Seria Dirichlet

În matematică , o serie Dirichlet este orice serie a formei

\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {a_{n}}{n^{s}}},

{\ displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {a_ {n}} {n ^ {s}}},}

{\ displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {a_ {n}} {n ^ {s}}},}

unde s și coeficienții a _n sunt numere complexe .

Seria Dirichlet joacă un rol important în teoria analitică a numerelor . Funcția zeta Riemann poate fi scrisă ca o serie Dirichlet în jumătate de plan Re (s) > 1, la fel ca și funcțiile Dirichlet L. Seria Dirichlet poartă numele matematicianului german Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet .

Exemple

Cel mai cunoscut din seria Dirichlet este

\zeta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}},

{\ displaystyle \ zeta (s) = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {1} {n ^ {s}}},}

{\ displaystyle \ zeta (s) = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {1} {n ^ {s}}},}

din care este definită funcția zeta Riemann . Un alt lucru este:

{\frac {1}{\zeta (s)}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\mu (n)}{n^{s}}}

{\ displaystyle {\ frac {1} {\ zeta (s)}} = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {\ mu (n)} {n ^ {s}}}}

{\ displaystyle {\ frac {1} {\ zeta (s)}} = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {\ mu (n)} {n ^ {s}}}}

unde μ ( n ) este funcția Möbius . Aceasta și multe altele din următoarele serii pot fi obținute prin aplicarea formulei de inversare Möbius și a convoluției lui Dirichlet la seria cunoscută. De exemplu, având un caracter Dirichlet $\scriptstyle \chi (n)$ ${\ displaystyle \ scriptstyle \ chi (n)}$ ${\ displaystyle \ scriptstyle \ chi (n)}$ da ai

{\frac {1}{L(\chi ,s)}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\mu (n)\chi (n)}{n^{s}}}

{\ displaystyle {\ frac {1} {L (\ chi, s)}} = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {\ mu (n) \ chi (n)} {n ^ {s}}}}

{\ displaystyle {\ frac {1} {L (\ chi, s)}} = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {\ mu (n) \ chi (n)} {n ^ {s}}}}

unde este $L(\chi ,s)$ ${\ displaystyle L (\ chi, s)}$ ${\ displaystyle L (\ chi, s)}$ este o funcție Dirichlet L.

Alte identități includ

{\frac {\zeta (s-1)}{\zeta (s)}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\varphi (n)}{n^{s}}}

{\ displaystyle {\ frac {\ zeta (s-1)} {\ zeta (s)}} = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {\ varphi (n)} {n ^ {s}}}}

{\ displaystyle {\ frac {\ zeta (s-1)} {\ zeta (s)}} = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {\ varphi (n)} {n ^ {s}}}}

unde φ ( n ) este funcția lui Euler φ și

\zeta (s)\zeta (s-a)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\sigma _{a}(n)}{n^{s}}}

{\ displaystyle \ zeta (s) \ zeta (sa) = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {\ sigma _ {a} (n)} {n ^ {s}}}}

{\ displaystyle \ zeta (s) \ zeta (s-a) = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {\ sigma _ {a} (n)} {n ^ {s}}}}

{\frac {\zeta (s)\zeta (s-a)\zeta (s-b)\zeta (s-a-b)}{\zeta (2s-a-b)}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\sigma _{a}(n)\sigma _{b}(n)}{n^{s}}}

{\ displaystyle {\ frac {\ zeta (s) \ zeta (sa) \ zeta (sb) \ zeta (sab)} {\ zeta (2s-ab)}} = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {\ sigma _ {a} (n) \ sigma _ {b} (n)} {n ^ {s}}}}

{\ displaystyle {\ frac {\ zeta (s) \ zeta (sa) \ zeta (sb) \ zeta (sab)} {\ zeta (2s-ab)}} = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {\ sigma _ {a} (n) \ sigma _ {b} (n)} {n ^ {s}}}}

unde σ _a ( n ) este funcția divizorului . Alte identități care implică funcția de divizare d = σ ₀ sunt

{\frac {\zeta ^{3}(s)}{\zeta (2s)}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {d(n^{2})}{n^{s}}}

{\ displaystyle {\ frac {\ zeta ^ {3} (s)} {\ zeta (2s)}} = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {d (n ^ {2} )} {n ^ {s}}}}

{\ displaystyle {\ frac {\ zeta ^ {3} (s)} {\ zeta (2s)}} = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {d (n ^ {2} )} {n ^ {s}}}}

{\frac {\zeta ^{4}(s)}{\zeta (2s)}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {d(n)^{2}}{n^{s}}}.

