Formula produsului Euler

Formula produsului Euler sau mai simplu produsul Euler este o formulă demonstrată de Leonhard Euler în 1737 . ^[1]

\zeta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}=\prod _{p{\text{ primo}}}{\frac {1}{1-p^{-s}}}

{\ displaystyle \ zeta (s) = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {1} {n ^ {s}}} = \ prod _ {p {\ text {first}}} {\ frac {1} {1-p ^ {- s}}}}

{\ displaystyle \ zeta (s) = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {1} {n ^ {s}}} = \ prod _ {p {\ text {first}}} {\ frac {1} {1-p ^ {- s}}}}

unde este $\zeta (s)$ ${\ displaystyle \ zeta (s)}$ $\ zeta (e)$ este funcția zeta Riemann și produsul celui de-al doilea membru al egalității trece prin toate numerele prime .

Această formulă este interesantă prin faptul că relatează o serie în care apar toate numerele naturale și un produs în care apar toate numerele prime . Este la originea conexiunii dintre funcția zeta a lui Riemann și numerele prime care apare în ipoteza Riemann .

Demonstrații

Prima demonstrație

Să începem cu funcția zeta:

\zeta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}=1+{\frac {1}{2^{s}}}+{\frac {1}{3^{s}}}+{\frac {1}{4^{s}}}+\cdots

{\ displaystyle \ zeta (s) = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {1} {n ^ {s}}} = 1 + {\ frac {1} {2 ^ {s }}} + {\ frac {1} {3 ^ {s}}} + {\ frac {1} {4 ^ {s}}} + \ cdots}

{\ displaystyle \ zeta (s) = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {1} {n ^ {s}}} = 1 + {\ frac {1} {2 ^ {s }}} + {\ frac {1} {3 ^ {s}}} + {\ frac {1} {4 ^ {s}}} + \ cdots}

dacă înmulțim ambii termeni cu ${\frac {1}{2^{s}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {1} {2 ^ {s}}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {1} {2 ^ {s}}}}$ avem asta:

{\frac {1}{2^{s}}}\zeta (s)={\frac {1}{2^{s}}}+{\frac {1}{4^{s}}}+{\frac {1}{6^{s}}}+{\frac {1}{8^{s}}}+\cdots

{\ displaystyle {\ frac {1} {2 ^ {s}}} \ zeta (s) = {\ frac {1} {2 ^ {s}}} + {\ frac {1} {4 ^ {s} }} + {\ frac {1} {6 ^ {s}}} + {\ frac {1} {8 ^ {s}}} + \ cdots}

{\ displaystyle {\ frac {1} {2 ^ {s}}} \ zeta (s) = {\ frac {1} {2 ^ {s}}} + {\ frac {1} {4 ^ {s} }} + {\ frac {1} {6 ^ {s}}} + {\ frac {1} {8 ^ {s}}} + \ cdots}

Scăderea celei de-a doua expresii din prima:

\left(1-{\frac {1}{2^{s}}}\right)\zeta (s)=1+{\frac {1}{3^{s}}}+{\frac {1}{5^{s}}}+{\frac {1}{7^{s}}}+\cdots

{\ displaystyle \ left (1 - {\ frac {1} {2 ^ {s}}} \ right) \ zeta (s) = 1 + {\ frac {1} {3 ^ {s}}} + {\ frac {1} {5 ^ {s}}} + {\ frac {1} {7 ^ {s}}} + \ cdots}

{\ displaystyle \ left (1 - {\ frac {1} {2 ^ {s}}} \ right) \ zeta (s) = 1 + {\ frac {1} {3 ^ {s}}} + {\ frac {1} {5 ^ {s}}} + {\ frac {1} {7 ^ {s}}} + \ cdots}

Nu există nici măcar numitori în această serie.
Înmulțind cu primul termen rămas (după cel) obținem:

{\frac {1}{3^{s}}}\left(1-{\frac {1}{2^{s}}}\right)\zeta (s)={\frac {1}{3^{s}}}+{\frac {1}{9^{s}}}+{\frac {1}{15^{s}}}+{\frac {1}{21^{s}}}+\cdots

{\ displaystyle {\ frac {1} {3 ^ {s}}} \ left (1 - {\ frac {1} {2 ^ {s}}} \ right) \ zeta (s) = {\ frac {1 } {3 ^ {s}}} + {\ frac {1} {9 ^ {s}}} + {\ frac {1} {15 ^ {s}}} + {\ frac {1} {21 ^ { s}}} + \ cdots}

{\ displaystyle {\ frac {1} {3 ^ {s}}} \ left (1 - {\ frac {1} {2 ^ {s}}} \ right) \ zeta (s) = {\ frac {1 } {3 ^ {s}}} + {\ frac {1} {9 ^ {s}}} + {\ frac {1} {15 ^ {s}}} + {\ frac {1} {21 ^ { s}}} + \ cdots}

Scăzând ultima din penultima expresie, avem:

\left(1-{\frac {1}{3^{s}}}\right)\left(1-{\frac {1}{2^{s}}}\right)\zeta (s)=1+{\frac {1}{5^{s}}}+{\frac {1}{7^{s}}}+{\frac {1}{11^{s}}}+\cdots

{\ displaystyle \ left (1 - {\ frac {1} {3 ^ {s}}} \ right) \ left (1 - {\ frac {1} {2 ^ {s}}} \ right) \ zeta ( s) = 1 + {\ frac {1} {5 ^ {s}}} + {\ frac {1} {7 ^ {s}}} + {\ frac {1} {11 ^ {s}}} + \ cdots}

{\ displaystyle \ left (1 - {\ frac {1} {3 ^ {s}}} \ right) \ left (1 - {\ frac {1} {2 ^ {s}}} \ right) \ zeta ( s) = 1 + {\ frac {1} {5 ^ {s}}} + {\ frac {1} {7 ^ {s}}} + {\ frac {1} {11 ^ {s}}} + \ cdots}

În această procedură am eliminat, mai întâi toți multiplii a doi, apoi toți multiplii primului număr rămas, adică trei, dacă o vom face din nou cu cinci, vom vedea toți multiplii celor cinci eliminați:

\left(1-{\frac {1}{5^{s}}}\right)\left(1-{\frac {1}{3^{s}}}\right)\left(1-{\frac {1}{2^{s}}}\right)\zeta (s)=1+{\frac {1}{7^{s}}}+{\frac {1}{11^{s}}}+{\frac {1}{13^{s}}}+\cdots

{\ displaystyle \ left (1 - {\ frac {1} {5 ^ {s}}} \ right) \ left (1 - {\ frac {1} {3 ^ {s}}} \ right) \ left ( 1 - {\ frac {1} {2 ^ {s}}} \ right) \ zeta (s) = 1 + {\ frac {1} {7 ^ {s}}} + {\ frac {1} {11 ^ {s}}} + {\ frac {1} {13 ^ {s}}} + \ cdots}

{\ displaystyle \ left (1 - {\ frac {1} {5 ^ {s}}} \ right) \ left (1 - {\ frac {1} {3 ^ {s}}} \ right) \ left ( 1 - {\ frac {1} {2 ^ {s}}} \ right) \ zeta (s) = 1 + {\ frac {1} {7 ^ {s}}} + {\ frac {1} {11 ^ {s}}} + {\ frac {1} {13 ^ {s}}} + \ cdots}

Eliminăm progresiv toți multiplii oricărui număr rămas după unul (și care este, prin urmare, un număr prim, deoarece nu este multiplu al oricărui alt număr mai mic ). Numerele produsului înainte de egal vor fi, prin urmare, toate prime. Apoi repetați procedura din nou și din nou:

\cdots \left(1-{\frac {1}{11^{s}}}\right)\left(1-{\frac {1}{7^{s}}}\right)\left(1-{\frac {1}{5^{s}}}\right)\left(1-{\frac {1}{3^{s}}}\right)\left(1-{\frac {1}{2^{s}}}\right)\zeta (s)=1

{\ displaystyle \ cdots \ left (1 - {\ frac {1} {11 ^ {s}}} \ right) \ left (1 - {\ frac {1} {7 ^ {s}}} \ right) \ left (1 - {\ frac {1} {5 ^ {s}}} \ right) \ left (1 - {\ frac {1} {3 ^ {s}}} \ right) \ left (1 - {\ frac {1} {2 ^ {s}}} \ right) \ zeta (s) = 1}

{\ displaystyle \ cdots \ left (1 - {\ frac {1} {11 ^ {s}}} \ right) \ left (1 - {\ frac {1} {7 ^ {s}}} \ right) \ left (1 - {\ frac {1} {5 ^ {s}}} \ right) \ left (1 - {\ frac {1} {3 ^ {s}}} \ right) \ left (1 - {\ frac {1} {2 ^ {s}}} \ right) \ zeta (s) = 1}

Și în concluzie:

