Funcția Von Mangoldt

Funcția von Mangoldt este o funcție aritmetică numită după matematicianul german Hans von Mangoldt (1854-1925). Funcția von Mangoldt, indicată în mod convențional ca Λ ( n ), este definită după cum urmează:

\Lambda (n):={\begin{cases}\ln p&{\mbox{se }}n=p^{k}{\mbox{ per qualche primo }}p{\mbox{ e intero }}k\geq 1\\0&{\mbox{altrimenti.}}\end{cases}}

{\ displaystyle \ Lambda (n): = {\ begin {cases} \ ln p & {\ mbox {se}} n = p ^ {k} {\ mbox {pentru unele prime}} p {\ mbox {e întreg }} k \ geq 1 \\ 0 & {\ mbox {altfel.}} \ end {cases}}}

{\ displaystyle \ Lambda (n): = {\ begin {cases} \ ln p & {\ mbox {se}} n = p ^ {k} {\ mbox {pentru unele prime}} p {\ mbox {e întreg }} k \ geq 1 \\ 0 & {\ mbox {altfel.}} \ end {cases}}}

Este un exemplu de funcție aritmetică importantă care nu este nici multiplicativă, nici aditivă . Funcția von Mangoldt satisface următoarea identitate

\ln n=\sum _{d\,\mid \,n}\Lambda (d),

{\ displaystyle \ ln n = \ sum _ {d \, \ mid \, n} \ Lambda (d),}

{\ displaystyle \ ln n = \ sum _ {d \, \ mid \, n} \ Lambda (d),}

adică suma se extinde la toate numerele întregi d care împart n .

Permite definirea funcției Chebyshev ψ ( x ) ca:

\psi (x):=\sum _{n\leq x}\Lambda (n)

{\ displaystyle \ psi (x): = \ sum _ {n \ leq x} \ Lambda (n)}

{\ displaystyle \ psi (x): = \ sum _ {n \ leq x} \ Lambda (n)}

.

von Mangoldt a dat dovada unei formule explicite pentru ψ ( x ) constând dintr-o sumă peste toate zerourile non-banale ale funcției zeta Riemann . Acest rezultat a fost deosebit de important deoarece a fost folosit în prima dovadă a teoremei numărului prim .

Funcția zeta Riemann poate fi exprimată în funcție de funcția von Mangoldt după cum urmează (a se vedea lucrarea citată de Allan Gut):

\zeta (\sigma +it)=\exp \left\{\sum _{n=2}^{\infty }{\frac {\Lambda (n)}{\log(n)}}\,n^{-(\sigma +it)}\right\}

{\ displaystyle \ zeta (\ sigma + it) = \ exp \ left \ {\ sum _ {n = 2} ^ {\ infty} {\ frac {\ Lambda (n)} {\ log (n)}} \ , n ^ {- (\ sigma + it)} \ right \}}

{\ displaystyle \ zeta (\ sigma + it) = \ exp \ left \ {\ sum _ {n = 2} ^ {\ infty} {\ frac {\ Lambda (n)} {\ log (n)}} \ , n ^ {- (\ sigma + it)} \ right \}}

pentru $\sigma >1$ ${\ displaystyle \ sigma> 1}$ ${\ displaystyle \ sigma> 1}$ .

Bibliografie

Tom M. Apostol , Introducere în teoria numerelor analitice , Springer-Verlag, New York, 1976 - ISBN 0-387-90163-9

Elemente conexe

linkuri externe

( EN ) Allan Gut (2005): Câteva observații cu privire la distribuția zerourilor funcției zeta Riemann

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică