Întreg fără pătrate

În matematică , un întreg fără pătrat sau fără pătrat este un număr care nu este divizibil cu niciun pătrat perfect, cu excepția 1. De exemplu, 10 este fără pătrat, în timp ce 18 nu este, deoarece este divizibil cu 9 = 3 ² . Cele mai mici numere întregi fără pătrate sunt ^[1] :

1, 2, 3, 5, 6, 7, 10, 11, 13, 14, 15, 17, 19, 21, 22, 23, 26, 29, 30, 31, 33, 34, 35, 37, 38, 39, 41, 42, 43, 46, 47, 51, 53, 55, 57, 58, 59, 61, 62, 65, 66, 67, 69, 70, 71, 73, 74, 77, 78, 79, 82, 83, 85, 86, 87, 89, 91, 93, 94, 95, 97, 101, 102, 103, 105, 106, 107, 109, 110, 111, 113 ...

Definiții echivalente ale numerelor fără pătrate

Un număr întreg n este fără pătrat dacă și numai dacă niciun prim nu apare de mai multe ori în prima sa factorizare . O altă definiție echivalentă este că pentru orice divizor prim p al lui n , primul p nu împarte n / p . O altă formulare: n este fără pătrat dacă și numai dacă în orice scriere sub forma n = ab , factorii a și b sunt coprimi .

Întregul pozitiv n este fără pătrat dacă și numai dacă μ ( n ) ≠ 0, unde μ denotă funcția Möbius .

Întregul pozitiv n este fără pătrat dacă și numai dacă toate grupurile abeliene de ordinul n sunt izomorfe , ceea ce se întâmplă dacă și numai dacă toate sunt ciclice . Acest lucru apare din clasificarea grupurilor abeliene finit generate .

Un număr întreg n nu are pătrate dacă și numai dacă grupul de factori Z / n Z (vezi aritmetica modulară ) este un produs de câmpuri . Aceasta derivă din teorema restului chinezesc și din faptul că un inel în forma Z / k Z este un câmp dacă și numai dacă k este prim.

Pentru fiecare număr întreg pozitiv n , mulțimea tuturor divizorilor pozitivi ai lui n devine o mulțime parțial ordonată dacă folosim divizibilitatea ca relație de ordine. Acest set parțial ordonat este întotdeauna o rețea distributivă . Este o algebră booleană dacă și numai dacă n nu are pătrate.

Dat fiind un număr întreg pozitiv n, este definit ca radicalul întregului n ca:

m = rad ( n ),

egal cu produsul numerelor prime p care împart n . Numerele n fără pătrate sunt deci soluțiile lui n = rad ( n ).

Distribuția numerelor fără pătrate

Dacă Q ( x ) reprezintă numărul de numere întregi necalificate între 1 și x , atunci:

Q(x)={\frac {6x}{\pi ^{2}}}+O({\sqrt {x}})

{\ displaystyle Q (x) = {\ frac {6x} {\ pi ^ {2}}} + O ({\ sqrt {x}})}

{\ displaystyle Q (x) = {\ frac {6x} {\ pi ^ {2}}} + O ({\ sqrt {x}})}

(vezi notația pi și O mare ). Prin urmare, densitatea naturală asimptotică a numerelor fără pătrat este:

\lim _{x\to \infty }{\frac {Q(x)}{x}}={\frac {6}{\pi ^{2}}}={\frac {1}{\zeta (2)}}

{\ displaystyle \ lim _ {x \ to \ infty} {\ frac {Q (x)} {x}} = {\ frac {6} {\ pi ^ {2}}} = {\ frac {1} { \ zeta (2)}}}

{\ displaystyle \ lim _ {x \ to \ infty} {\ frac {Q (x)} {x}} = {\ frac {6} {\ pi ^ {2}}} = {\ frac {1} { \ zeta (2)}}}

unde ζ este funcția zeta Riemann .

În mod similar, dacă Q ( x , n ) indică numărul de numere întregi fără n -puteri între 1 și x , se poate arăta că:

\lim _{x\to \infty }{\frac {Q(x,n)}{x}}={\frac {1}{\zeta (n)}}.

{\ displaystyle \ lim _ {x \ to \ infty} {\ frac {Q (x, n)} {x}} = {\ frac {1} {\ zeta (n)}}.}

{\ displaystyle \ lim _ {x \ to \ infty} {\ frac {Q (x, n)} {x}} = {\ frac {1} {\ zeta (n)}}.}

Notă

^ (EN) secvența A005117 , on -line Encyclopedia of Integer Sequences , Fundația OEIS.

Elemente conexe

Numărul Zeisel

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică

[1] (EN) secvența A005117 , on -line Encyclopedia of Integer Sequences , Fundația OEIS.

[1]