Numărul palindromului

Un număr este palindrom când cifrele sale, dacă sunt scrise într-o anumită bază , reprezintă aceeași valoare, indiferent dacă sunt citite din dreapta sau din stânga.

Definiție formală

Conform definiției sale, conceptul de palindromicitate al unui număr se aplică numai în setul de numere întregi și, în plus, numărul luat în considerare poate fi scris în orice bază .

Fie n un număr întreg și fie a ₀ a ₁ a ₂ ... a _k reprezentarea sa în numere într-o anumită bază b ≥ 2 (cu un ₀ ≠ 0). Atunci n este palindrom dacă și numai dacă pentru fiecare număr întreg 0≤i≤k avem a _i = a _ki

Exemple

Un exemplu de număr de palindrom poate fi:

12345654321

{\ displaystyle 12345654321}

{\ displaystyle 12345654321}

se poate observa, de fapt, că este simetric în raport cu centrul său:

12345\ 6\ 54321

{\ displaystyle 12345 \ 6 \ 54321}

{\ displaystyle 12345 \ 6 \ 54321}

deci definiția se menține.

Număr de numere palindromice mai mici decât o putere de zece

Dacă studiem numărul de numere palindromice scrise în baza 10 și mai mici decât o anumită putere de 10, putem vedea că există o anumită regularitate

Toate numerele dintr-o singură cifră sunt palindromi, deci există 10 numere palindromice mai mici de 10¹.
Există nouă palindromi cu două cifre (de fapt multipli de 11 mai puțin de 100), deci există 19 numere palindromice mai mici de 10².
Există 90 de palindromi cu 3 cifre, deci 109 palindromi mai mici de 10³.
Palindromii mai mici de 10⁴ sunt 199.

Dacă continuăm cu acest raționament prin creșterea puterilor cu zece putem obține succesiunea ^[1] :

10,\,19,\,109,\,199,\,1099,\,1999,\,10999,\,19999,\,109999,\,199999,\,1099999,\,...

{\ displaystyle 10, \, 19, \, 109, \, 199, \, 1099, \, 1999, \, 10999, \, 19999, \, 109999, \, 199999, \, 1099999, \, ... }

{\ displaystyle 10, \, 19, \, 109, \, 199, \, 1099, \, 1999, \, 10999, \, 19999, \, 109999, \, 199999, \, 1099999, \, ... }

Tabelul următor indică numărul de numere palindromice mai mic decât o anumită putere de zece care posedă o anumită caracteristică

	10⁰	10¹	10²	10³	10⁴	10⁵	10⁶	10⁷	10⁸	10⁹	10¹⁰
n natural	2	10	19	109	199	1099	1999	10999	19999	109999	199999
n chiar	1	5	9	49	89	489	889	4889	8889	48889	88889
n ciudat	1	5	10	60	110	610	1110	6110	11110	61110	111110
n pătrat perfect	2	4		7		14	15	20		31
cubic n	2	3		4	5			7			8
n prime (vezi și: Primul palindrom )	0	4	5	20		113		781		5953
n fără pătrate	0	6	12	67	120	675	1200	6821	12160	+	+
n nu fără pătrate ( μ ( n ) = 0)	2	4	7	42	79	424	799	4178	7839	+	+
n pătrat perfect cu prima rădăcină	0	2		3		5
n cu un număr par de factori primi distincti (μ ( n ) = 1)	0	2	6	35	56	324	583	3383	6093	+	+
n cu un număr impar de factori primi distincti (μ ( n ) = - 1)	0	4	6	32	64	351	617	3438	6067	+	+
n chiar cu un număr impar de factori primi	0	1	2	9	21	100	180	1010	6067	+	+
n chiar cu un număr impar de factori primi distincti	0	3	4	21	49	268	482	2486	4452	+	+
impare n cu un număr impar de factori primi	0	3	4	23	43	251	437	2428	4315	+	+
impare n cu un număr impar de factori primi distincti	0	4	5	28	56	317	566	3070	5607	+	+
n pătrat perfect, nu perfect, cu un număr par de factori primi distincti	0	1	2	11	15	98	171	991	1782	+	+
n pătrat impar, nu perfect, cu un număr par de factori primi distincti	0	1	4	24	41	226	412	2392	4221	+	+
n ciudat cu exact doi factori primi	0	1	4	25	39	205	303	1768	2403	+	+
n chiar cu exact 2 factori primi	0	2	3	11		64		413		+	+
n chiar cu exact 3 factori primi	0	1	3	14	24	122	179	1056	1400	+	+
n chiar cu exact 3 factori primi distincti	0	0	1	18	44	250	390	2001	2814	+	+
n ciudat cu exact 3 factori primi	0	0	1	12	34	173	348	1762	3292	+	+
n numărul Carmichael	0	0	0	0	0	0	1	1	1	1	1
n pentru care σ ( n ) este palindrom	1	6	10	47	114	688	1417	5683	+	+	+

Puteri perfecte

Există diferite numere palindromice care sunt, de asemenea, puteri ale altor numere. În prezent, se cunosc doar numere palindromice care pot fi exprimate cu o putere exponentă de 2, 3 sau 4:

Primele pătrate palindromice perfecte sunt: 0, 1, 4, 9, 121, 484, 676, 10201, 12321, 14641, 40804, 44944, ... ^[2]
Primele numere palindromice care posedă o rădăcină cubă întreagă sunt: 0, 1, 8, 343, 1331, 1030301, 1367631, 1003003001, ... ^[3]
Primele numere palindromice exprimabile cu puterea exponentului 4 sunt: 0, 1, 14641, 104060401, 1004006004001, ... ^[4]

GJ Simmons și D. Rawlinson presupun că nu există palindromi în afară de 0 și 1 exprimabili cu puteri de exponent mai mari de 4 ^[5] .