{\ displaystyle {\ frac {\ zeta ^ {4} (s)} {\ zeta (2s)}} = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {d (n) ^ {2 }} {n ^ {s}}}.}

{\ displaystyle {\ frac {\ zeta ^ {4} (s)} {\ zeta (2s)}} = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {d (n) ^ {2 }} {n ^ {s}}}.}

Logaritmul funcției zeta este dat de

\log \zeta (s)=\sum _{n=2}^{\infty }{\frac {\Lambda (n)}{\log(n)}}\,{\frac {1}{n^{s}}}

{\ displaystyle \ log \ zeta (s) = \ sum _ {n = 2} ^ {\ infty} {\ frac {\ Lambda (n)} {\ log (n)}} \, {\ frac {1} {n ^ {s}}}}

{\ displaystyle \ log \ zeta (s) = \ sum _ {n = 2} ^ {\ infty} {\ frac {\ Lambda (n)} {\ log (n)}} \, {\ frac {1} {n ^ {s}}}}

pentru Re ( s )> 1. Aici, $\scriptstyle \Lambda (n)$ ${\ displaystyle \ scriptstyle \ Lambda (n)}$ ${\ displaystyle \ scriptstyle \ Lambda (n)}$ este funcția von Mangoldt . Deci derivata logaritmică este

{\frac {\zeta ^{\prime }(s)}{\zeta (s)}}=-\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\Lambda (n)}{n^{s}}}.

{\ displaystyle {\ frac {\ zeta ^ {\ prime} (s)} {\ zeta (s)}} = - \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {\ Lambda (n) } {n ^ {s}}}.}

{\ displaystyle {\ frac {\ zeta ^ {\ prime} (s)} {\ zeta (s)}} = - \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {\ Lambda (n) } {n ^ {s}}}.}

Ultimele două sunt cazuri particulare ale unei relații mai generale pentru derivatele din seria Dirichlet, prezentate mai jos.

Este $\scriptstyle \lambda (n)$ ${\ displaystyle \ scriptstyle \ lambda (n)}$ ${\ displaystyle \ scriptstyle \ lambda (n)}$ funcția lui Liouville , avem

{\frac {\zeta (2s)}{\zeta (s)}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\lambda (n)}{n^{s}}}.

{\ displaystyle {\ frac {\ zeta (2s)} {\ zeta (s)}} = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {\ lambda (n)} {n ^ {s }}}.}

{\ displaystyle {\ frac {\ zeta (2s)} {\ zeta (s)}} = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {\ lambda (n)} {n ^ {s }}}.}

Un alt exemplu implică suma Ramanujan :

{\frac {\sigma _{1-s}(m)}{\zeta (s)}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {c_{n}(m)}{n^{s}}}.

{\ displaystyle {\ frac {\ sigma _ {1-s} (m)} {\ zeta (s)}} = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {c_ {n} ( m)} {n ^ {s}}}.}

{\ displaystyle {\ frac {\ sigma _ {1-s} (m)} {\ zeta (s)}} = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {c_ {n} ( m)} {n ^ {s}}}.}

Proprietăți de bază

Prin plasare $s=\sigma +it$ ${\ displaystyle s = \ sigma + it}$ ${\ displaystyle s = \ sigma + it}$ cu $\sigma ,t\in \mathbb {R}$ ${\ displaystyle \ sigma, t \ in \ mathbb {R}}$ ${\ displaystyle \ sigma, t \ in \ mathbb {R}}$ o serie Dirichlet se poate descompune ca

$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {a_{n}}{n^{s}}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {a_{n}\cos(t\cdot \log(n))}{n^{\sigma }}}-i\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {a_{n}\operatorname {sen} (t\cdot \log(n))}{n^{\sigma }}}.$ ${\ displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {a_ {n}} {n ^ {s}}} = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {a_ {n} \ cos (t \ cdot \ log (n))} {n ^ {\ sigma}}} - i \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {a_ {n} \ operatorname {sen} (t \ cdot \ log (n))} {n ^ {\ sigma}}}.}$ ${\ displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {a_ {n}} {n ^ {s}}} = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {a_ {n} \ cos (t \ cdot \ log (n))} {n ^ {\ sigma}}} - i \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {a_ {n} \ operatorname {sen} (t \ cdot \ log (n))} {n ^ {\ sigma}}}.}$

În special, dacă coeficienții $a_{n}$ ${\ displaystyle a_ {n}}$ $a_ {n}$ sunt reale, această formulă împarte seria Dirichlet în partea sa reală și imaginară.

Proprietăți analitice ale seriei Dirichlet: abscisă de convergență

Având în vedere o succesiune { a _n } _{n ∈ N} de numere complexe se ia în considerare valoarea lui

f(s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {a_{n}}{n^{s}}}

{\ displaystyle f (s) = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {a_ {n}} {n ^ {s}}}}

{\ displaystyle f (s) = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {a_ {n}} {n ^ {s}}}}

în funcție de variabila complexă s . Pentru ca acest lucru să aibă sens, trebuie să luați în considerare proprietățile de convergență ale seriei infinite de mai sus:

Dacă { a _n } _{n ∈ N} este o secvență mărginită de numere complexe, atunci seria Dirichlet corespunzătoare f converge absolut pe jumătatea planului deschis al lui s astfel încât Re ( s )> 1. În general, dacă a _n = O ( n ^k ), seria converge absolut în jumătatea planului Re ( s )> k + 1.

Dacă mulțimea sumelor a _n + a _{n + 1} + ... + a _{n + k} este mărginită pentru n și k ≥ 0, atunci seria infinită de mai sus converge în jumătatea planului deschis al s tanele pe care Re ( s )> 0.

În ambele cazuri f este o funcție analitică pe jumătatea planului deschis respectiv.

În general, abscisa de convergență a unei serii Dirichlet este interceptarea pe axa reală a liniei verticale pe planul complex, astfel încât să aibă convergență la dreapta acesteia și divergență la stânga acesteia. Acest concept este analog cu cel al razei de convergență pentru seriile de putere . Cazul seriei Dirichlet este totuși mai complicat, deși convergența absolută și convergența uniformă pot apărea în semiplanele distincte.

În multe cazuri, funcția analitică asociată cu o serie Dirichlet are o extensie analitică pe un domeniu mai mare.

Derivate

Dat

F(s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {f(n)}{n^{s}}}

{\ displaystyle F (s) = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {f (n)} {n ^ {s}}}}

{\ displaystyle F (s) = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {f (n)} {n ^ {s}}}}

pentru o funcție complet multiplicativă ƒ ( n ) și presupunând că seria converge pentru Re ( s )> σ ₀ , atunci avem că

{\frac {F^{\prime }(s)}{F(s)}}=-\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {f(n)\Lambda (n)}{n^{s}}}

{\ displaystyle {\ frac {F ^ {\ prime} (s)} {F (s)}} = - \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {f (n) \ Lambda ( n)} {n ^ {s}}}}

{\ displaystyle {\ frac {F ^ {\ prime} (s)} {F (s)}} = - \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {f (n) \ Lambda ( n)} {n ^ {s}}}}

converge pentru Re ( s )> σ ₀ . Aici, $\scriptstyle \Lambda (n)$ ${\ displaystyle \ scriptstyle \ Lambda (n)}$ ${\ displaystyle \ scriptstyle \ Lambda (n)}$ este funcția von Mangoldt .

Produse

Să presupunem

F(s)=\sum _{n=1}^{\infty }f(n)n^{-s}

{\ displaystyle F (s) = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} f (n) n ^ {- s}}

{\ displaystyle F (s) = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} f (n) n ^ {- s}}

Și

G(s)=\sum _{n=1}^{\infty }g(n)n^{-s}.

{\ displaystyle G (s) = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} g (n) n ^ {- s}.}

{\ displaystyle G (s) = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} g (n) n ^ {- s}.}

Dacă atât F ( s ), cât și G ( s ) sunt absolut convergente pentru s > a și s > b, atunci avem

{\frac {1}{2T}}\int _{-T}^{T}\,dtF(a+it)G(b-it)\,dt=\sum _{n=1}^{\infty }f(n)g(n)n^{-a-b}{\text{ per }}T\sim \infty .

{\ displaystyle {\ frac {1} {2T}} \ int _ {- T} ^ {T} \, dtF (a + it) G (b-it) \, dt = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} f (n) g (n) n ^ {- ab} {\ text {per}} T \ sim \ infty.}

{\ displaystyle {\ frac {1} {2T}} \ int _ {- T} ^ {T} \, dtF (a + it) G (b-it) \, dt = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} f (n) g (n) n ^ {- ab} {\ text {per}} T \ sim \ infty.}

Dacă a = b și ƒ ( n ) = g ( n ) avem

{\frac {1}{2T}}\int _{-T}^{T}dt|F(a+it)|^{2}dt=\sum _{n=1}^{\infty }[f(n)]^{2}n^{-2a}{\text{ per }}T\sim \infty .

{\ displaystyle {\ frac {1} {2T}} \ int _ {- T} ^ {T} dt | F (a + it) | ^ {2} dt = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} [f (n)] ^ {2} n ^ {- 2a} {\ text {per}} T \ sim \ infty.}

{\ displaystyle {\ frac {1} {2T}} \ int _ {- T} ^ {T} dt | F (a + it) | ^ {2} dt = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} [f (n)] ^ {2} n ^ {- 2a} {\ text {per}} T \ sim \ infty.}

Transformă integral

Transformata Mellin a unei serii Dirichlet este dată de formula Perron .

Bibliografie

Tom Apostol, Introducere în teoria numerelor analitice , Springer-Verlag, New York, 1976.
GH Hardy și Marcel Riesz, Teoria generală a seriei lui Dirichlet , Cambridge Tracts in Mathematics, nr. 18 (Cambridge University Press, 1915).

Elemente conexe

linkuri externe

( EN ) Seria Dirichlet , în Encyclopedia Britannica , Encyclopædia Britannica, Inc.
( EN ) Teoria generală a seriei lui Dirichlet de GH Hardy. Cornell University Library Historical Math Monographs. {Reprinted by} Colecțiile digitale ale Bibliotecii Universității Cornell
(EN) Seria Dirichlet , în PlanetMath .

Controlul autorității	Tezaur BNCF 38241 · LCCN (EN) sh85120239 · GND (DE) 4150139-1 · BNF (FR) cb122854869 (dată) · BNE (ES) XX544978 (dată) · NDL (EN, JA) 00.561.503