\zeta (s)={\frac {1}{\left(1-{\frac {1}{2^{s}}}\right)}}{\frac {1}{\left(1-{\frac {1}{3^{s}}}\right)}}{\frac {1}{\left(1-{\frac {1}{5^{s}}}\right)}}{\frac {1}{\left(1-{\frac {1}{7^{s}}}\right)}}\cdots =\prod _{p}{\frac {1}{1-p^{-s}}}

{\ displaystyle \ zeta (s) = {\ frac {1} {\ left (1 - {\ frac {1} {2 ^ {s}}} \ right)}} {\ frac {1} {\ left ( 1 - {\ frac {1} {3 ^ {s}}} \ right)}} {\ frac {1} {\ left (1 - {\ frac {1} {5 ^ {s}}} \ right) }} {\ frac {1} {\ left (1 - {\ frac {1} {7 ^ {s}}} \ right)}} \ cdots = \ prod _ {p} {\ frac {1} {1 -p ^ {- s}}}}

{\ displaystyle \ zeta (s) = {\ frac {1} {\ left (1 - {\ frac {1} {2 ^ {s}}} \ right)}} {\ frac {1} {\ left ( 1 - {\ frac {1} {3 ^ {s}}} \ right)}} {\ frac {1} {\ left (1 - {\ frac {1} {5 ^ {s}}} \ right) }} {\ frac {1} {\ left (1 - {\ frac {1} {7 ^ {s}}} \ right)}} \ cdots = \ prod _ {p} {\ frac {1} {1 -p ^ {- s}}}}

QED

A doua demonstrație

termenul poate fi luat în considerare

{\frac {1}{1-p^{-s}}}

{\ displaystyle {\ frac {1} {1-p ^ {- s}}}}

{\ displaystyle {\ frac {1} {1-p ^ {- s}}}}

ca număr la care converge seria geometrică

\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{(p^{s})^{n}}}=1+{\frac {1}{p^{s}}}+{\frac {1}{p^{2s}}}+{\frac {1}{p^{3s}}}+{\frac {1}{p^{4s}}}+\cdots ={\frac {1}{1-p^{-s}}}

{\ displaystyle \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {1} {(p ^ {s}) ^ {n}}} = 1 + {\ frac {1} {p ^ {s }}} + {\ frac {1} {p ^ {2s}}} + {\ frac {1} {p ^ {3s}}} + {\ frac {1} {p ^ {4s}}} + \ cdots = {\ frac {1} {1-p ^ {- s}}}}

{\ displaystyle \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {1} {(p ^ {s}) ^ {n}}} = 1 + {\ frac {1} {p ^ {s }}} + {\ frac {1} {p ^ {2s}}} + {\ frac {1} {p ^ {3s}}} + {\ frac {1} {p ^ {4s}}} + \ cdots = {\ frac {1} {1-p ^ {- s}}}}

Astfel , produsul Euler devine:

\prod _{p}{\frac {1}{1-p^{-s}}}=\left(1+{\frac {1}{2^{s}}}+{\frac {1}{2^{2s}}}+{\frac {1}{2^{3s}}}+\cdots \right)\left(1+{\frac {1}{3^{s}}}+{\frac {1}{3^{2s}}}+{\frac {1}{3^{3s}}}+\cdots \right)\left(1+{\frac {1}{5^{s}}}+{\frac {1}{5^{2s}}}+{\frac {1}{5^{3s}}}+\cdots \right)\cdots

{\ displaystyle \ prod _ {p} {\ frac {1} {1-p ^ {- s}}} = \ left (1 + {\ frac {1} {2 ^ {s}}} + {\ frac {1} {2 ^ {2s}}} + {\ frac {1} {2 ^ {3s}}} + \ cdots \ right) \ left (1 + {\ frac {1} {3 ^ {s}} } + {\ frac {1} {3 ^ {2s}}} + {\ frac {1} {3 ^ {3s}}} + \ cdots \ right) \ left (1 + {\ frac {1} {5 ^ {s}}} + {\ frac {1} {5 ^ {2s}}} + {\ frac {1} {5 ^ {3s}}} + \ cdots \ right) \ cdots}

{\ displaystyle \ prod _ {p} {\ frac {1} {1-p ^ {- s}}} = \ left (1 + {\ frac {1} {2 ^ {s}}} + {\ frac {1} {2 ^ {2s}}} + {\ frac {1} {2 ^ {3s}}} + \ cdots \ right) \ left (1 + {\ frac {1} {3 ^ {s}} } + {\ frac {1} {3 ^ {2s}}} + {\ frac {1} {3 ^ {3s}}} + \ cdots \ right) \ left (1 + {\ frac {1} {5 ^ {s}}} + {\ frac {1} {5 ^ {2s}}} + {\ frac {1} {5 ^ {3s}}} + \ cdots \ right) \ cdots}

