Derivat logaritmic

În matematică și în special în calcul și analize complexe , derivata logaritmică a unei funcții $f(x)$ ${\ displaystyle f (x)}$ $f (x)$ derivabil este definit ca

{\frac {f'(x)}{f(x)}},

{\ displaystyle {\ frac {f '(x)} {f (x)}},}

{\ displaystyle {\ frac {f '(x)} {f (x)}},}

unde indicativul „denotă operația de derivare . Dacă în special $f(x)$ ${\ displaystyle f (x)}$ $f (x)$ este o funcție a unei variabile reale care își asumă valori reale pozitive în sens strict, derivata logaritmică asigură și derivata logaritmului funcției, așa cum se obține din regula derivării funcției funcției .

{\frac {f'(x)}{f(x)}}={\frac {d}{dx}}\log(f(x)).

{\ displaystyle {\ frac {f '(x)} {f (x)}} = {\ frac {d} {dx}} \ log (f (x)).}

{\ displaystyle {\ frac {f '(x)} {f (x)}} = {\ frac {d} {dx}} \ log (f (x)).}

Formule utilizabile pentru calculul infinitezimal de bază

Funcții produs:

$uv=e^{\ln {u}+\ln {v}}$ ${\ displaystyle uv = e ^ {\ ln {u} + \ ln {v}}}$ ${\ displaystyle uv = e ^ {\ ln {u} + \ ln {v}}}$
$(\ln {uv})'={\frac {u'}{u}}+{\frac {v'}{v}}$ ${\ displaystyle (\ ln {uv}) '= {\ frac {u'} {u}} + {\ frac {v '} {v}}}$ ${\ displaystyle (\ ln {uv}) '= {\ frac {u'} {u}} + {\ frac {v '} {v}}}$
${\frac {u'}{u}}+{\frac {v'}{v}}={\frac {u'v}{uv}}+{\frac {uv'}{uv}}$ ${\ displaystyle {\ frac {u '} {u}} + {\ frac {v'} {v}} = {\ frac {u'v} {uv}} + {\ frac {uv '} {uv} }}$ ${\ displaystyle {\ frac {u '} {u}} + {\ frac {v'} {v}} = {\ frac {u'v} {uv}} + {\ frac {uv '} {uv} }}$
${\frac {u'v}{uv}}+{\frac {uv'}{uv}}={\frac {u'v+uv'}{uv}}$ ${\ displaystyle {\ frac {u'v} {uv}} + {\ frac {uv '} {uv}} = {\ frac {u'v + uv'} {uv}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {u'v} {uv}} + {\ frac {uv '} {uv}} = {\ frac {u'v + uv'} {uv}}}$
$(uv)'=u'v+uv'$ ${\ displaystyle (uv) '= u'v + uv'}$ ${\ displaystyle (uv) '= u'v + uv'}$

Cotient de funcții:

