Funcția tau pozitivă

Primele 250 de valori ale funcției τ

În matematică , funcția tau pozitivă (sau funcția divizor ) este o funcție , de obicei notată cu $\operatorname {\tau }$ ${\ displaystyle \ operatorname {\ tau}}$ ${\ displaystyle \ operatorname {\ tau}}$ sau $\operatorname {d}$ ${\ displaystyle \ operatorname {d}}$ ${\ displaystyle \ operatorname {d}}$ , care se asociază cu orice număr întreg pozitiv $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ numarul $\tau (n)$ ${\ displaystyle \ tau (n)}$ ${\ displaystyle \ tau (n)}$ dintre divizorii săi, inclusiv unul și numărul în sine.

Funcția se menține $1$ ${\ displaystyle 1}$ $1$ pentru $n=1$ ${\ displaystyle n = 1}$ $n = 1$ , contează $2$ ${\ displaystyle 2}$ $2$ pentru toate numerele prime și are o valoare mai mare decât $2$ ${\ displaystyle 2}$ $2$ pentru toate celelalte numere întregi pozitive. Plus funcția $\tau$ ${\ displaystyle \ tau}$ $\ tau$ este o funcție multiplicativă .

De sine $n=p_{1}^{q_{1}}p_{2}^{q_{2}}\cdots p_{k}^{q_{k}}$ ${\ displaystyle n = p_ {1} ^ {q_ {1}} p_ {2} ^ {q_ {2}} \ cdots p_ {k} ^ {q_ {k}}}$ ${\ displaystyle n = p_ {1} ^ {q_ {1}} p_ {2} ^ {q_ {2}} \ cdots p_ {k} ^ {q_ {k}}}$ (unde aceasta este factorizarea $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ în numere prime ), atunci se menține formula

\tau (n)=(q_{1}+1)(q_{2}+1)\cdots (q_{k}+1).

{\ displaystyle \ tau (n) = (q_ {1} +1) (q_ {2} +1) \ cdots (q_ {k} +1).}

{\ displaystyle \ tau (n) = (q_ {1} +1) (q_ {2} +1) \ cdots (q_ {k} +1).}

Din această scriere este evident că funcția este ciudată dacă și numai dacă $\displaystyle n$ ${\ displaystyle \ displaystyle n}$ ${\ displaystyle \ displaystyle n}$ este un pătrat perfect .

Mai jos este un tabel cu valorile $\tau$ ${\ displaystyle \ tau}$ $\ tau$ pentru primele 20 de numere întregi pozitive:

$n$ ${\ displaystyle n}$ $n$	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
$\tau (n)$ ${\ displaystyle \ tau (n)}$ ${\ displaystyle \ tau (n)}$	1	2	2	3	2	4	2	4	3	4
$n$ ${\ displaystyle n}$ $n$	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
$\tau (n)$ ${\ displaystyle \ tau (n)}$ ${\ displaystyle \ tau (n)}$	2	6	2	4	4	5	2	6	2	6

Proprietate

Funcția divizor apare în coeficienții seriei Dirichlet ai pătratului funcției zeta Riemann :

\sum _{n=1}^{+\infty }{\frac {\tau \left(n\right)}{n^{s}}}=\zeta \left(s\right)^{2}

{\ displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {+ \ infty} {\ frac {\ tau \ left (n \ right)} {n ^ {s}}} = \ zeta \ left (s \ right) ^ {2}}

{\ displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {+ \ infty} {\ frac {\ tau \ left (n \ right)} {n ^ {s}}} = \ zeta \ left (s \ right) ^ {2}}

Mai mult, acesta constituie un caz special al funcției sigma , așa cum a făcut-o $\tau \left(n\right)=\sigma _{0}\left(n\right)$ ${\ displaystyle \ tau \ left (n \ right) = \ sigma _ {0} \ left (n \ right)}$ ${\ displaystyle \ tau \ left (n \ right) = \ sigma _ {0} \ left (n \ right)}$ . În special, îndeplinește următoarea identitate Lambert :

\sum _{n=1}^{+\infty }{\frac {x^{n}}{1-x^{n}}}=\sum _{n=1}^{+\infty }\tau \left(n\right)x^{n}

{\ displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {+ \ infty} {\ frac {x ^ {n}} {1-x ^ {n}}} = \ sum _ {n = 1} ^ {+ \ infty} \ tau \ left (n \ right) x ^ {n}}

{\ displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {+ \ infty} {\ frac {x ^ {n}} {1-x ^ {n}}} = \ sum _ {n = 1} ^ {+ \ infty} \ tau \ left (n \ right) x ^ {n}}

Cod

În C

 int tau ( int N ) { // funcția primește un număr N și returnează numărul divizorilor săi (inclusiv 1 și N)
	int i , cont = 0 ;
	dacă ( N < 1 ) returnează 0 ; // pentru N nepozitiv, returnează zero
	pentru ( i = 1 ; i <= N ; i ++ )
		if ( ! ( N % i ) )
			cont ++ ;
	returnează cont ;
}

Elemente conexe

Funcția Sigma pe pozitive

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică

V · D · M Teoria numerelor
Cele mai utilizate numere	Natural · Întreg · Par și impar
Principii generale	Principiul inducției · Principiul unei bune ordonări · Relația de echivalență
Secvențe de numere întregi	Factorial · Fibonacci · Număr de catalană · Număr Perrin · Număr de Euler · Secvență Mian-Chowla · Succesiunea lui Thue-Morse
Caracteristicile numerelor prime	Primul număr · lema lui Euclid · Teorema infinitate de numere prime · ciurul Eratostene · teste primality · Teorema fundamentală a aritmeticii · Total acoperire mine · Bézout Identitate · MCD · mcm · algoritmul lui Euclid · Teorema de Prime Numbers
Funcții aritmetice	Funcție multiplicativă · funcție aditivă · Convoluție Dirichlet · Funcția Euler Euler · Funcția Möbius · funcția tau pe pozitiv · funcția sigmoidă · Funcția Liouville · Funcția Mertens
Aritmetica modulară	Teorema a restului chinez · teorema lui Fermat mici · teorema lui Euler · Criterii de divizibilitate · teorema lui Fermat pe sume de două pătrate · Wilson Teorema · reciprocitatea pătratică
Conjecturi	Conjectura lui Goldbach · Conjectura Polignac · Guess abc · conjectura primelor gemene · Conjectura lui Legendre · Noua conjectură Mersenne · Conjectura Collatz · Ipoteza Riemann
Alte	Problema lui Waring
Principalii teoreticieni	Fibonacci · Fermat · Gauss · Euler · Legendre · Riemann · Dirichlet
Disciplinele conexe	Teoria algebrică a numerelor · Teoria analitică a numerelor · Criptografie · Teoria computațională a numerelor