac {2{\sqrt {2}}}{\pi }}

{\ displaystyle \ prod _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ left ({\ frac {2n + 1} {2n + 2}} \ right)} ^ {2t_ {n}} = {\ frac { 2 {\ sqrt {2}}} {\ pi}}}

{\ displaystyle \ prod _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ left ({\ frac {2n + 1} {2n + 2}} \ right)} ^ {2t_ {n}} = {\ frac { 2 {\ sqrt {2}}} {\ pi}}}

^[12]

\prod _{n=0}^{\infty }{\left({\frac {2n+1}{2n+2}}\right)}^{2(1-t_{n})}={\frac {\sqrt {2}}{\pi }}

{\ displaystyle \ prod _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ left ({\ frac {2n + 1} {2n + 2}} \ right)} ^ {2 (1-t_ {n})} = {\ frac {\ sqrt {2}} {\ pi}}}

{\ displaystyle \ prod _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ left ({\ frac {2n + 1} {2n + 2}} \ right)} ^ {2 (1-t_ {n})} = {\ frac {\ sqrt {2}} {\ pi}}}

^[12]

Aplicații

În problema Prouhet - Tarry - Escott

Problema Prouhet-Tarry-Escott a cerut să găsească două date întregi $a>0$ ${\ displaystyle a> 0}$ $a> 0$ Și $p\geq 0$ ${\ displaystyle p \ geq 0}$ ${\ displaystyle p \ geq 0}$ , O partiție a setului de numere naturale de la 0 la $a-1$ ${\ displaystyle a-1}$ $a-1$ în două subseturi disjuncte astfel încât fiecare dintre sumele de puteri până când p al elementelor respective este același, și anume:

\sum _{x\in S_{0}}x^{r}=\sum _{x\in S_{1}}x^{r}

{\ displaystyle \ sum _ {x \ in S_ {0}} x ^ {r} = \ sum _ {x \ in S_ {1}} x ^ {r}}

{\ displaystyle \ sum _ {x \ in S_ {0}} x ^ {r} = \ sum _ {x \ in S_ {1}} x ^ {r}}

pentru fiecare exponent întreg $r$ ${\ displaystyle r}$ $r$ de la 1 la $p$ ${\ displaystyle p}$ $p$ . Totuși, problema are întotdeauna cel puțin o soluție $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ Este un multiplu al $2^{p+1}$ ${\ displaystyle 2 ^ {p + 1}}$ ${\ displaystyle 2 ^ {p + 1}}$ , care se obține prin introducerea subsetului $S_{0}$ ${\ displaystyle S_ {0}}$ $S_0$ numerele n pentru care $t_{n}=0$ ${\ displaystyle t_ {n} = 0}$ ${\ displaystyle t_ {n} = 0}$ - adică numerele rele - și în subset $S_{1}$ ${\ displaystyle S_ {1}}$ $S_1$ numerele n pentru care $t_{n}=1$ ${\ displaystyle t_ {n} = 1}$ ${\ displaystyle t_ {n} = 1}$ - numerele odioase -, sau invers.

Având în vedere orice set $S.$ ${\ displaystyle S}$ $S.$ din $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ elemente disponibile într-o progresie aritmetică , din teorema binomului rezultă și faptul că dacă $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ Este un multiplu al $2^{p+1}$ ${\ displaystyle 2 ^ {p + 1}}$ ${\ displaystyle 2 ^ {p + 1}}$ există întotdeauna cel puțin o partiție a setului de elemente ale puterii p -esime $S.$ ${\ displaystyle S}$ $S.$ în două subseturi ale căror sume ale elementelor sunt egale.

Secvența ca grafic Turtle

Curba Koch , o fractală obținută prin succesiunea lui Thue-Morse

Un grafic Turtle este o curbă obținută pe baza unei secvențe și a unui model de instrucțiuni predeterminate. Succesiunea Thue-Morse care codifică curba Koch , folosind ca intrare și următoarele instrucțiuni:

De sine $t(n)=0$ ${\ displaystyle t (n) = 0}$ ${\ displaystyle t (n) = 0}$ , mergeți înainte cu o unitate de lungime;
De sine $t(n)=1$ ${\ displaystyle t (n) = 1}$ ${\ displaystyle t (n) = 1}$ , Se rotește în sens invers acelor de ceasornic cu 60 ° .

Aceasta ilustrează natura auto-similară a secvenței ^[16] .

În distribuția resurselor

Succesiunea Thue-Morse oferă o soluție la problemele de distribuție a resurselor între doi concurenți. De exemplu, dacă A și B doresc să împartă un grup de elemente, dorind să găsească o modalitate de a împiedica unul dintre cei doi să aibă posibilitatea de a alege elemente de calitate superioară, este necesar ca lui A să i se atribuie primul, al patrulea , 6, 7 etc. alegere (unul plus numerele ordinale rele) și la B al 2-lea, al 3-lea, al 5-lea, al 8-lea etc. alegere (una plus numerele urâtoare). Această proprietate poate fi aplicată, de exemplu, pentru a împărți conținutul unui aparat de cafea într-un număr dat de căni de cafea cu concentrație egală de substanțe dizolvate și, prin urmare, cu aceeași aromă ^[17] ^[18] . Acest lucru a fost dovedit de matematicianul Robert Richman care, deși nu desemnează în mod explicit succesiunea, a descris relațiile funcțiilor pas descrise de T _n în „ interval [0,1] cu funcția Walsh și funcția Rademacher . Richman a arătat că n -a derivată a acestora poate fi exprimată în termeni de T _n, și atunci funcția pas descrisă de T _n este ortogonală la polinoame de grad n -1 ^[17] .

În teoria jocurilor combinatorii

Notă

^ (EN) secvența A010060 , on -line Encyclopedia of Integer Sequences , Fundația OEIS.
^ De exemplu, secvența A001285 dell'OEIS constă din aceeași secvență cu simbolurile (1.2) în loc de (0,1).
^ (FR) Prouhet, E., Memoir sur quelques relations entre les puissances des nombres. , În CR Hadad. Schi. Paris Sér. 1, vol. 33, 1851, p. 225.
^ (DE) Thue, Axel , Über unendliche Zeichenreihen , în Norske vid. Selsk. Skr. Mat. Nat. Kl. , vol. 7, 1906, pp. 1-22.
^ (DE) Axel Thue , Über die Lage gegenseitige gleicher Teile gewisser Zeichenreihen. În Norske vid. Selsk. Skr. Mat. Nat. Kl. , vol. 1, 1912, pp. 1-67.
^(EN) Morse, Marston , Geodesics Recurrent on a Surface of Negur Curvature (PDF), în Tranzacțiile Societății Americane de Matematică, vol. 22, 1921, pp. 84-100.
^ (NL) Euwe, Max , Mengentheoretische Betrachtungen über das Schachspiel , în Proc. Konin. Akad. Wetenschappen (Amsterdam), 1929.
^ (EN) secvența A000069 , on -line Encyclopedia of Integer Sequences , Fundația OEIS.
^ (EN) secvența A001969 , on -line Encyclopedia of Integer Sequences , Fundația OEIS.
^ Asta în colțul din dreapta sus și din colțul din stânga jos.
^ ^A ^b(EN) Morse, M; Hedlund, GA, Șah fără sfârșit, dinamică simbolică și o problemă în semigrupuri , în Duke Mathematical Journal, vol. 11, 1944, pp. 1-7 (depus de „url original 4 martie 2016).
^ ^A ^b ^c(EN) Jean-Paul Allouche, Jeffrey Shallit, Automatic Sequences: Theory, Applications, Generalizations , Cambridge, Cambridge University Press, 21 iulie 2003, pp. 152-153, ISBN 0-521-82332-3 .
^ Dalia Krieger, Despre exponenți critici în puncte fixe de morfisme care nu se șterg în Oscar H. Ibarra, Zhe Dang (eds) Developments in Language Theory: Proceedings of 10th International Conference, DLT 2006, Santa Barbara, CA, SUA, 26 iunie 29, 2006, Note de curs în informatică, vol. 4036, Springer-Verlag , 2006, pp. 280-291, ISBN 3-540-35428-X .
^(EN) Woods, DR, Propunere de problemă E2692, în American Mathematical Monthly, vol. 85, 1978, p. 48.
^ Robbins, D., Soluție la problema E2692, în American Mathematical Monthly, vol. 86, 1979, pp. 394-295.
^(RO) Jun Ma, Judy Holdoner, Când Thue-Morse îl întâlnește pe Koch
^ ^A ^b(EN) (EN) Robert M. Richman, Recursive Binary Sequences of Differences (PDF), în Sisteme complexe, vol. 13, 2001, pp. 381–392.
^ Marc Abrahams, How to turn the perfect cup of coffee , în The Guardian, 12 iulie 2010. Accesat la 11 septembrie 2012.

Bibliografie

(EN) Jean-Paul Allouche și Jeffrey Shallit , Automatic Sequences: Theory, Applications, Generalizations, Cambridge University Press , 2003, ISBN 978-0-521-82332-6 , Zbl 1086.11015 .
(EN) Jean Berstel, Aaron Lauve, Christophe Reutenauer și Franco V. Saliola, Combinatorics on words. Cuvinte Christoffel și repetări în cuvinte , CRM Monograph Series, vol. 27, Providence, RI, American Mathematical Society , 2009, ISBN 978-0-8218-4480-9 , Zbl 1161.68043 .
Yann Bugeaud, Modulul de distribuție unu și Apropierea diofantină, Cambridge Tracts in Mathematics, vol. 193, Cambridge, Cambridge University Press, 2012, ISBN 978-0-521-11169-0 , Zbl pre06066616 .
(EN) M. Lothaire, Combinatorie algebrică pe cuvinte, Berstel Cu prefață de Jean și Dominique Perrin, Enciclopedia matematicii și aplicațiile sale, vol. 90 Reprint of hardback 2002, Cambridge University Press, 2011, ISBN 978-0-521-18071-9 , Zbl 1221.68183 .
( EN ) M. Lothaire,Combinatorie aplicată pe cuvinte , O lucrare colectivă de Jean Berstel, Dominique Perrin, Maxime Crochemore, Eric Laporte, Mehryar Mohri, Nadia Pisanti, Marie-France Sagot, Gesine Reinert, Sophie Schbath, Michael Waterman, Philippe Jacquet , Wojciech Szpankowski, Dominique Poulalhon, Gilles Schaeffer, Roman Kolpakov, Gregory Koucherov, Jean-Paul Allouche și Valérie Berthé, Enciclopedia matematicii și aplicațiile sale, vol. 105, Cambridge, Cambridge University Press , 2005, ISBN 0-521-84802-4 , Zbl 1133.68067 .
(EN) Fără Pytheas Fogg, Înlocuiri în dinamică, aritmetică și combinatorică, Editori Berthé, Valérie; Ferenczi, Sébastien; Mauduit, creștin; Siegel, A., Note de curs în matematică, vol. 1794, Berlin, Springer-Verlag , 2002, ISBN 3-540-44141-7 , Zbl 1014.11015 .
(EN) Allouche, J.-P. și Cosnard, M. "Constanta Komornik-Loreti este transcendentală". Amer. Matematica. Lunar 107, 448-449, 2000.
(EN) Allouche, J.-P. și Shallit, J. "Secvența omniprezentă Prouhet-Thue-Morse." În secvențe și aplicațiile lor, Proc. SETA'98 (Ed. C. Ding, T. Helleseth și H. Niederreiter). New York: Springer-Verlag, pp. 1-16, 1999.
(EN) Allouche, J.-P. și Shallit, J. "Exemplul 5.1.2 (secvența Thue-Morse)." Secvențe automate: teorie, aplicații, generalizări. Cambridge, Anglia: Cambridge University Press, pp. 152-153, 2003.