Și făcând asta

\prod _{p}{\frac {1}{1-p^{-s}}}=\left(1+{\frac {1}{(1\cdot 2)^{s}}}+{\frac {1}{(1\cdot 3)^{s}}}+{\frac {1}{(1\cdot 5)^{s}}}+\cdots \right)+\left({\frac {1}{(1\cdot {2^{2}})^{s}}}+{\frac {1}{(1\cdot {3^{2}})^{s}}}+{\frac {1}{(1\cdot {5^{2}})^{s}}}+\cdots \right)+\cdots

{\ displaystyle \ prod _ {p} {\ frac {1} {1-p ^ {- s}}} = \ left (1 + {\ frac {1} {(1 \ cdot 2) ^ {s}} } + {\ frac {1} {(1 \ cdot 3) ^ {s}}} + {\ frac {1} {(1 \ cdot 5) ^ {s}}} + \ cdots \ right) + \ left ({\ frac {1} {(1 \ cdot {2 ^ {2}}) ^ {s}}} + {\ frac {1} {(1 \ cdot {3 ^ {2}}) ^ {s} }} + {\ frac {1} {(1 \ cdot {5 ^ {2}}) ^ {s}}} + \ cdots \ right) + \ cdots}

{\ displaystyle \ prod _ {p} {\ frac {1} {1-p ^ {- s}}} = \ left (1 + {\ frac {1} {(1 \ cdot 2) ^ {s}} } + {\ frac {1} {(1 \ cdot 3) ^ {s}}} + {\ frac {1} {(1 \ cdot 5) ^ {s}}} + \ cdots \ right) + \ left ({\ frac {1} {(1 \ cdot {2 ^ {2}}) ^ {s}}} + {\ frac {1} {(1 \ cdot {3 ^ {2}}) ^ {s} }} + {\ frac {1} {(1 \ cdot {5 ^ {2}}) ^ {s}}} + \ cdots \ right) + \ cdots}

+\left({\frac {1}{(2\cdot 3)^{s}}}+{\frac {1}{(2\cdot 5)^{s}}}+{\frac {1}{(2\cdot 7)^{s}}}+\cdots \right)+\left({\frac {1}{({2^{2}}\cdot {3^{2}})^{s}}}+{\frac {1}{({2^{2}}\cdot {5^{2}})^{s}}}+{\frac {1}{({2^{2}}\cdot {7^{2}})^{s}}}+\cdots \right)+\cdots

{\ displaystyle + \ left ({\ frac {1} {(2 \ cdot 3) ^ {s}}} + {\ frac {1} {(2 \ cdot 5) ^ {s}}} + {\ frac {1} {(2 \ cdot 7) ^ {s}}} + \ cdots \ right) + \ left ({\ frac {1} {({2 ^ {2}} \ cdot {3 ^ {2}} ) ^ {s}}} + {\ frac {1} {({2 ^ {2}} \ cdot {5 ^ {2}}) ^ {s}}} + {\ frac {1} {({2 ^ {2}} \ cdot {7 ^ {2}}) ^ {s}}} + \ cdots \ right) + \ cdots}

{\ displaystyle + \ left ({\ frac {1} {(2 \ cdot 3) ^ {s}}} + {\ frac {1} {(2 \ cdot 5) ^ {s}}} + {\ frac {1} {(2 \ cdot 7) ^ {s}}} + \ cdots \ right) + \ left ({\ frac {1} {({2 ^ {2}} \ cdot {3 ^ {2}} ) ^ {s}}} + {\ frac {1} {({2 ^ {2}} \ cdot {5 ^ {2}}) ^ {s}}} + {\ frac {1} {({2 ^ {2}} \ cdot {7 ^ {2}}) ^ {s}}} + \ cdots \ right) + \ cdots}

+\left({\frac {1}{(3\cdot 5)^{s}}}+{\frac {1}{(3\cdot 7)^{s}}}+{\frac {1}{(3\cdot 11)^{s}}}+\cdots \right)+\left(+{\frac {1}{({3^{2}}\cdot {5^{2}})^{s}}}+{\frac {1}{({3^{2}}\cdot {7^{2}})^{s}}}+{\frac {1}{({3^{2}}\cdot {11^{2}})^{s}}}+\cdots \right)+\cdots

{\ displaystyle + \ left ({\ frac {1} {(3 \ cdot 5) ^ {s}}} + {\ frac {1} {(3 \ cdot 7) ^ {s}}} + {\ frac {1} {(3 \ cdot 11) ^ {s}}} + \ cdots \ right) + \ left (+ {\ frac {1} {({3 ^ {2}} \ cdot {5 ^ {2} }) ^ {s}}} + {\ frac {1} {({3 ^ {2}} \ cdot {7 ^ {2}}) ^ {s}}} + {\ frac {1} {({ 3 ^ {2}} \ cdot {11 ^ {2}}) ^ {s}}} + \ cdots \ right) + \ cdots}

{\ displaystyle + \ left ({\ frac {1} {(3 \ cdot 5) ^ {s}}} + {\ frac {1} {(3 \ cdot 7) ^ {s}}} + {\ frac {1} {(3 \ cdot 11) ^ {s}}} + \ cdots \ right) + \ left (+ {\ frac {1} {({3 ^ {2}} \ cdot {5 ^ {2} }) ^ {s}}} + {\ frac {1} {({3 ^ {2}} \ cdot {7 ^ {2}}) ^ {s}}} + {\ frac {1} {({ 3 ^ {2}} \ cdot {11 ^ {2}}) ^ {s}}} + \ cdots \ right) + \ cdots}

Este clar că în termenul din dreapta egalului, mai devreme sau mai târziu vor apărea toate combinațiile posibile de numere prime posibile (și la orice putere). Prin teorema fundamentală a aritmeticii avem că aceste combinații dau toate numerele naturale. Prin urmare, putem rearanja termenii după cum urmează:

\prod _{p}{\frac {1}{1-p^{-s}}}=1+{\frac {1}{2^{s}}}+{\frac {1}{3^{s}}}+{\frac {1}{4^{s}}}+\cdots

{\ displaystyle \ prod _ {p} {\ frac {1} {1-p ^ {- s}}} = 1 + {\ frac {1} {2 ^ {s}}} + {\ frac {1} {3 ^ {s}}} + {\ frac {1} {4 ^ {s}}} + \ cdots}

{\ displaystyle \ prod _ {p} {\ frac {1} {1-p ^ {- s}}} = 1 + {\ frac {1} {2 ^ {s}}} + {\ frac {1} {3 ^ {s}}} + {\ frac {1} {4 ^ {s}}} + \ cdots}

Prin urmare:

\prod _{p}{\frac {1}{1-p^{-s}}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}

{\ displaystyle \ prod _ {p} {\ frac {1} {1-p ^ {- s}}} = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {1} {n ^ { s}}}}

{\ displaystyle \ prod _ {p} {\ frac {1} {1-p ^ {- s}}} = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {1} {n ^ { s}}}}

QED

Numere prime infinite

Folosind această formulă, Euler a dat o dovadă a infinității numerelor prime. De fapt, dacă numărul 1 este inserat în formulă, avem:

\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n}}=\prod _{p}{\frac {1}{1-p^{-1}}}

{\ displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {1} {n}} = \ prod _ {p} {\ frac {1} {1-p ^ {- 1}}} }

{\ displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {1} {n}} = \ prod _ {p} {\ frac {1} {1-p ^ {- 1}}} }

Și întrucât suma din primul membru este seria armonică , care diferă, produsul trebuie să facă și acest lucru. Dar acest lucru este posibil numai dacă membrii săi sunt infiniti și, prin urmare, dacă există numere prime infinite.

Generalizare

Prin demonstrații putem generaliza această formulă pentru orice funcție multiplicativă a (x) :

\sum _{n}{\frac {a(n)}{n^{s}}}\ =\prod _{p}P(p,s)\

{\ displaystyle \ sum _ {n} {\ frac {a (n)} {n ^ {s}}} \ = \ prod _ {p} P (p, s) \}

{\ displaystyle \ sum _ {n} {\ frac {a (n)} {n ^ {s}}} \ = \ prod _ {p} P (p, s) \}

Unde P (p, s) este seria :

1+a(p)p^{-s}+a(p^{2})p^{-2s}+\cdots .

