Formula lui Perron

În teoria numerelor analitice , formula Perron este o formulă care vă permite să calculați suma unei funcții aritmetice printr-o transformată inversă a lui Mellin . Formula poartă numele lui Oskar Perron .

Afirmație

Este $\{a(n)\}$ ${\ displaystyle \ {a (n) \}}$ ${\ displaystyle \ {a (n) \}}$ o funcție aritmetică și lăsați-o să fie

g(s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {a(n)}{n^{s}}}

{\ displaystyle g (s) = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {a (n)} {n ^ {s}}}}

{\ displaystyle g (s) = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {a (n)} {n ^ {s}}}}

seria sa corespunzătoare Dirichlet . Să presupunem că seria Dirichlet este absolut convergentă pentru $\Re (s)>\sigma _{a}$ ${\ displaystyle \ Re (s)> \ sigma _ {a}}$ ${\ displaystyle \ Re (s)> \ sigma _ {a}}$ . Apoi formula lui Perron afirmă că ^[1]

A(x)={\sum _{n\leq x}}^{\star }a(n)={\frac {1}{2\pi i}}\int _{c-i\infty }^{c+i\infty }g(z){\frac {x^{z}}{z}}dz\;

{\ displaystyle A (x) = {\ sum _ {n \ leq x}} ^ {\ star} a (n) = {\ frac {1} {2 \ pi i}} \ int _ {ci \ infty} ^ {c + i \ infty} g (z) {\ frac {x ^ {z}} {z}} dz \;}

{\ displaystyle A (x) = {\ sum _ {n \ leq x}} ^ {\ star} a (n) = {\ frac {1} {2 \ pi i}} \ int _ {ci \ infty} ^ {c + i \ infty} g (z) {\ frac {x ^ {z}} {z}} dz \;}

,

pentru fiecare $x>0$ ${\ displaystyle x> 0}$ ${\ displaystyle x> 0}$ Și $c>\sigma _{a}$ ${\ displaystyle c> \ sigma _ {a}}$ ${\ displaystyle c> \ sigma _ {a}}$ . În acest caz, steaua de lângă simbolul însumării indică faptul că ultimul termen al sumei trebuie înmulțit cu 1/2 când $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ este un întreg .

Demonstrație

O simplă dovadă a conceptului poate fi derivată din formula de însumare a lui Abel :

g(s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {a(n)}{n^{s}}}=s\int _{0}^{\infty }A(x)x^{-(s+1)}dx.

{\ displaystyle g (s) = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {a (n)} {n ^ {s}}} = s \ int _ {0} ^ {\ infty } A (x) x ^ {- (s + 1)} dx.}

{\ displaystyle g (s) = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {a (n)} {n ^ {s}}} = s \ int _ {0} ^ {\ infty } A (x) x ^ {- (s + 1)} dx.}

Aceasta nu este altceva decât o transformare Laplace cu schimbarea variabilei $x=e^{t}$ ${\ displaystyle x = e ^ {t}}$ ${\ displaystyle x = e ^ {t}}$ . Formula lui Perron se obține inversând această relație.

Exemple

Datorită relației sale generale cu seria Dirichlet, formula lui Perron se aplică în mod obișnuit diferitelor sume ale teoriei numerelor . În acest fel, de exemplu, obținem reprezentarea integrală importantă a funcției zeta Riemann :

\zeta (s)=s\int _{1}^{\infty }{\frac {\lfloor x\rfloor }{x^{s+1}}}\,dx

{\ displaystyle \ zeta (s) = s \ int _ {1} ^ {\ infty} {\ frac {\ lfloor x \ rfloor} {x ^ {s + 1}}} \, dx}

{\ displaystyle \ zeta (s) = s \ int _ {1} ^ {\ infty} {\ frac {\ lfloor x \ rfloor} {x ^ {s + 1}}} \, dx}

și o formulă analogă pentru funcțiile L ale lui Dirichlet :

L(s,\chi )=s\int _{1}^{\infty }{\frac {A(x)}{x^{s+1}}}\,dx

{\ displaystyle L (s, \ chi) = s \ int _ {1} ^ {\ infty} {\ frac {A (x)} {x ^ {s + 1}}} \, dx}

{\ displaystyle L (s, \ chi) = s \ int _ {1} ^ {\ infty} {\ frac {A (x)} {x ^ {s + 1}}} \, dx}

unde este

A(x)=\sum _{n\leq x}\chi (n)

{\ displaystyle A (x) = \ sum _ {n \ leq x} \ chi (n)}

{\ displaystyle A (x) = \ sum _ {n \ leq x} \ chi (n)}

Și $\chi (n)$ ${\ displaystyle \ chi (n)}$ ${\ displaystyle \ chi (n)}$ este un personaj Dirichlet .

Notă

^(EN) Formula Perron pe MathWorld .

Bibliografie

( EN ) Apostol, Tom M., Introducere în teoria numerelor analitice , Undergraduate Texts in Mathematics, New York-Heidelberg, Springer-Verlag, 1976, p. 243, ISBN 978-0-387-90163-3 .
( EN ) Gérald Tenebaum, Introducere în teoria numerelor analitice și probabilistice , Cambridge, Cambridge University Press, 1995, ISBN 0-521-41261-7 .

Elemente conexe

[1] (EN) Formula Perron pe MathWorld .

[1]