Singurul număr cunoscut non-palindrom al cărui cub este un palindrom este 2201.

Baza 10 formulă generatoare de numere palindromice

În baza 10 o formulă care generează mai multe numere palindromice este secvența

a(n)=(10^{n}+1)^{k}{\mbox{ con }}n,k\in \mathbb {N}

{\ displaystyle a (n) = (10 ^ {n} +1) ^ {k} {\ mbox {con}} n, k \ in \ mathbb {N}}

{\ displaystyle a (n) = (10 ^ {n} +1) ^ {k} {\ mbox {con}} n, k \ in \ mathbb {N}}

De exemplu cu k = 3 și n = 4 obținem:

(10^{4}+1)^{3}=1000300030001

{\ displaystyle (10 ^ {4} +1) ^ {3} = 1000300030001}

{\ displaystyle (10 ^ {4} +1) ^ {3} = 1000300030001}

Cu toate acestea, această formulă nu generează întotdeauna numere palindromice începând de la k > 4. De fapt, dacă încercăm cu k = 5 și n = 2, obținem:

(10^{2}+1)^{5}=10510100501

{\ displaystyle (10 ^ {2} +1) ^ {5} = 10510100501}

{\ displaystyle (10 ^ {2} +1) ^ {5} = 10510100501}

care este evident un număr non-palindrom. De asemenea, nu toate numerele palindromice sunt generate de această formulă, de fapt numerele dintr-o singură cifră sunt palindrome, dar nu sunt generate.

Generarea numerelor palindromice din numerele de repunere

O repunit este un număr scris folosind doar cifra 1. În baza 10 este posibil să se genereze un număr de palindrom prin înmulțirea a două numere de repunere.

Dacă luăm două repuneri astfel încât produsul numărului de cifre al primei cu numărul de cifre al doilea este mai mic sau egal cu 100 și le înmulțim împreună obținem un număr de palindrom.

De exemplu, numărul 111 111 111 111 are 12 cifre, numărul 1 111 111 are 7 cifre, 7 × 12 = 84≤100 deci:

111\,111\,111\,111\times 1\,111\,111=123\,456\,777\,777\,654\,321

{\ displaystyle 111 \, 111 \, 111 \, 111 \ ori 1 \, 111 \, 111 = 123 \, 456 \, 777 \, 777 \, 654 \, 321}

{\ displaystyle 111 \, 111 \, 111 \, 111 \ ori 1 \, 111 \, 111 = 123 \, 456 \, 777 \, 777 \, 654 \, 321}

care este un număr palindrom.

Notă

^ (EN) secvența A070199 , on -line Encyclopedia of Integer Sequences , Fundația OEIS.
^ (EN) secvența A002779 , on -line Encyclopedia of Integer Sequences , Fundația OEIS.
^ (EN) secvența A002781 , on -line Encyclopedia of Integer Sequences , Fundația OEIS.
^ (EN) secvența A186080 , on -line Encyclopedia of Integer Sequences , Fundația OEIS.
^ (EN) Klamkin Murray S. (eds), Probleme in matematică aplicată: selecții din recenzii SIAM , Philadelphia, SIAM, 1990, p. 577, ISBN 0-89871-259-9 .

Elemente conexe

Alte proiecte

Wikimedia Commons conține imagini sau alte fișiere pe numărul palindromului

linkuri externe

Secvența numerelor de palindrom din OEIS -On-Line Encyclopedia of Integer Sequences
Numere palindromice de până la 100.000 de la Ask Dr. Math
( EN ) Recorduri mondiale și curiozități de la Jason Doucette Math
(EN) Eric W. Weisstein, număr palindromic în MathWorld Wolfram Research.
(EN) Eric W. Weisstein, Conjectura numărului palindromic , în MathWorld Wolfram Research.
(EN) număr palindromic , în PlanetMath .

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică

[1] (EN) secvența A070199 , on -line Encyclopedia of Integer Sequences , Fundația OEIS.

[2] (EN) secvența A002779 , on -line Encyclopedia of Integer Sequences , Fundația OEIS.

[3] (EN) secvența A002781 , on -line Encyclopedia of Integer Sequences , Fundația OEIS.

[4] (EN) secvența A186080 , on -line Encyclopedia of Integer Sequences , Fundația OEIS.

[5] (EN) Klamkin Murray S. (eds), Probleme in matematică aplicată: selecții din recenzii SIAM , Philadelphia, SIAM, 1990, p. 577, ISBN 0-89871-259-9 .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]