{\ displaystyle 1 + a (p) p ^ {- s} + a (p ^ {2}) p ^ {- 2s} + \ cdots.}

{\ displaystyle 1 + a (p) p ^ {- s} + a (p ^ {2}) p ^ {- 2s} + \ cdots.}

Exemple

Multe funcții pot fi exprimate cu produsul Euler. Aceste funcții dau naștere unor produse foarte similare cu cea ilustrată mai sus pentru funcția zeta Riemann . Prin urmare, se întâmplă să găsim legături între aceste serii de funcții și funcția zeta. De exemplu:

Produsul Euler pentru funcția Moebius $\mu (n)$ ${\ displaystyle \ mu (n)}$ $\ mu (n)$ :

\sum _{n=1}^{\infty }\mu (n)n^{-s}=\prod _{p}(1-p^{-s})={\frac {1}{\zeta (s)}}

{\ displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} \ mu (n) n ^ {- s} = \ prod _ {p} (1-p ^ {- s}) = {\ frac {1 } {\ zeta (s)}}}

{\ displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} \ mu (n) n ^ {- s} = \ prod _ {p} (1-p ^ {- s}) = {\ frac {1 } {\ zeta (s)}}}

.

Și asta pentru valoarea sa absolută :

\sum _{n=1}^{\infty }|\mu (n)|n^{-s}=\prod _{p}(1+p^{-s})={\frac {\zeta (s)}{\zeta (2s)}}

{\ displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} | \ mu (n) | n ^ {- s} = \ prod _ {p} (1 + p ^ {- s}) = {\ frac {\ zeta (s)} {\ zeta (2s)}}}

{\ displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} | \ mu (n) | n ^ {- s} = \ prod _ {p} (1 + p ^ {- s}) = {\ frac {\ zeta (s)} {\ zeta (2s)}}}

.

Produsul pentru funcția Liouville :

\sum _{n=1}^{\infty }\lambda (n)n^{-s}=\prod _{p}(1+p^{-s})^{-1}={\frac {\zeta (2s)}{\zeta (s)}}

{\ displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} \ lambda (n) n ^ {- s} = \ prod _ {p} (1 + p ^ {- s}) ^ {- 1} = {\ frac {\ zeta (2s)} {\ zeta (s)}}}

{\ displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} \ lambda (n) n ^ {- s} = \ prod _ {p} (1 + p ^ {- s}) ^ {- 1} = {\ frac {\ zeta (2s)} {\ zeta (s)}}}

.

Și alții care folosesc funcția zeta, cum ar fi:

\sum _{n=1}^{\infty }2^{\omega (n)}n^{-s}=\prod _{p}{\Big (}{\frac {1+p^{-s}}{1-p^{-s}}}{\Big )}={\frac {\zeta (s)^{2}}{\zeta (2s)}}

{\ displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} 2 ^ {\ omega (n)} n ^ {- s} = \ prod _ {p} {\ Big (} {\ frac {1 + p ^ {- s}} {1-p ^ {- s}}} {\ Big)} = {\ frac {\ zeta (s) ^ {2}} {\ zeta (2s)}}}

{\ displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} 2 ^ {\ omega (n)} n ^ {- s} = \ prod _ {p} {\ Big (} {\ frac {1 + p ^ {- s}} {1-p ^ {- s}}} {\ Big)} = {\ frac {\ zeta (s) ^ {2}} {\ zeta (2s)}}}

Unde este $\omega (n)$ ${\ displaystyle \ omega (n)}$ ${\ displaystyle \ omega (n)}$ este numărul de factori primi distincti ai lui n

Si deasemenea

\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\sigma (n)}{n^{s}}}=\zeta (s)\zeta (s-1)

{\ displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {\ sigma (n)} {n ^ {s}}} = \ zeta (s) \ zeta (s-1)}

{\ displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {\ sigma (n)} {n ^ {s}}} = \ zeta (s) \ zeta (s-1)}

unde este $\sigma (n)$ ${\ displaystyle \ sigma (n)}$ ${\ displaystyle \ sigma (n)}$ este suma tuturor divizorilor lui $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ ( $1$ ${\ displaystyle 1}$ $1$ Și $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ inclus).

Notă

^ Apostol , p. 230 .

Bibliografie

( EN ) Tom M. Apostol, Introducere în teoria numerelor analitice , New York, Springer-Verlag, 1976, ISBN 0-387-90163-9 .
John Derbyshire, Obsesia pentru numerele prime , Bollati Boringhieri , 2006, ISBN 88-339-1706-1

Elemente conexe

Controlul autorității	LCCN (EN) sh85045552 · GND (DE) 4489294-9 · BNF (FR) cb12286484v (data)

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică

[1] Apostol , p. 230 .

[1]