Elemente conexe

Alte proiecte

Wikimedia Commons conține imagini sau alte fișiere despre Succesiunea lui Thue-Morse

linkuri externe

(EN) Eric W. Weisstein,secvența Thue-Morse , în MathWorld Wolfram Research.
(EN) Allouche, J.-P.; Shallit, JO Secvența omniprezentă Prouhet-Thue-Morse
(RO) Reducerea influenței derivei offset DC în IP-urile analogice utilizând secvența Thue-Morse .
Popularizarea expunerii secvenței Thue-Morse , a xmau.wikispaces.com.
(RO) Placări și modele ale secvenței Thue-Morse : imagini generate de succesiunea Thue-Morse
(RO) MusiNum - The Music in the Numbers : Software pentru a crea muzică din secvența auto-similară a lui Thue-Morse și din alte secvențe similare

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă cu matematica

[1] (EN) secvența A010060 , on -line Encyclopedia of Integer Sequences , Fundația OEIS.

[2] De exemplu, secvența A001285 dell'OEIS constă din aceeași secvență cu simbolurile (1.2) în loc de (0,1).

[3] (FR) Prouhet, E., Memoir sur quelques relations entre les puissances des nombres. , În CR Hadad. Schi. Paris Sér. 1, vol. 33, 1851, p. 225.

[4] (DE) Thue, Axel , Über unendliche Zeichenreihen , în Norske vid. Selsk. Skr. Mat. Nat. Kl. , vol. 7, 1906, pp. 1-22.

[5] (DE) Axel Thue , Über die Lage gegenseitige gleicher Teile gewisser Zeichenreihen. În Norske vid. Selsk. Skr. Mat. Nat. Kl. , vol. 1, 1912, pp. 1-67.

[6] (EN) Morse, Marston , Geodesics Recurrent on a Surface of Negur Curvature (PDF), în Tranzacțiile Societății Americane de Matematică, vol. 22, 1921, pp. 84-100.

[7] (NL) Euwe, Max , Mengentheoretische Betrachtungen über das Schachspiel , în Proc. Konin. Akad. Wetenschappen (Amsterdam), 1929.

[8] (EN) secvența A000069 , on -line Encyclopedia of Integer Sequences , Fundația OEIS.

[9] (EN) secvența A001969 , on -line Encyclopedia of Integer Sequences , Fundația OEIS.

[10] Asta în colțul din dreapta sus și din colțul din stânga jos.

[Morse-11] A ^b(EN) Morse, M; Hedlund, GA, Șah fără sfârșit, dinamică simbolică și o problemă în semigrupuri , în Duke Mathematical Journal, vol. 11, 1944, pp. 1-7 (depus de „url original 4 martie 2016).

[Allouche-12] A ^b ^c(EN) Jean-Paul Allouche, Jeffrey Shallit, Automatic Sequences: Theory, Applications, Generalizations , Cambridge, Cambridge University Press, 21 iulie 2003, pp. 152-153, ISBN 0-521-82332-3 .

[13] Dalia Krieger, Despre exponenți critici în puncte fixe de morfisme care nu se șterg în Oscar H. Ibarra, Zhe Dang (eds) Developments in Language Theory: Proceedings of 10th International Conference, DLT 2006, Santa Barbara, CA, SUA, 26 iunie 29, 2006, Note de curs în informatică, vol. 4036, Springer-Verlag , 2006, pp. 280-291, ISBN 3-540-35428-X .

[14] (EN) Woods, DR, Propunere de problemă E2692, în American Mathematical Monthly, vol. 85, 1978, p. 48.

[15] Robbins, D., Soluție la problema E2692, în American Mathematical Monthly, vol. 86, 1979, pp. 394-295.

[16] (RO) Jun Ma, Judy Holdoner, Când Thue-Morse îl întâlnește pe Koch

[Richman-17] A ^b(EN) (EN) Robert M. Richman, Recursive Binary Sequences of Differences (PDF), în Sisteme complexe, vol. 13, 2001, pp. 381–392.

[18] Marc Abrahams, How to turn the perfect cup of coffee , în The Guardian, 12 iulie 2010. Accesat la 11 septembrie 2012.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

[18]