${u \over v}=e^{\ln {u}-\ln {v}}$ ${\ displaystyle {u \ over v} = e ^ {\ ln {u} - \ ln {v}}}$ ${\ displaystyle {u \ over v} = e ^ {\ ln {u} - \ ln {v}}}$
$\left(\ln {u \over v}\right)'={u' \over u}-{v' \over v}$ ${\ displaystyle \ left (\ ln {u \ over v} \ right) '= {u' \ over u} - {v '\ over v}}$ ${\ displaystyle \ left (\ ln {u \ over v} \ right) '= {u' \ over u} - {v '\ over v}}$
${u' \over u}-{v' \over v}={\frac {{u' \over v}-{\frac {uv'}{v^{2}}}}{u \over v}}$ ${\ displaystyle {u '\ over u} - {v' \ over v} = {\ frac {{u '\ over v} - {\ frac {uv'} {v ^ {2}}}} {u \ peste v}}}$ ${\ displaystyle {u '\ over u} - {v' \ over v} = {\ frac {{u '\ over v} - {\ frac {uv'} {v ^ {2}}}} {u \ peste v}}}$
${\frac {{u' \over v}-{\frac {uv'}{v^{2}}}}{u \over v}}={\frac {{u' \over v}+{\frac {uv'}{v^{2}}}}{u \over v}}$ ${\ displaystyle {\ frac {{u '\ over v} - {\ frac {uv'} {v ^ {2}}}} {u \ over v}} = {\ frac {{u '\ over v} + {\ frac {uv '} {v ^ {2}}}} {u \ over v}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {{u '\ over v} - {\ frac {uv'} {v ^ {2}}}} {u \ over v}} = {\ frac {{u '\ over v} + {\ frac {uv '} {v ^ {2}}}} {u \ over v}}}$
${\frac {u'v-{\frac {uv'}{v^{2}}}}{u \over v}}={\frac {{u' \over v}+{uv' \over v^{2}}}{u \over v}}$ ${\ displaystyle {\ frac {u'v - {\ frac {uv '} {v ^ {2}}}} {u \ over v}} = {\ frac {{u' \ over v} + {uv ' \ over v ^ {2}}} {u \ over v}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {u'v - {\ frac {uv '} {v ^ {2}}}} {u \ over v}} = {\ frac {{u' \ over v} + {uv ' \ over v ^ {2}}} {u \ over v}}}$
${\frac {{u' \over v}+{uv' \over v^{2}}}{u \over v}}={\frac {\frac {u'v-uv'}{v^{2}}}{u \over v}}$ ${\ displaystyle {\ frac {{u '\ over v} + {uv' \ over v ^ {2}}} {u \ over v}} = {\ frac {\ frac {u'v-uv '} { v ^ {2}}} {u \ over v}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {{u '\ over v} + {uv' \ over v ^ {2}}} {u \ over v}} = {\ frac {\ frac {u'v-uv '} { v ^ {2}}} {u \ over v}}}$
$\left({u \over v}\right)'={\frac {u'v-uv'}{v^{2}}}$ ${\ displaystyle \ left ({u \ over v} \ right) '= {\ frac {u'v-uv'} {v ^ {2}}}}$ ${\ displaystyle \ left ({u \ over v} \ right) '= {\ frac {u'v-uv'} {v ^ {2}}}}$

Puterile funcțiilor:

Dacă n este o constantă , $u^{n}=e^{n\ln {u}}$ ${\ displaystyle u ^ {n} = e ^ {n \ ln {u}}}$ ${\ displaystyle u ^ {n} = e ^ {n \ ln {u}}}$
$(n\ln {u})'=n\left({u' \over u}\right)$ ${\ displaystyle (n \ ln {u}) '= n \ left ({u' \ over u} \ right)}$ ${\ displaystyle (n \ ln {u}) '= n \ left ({u' \ over u} \ right)}$
$n\left({u' \over u}\right)=n{\frac {u^{n-1}}{u^{n}}}$ ${\ displaystyle n \ left ({u '\ over u} \ right) = n {\ frac {u ^ {n-1}} {u ^ {n}}}}$ ${\ displaystyle n \ left ({u '\ over u} \ right) = n {\ frac {u ^ {n-1}} {u ^ {n}}}}$
$\left(u^{n}\right)'=n(u^{n-1})u'$ ${\ displaystyle \ left (u ^ {n} \ right) '= n (u ^ {n-1}) u'}$ ${\ displaystyle \ left (u ^ {n} \ right) '= n (u ^ {n-1}) u'}$

Factori integratori

Atenția acordată derivatei logaritmice a început cu specificarea metodei factorului de integrare pentru soluția ecuațiilor diferențiale de ordinul întâi . Cu notația operatorului scriem

D={d \over dx}

{\ displaystyle D = {d \ over dx}}

{\ displaystyle D = {d \ over dx}}

și notăm M operatorul de multiplicare pentru o funcție dată G ( x ). Operatorul

M^{-1}DM

{\ displaystyle M ^ {- 1} DM}

{\ displaystyle M ^ {- 1} DM}

pentru regula produsului puteți scrie

D+M*,

{\ displaystyle D + M *,}

{\ displaystyle D + M *,}

unde este $M*$ ${\ displaystyle M *}$ ${\ displaystyle M *}$ denotă operatorul de multiplicare prin derivata logaritmică a funcției

{G' \over G}.

{\ displaystyle {G '\ peste G}.}

{\ displaystyle {G '\ peste G}.}

În practică, având un operator al formularului

D+F=L

{\ displaystyle D + F = L}

{\ displaystyle D + F = L}

și trebuind să rezolve o ecuație a formei

L(h)=f

{\ displaystyle L (h) = f}

{\ displaystyle L (h) = f}

în funcția necunoscută $h$ ${\ displaystyle h}$ $h$ , rețineți $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ . Această problemă duce înapoi la soluția

{G' \over G}=F

{\ displaystyle {G '\ over G} = F}

{\ displaystyle {G '\ over G} = F}

care are soluții de formă

e^{\int {F}}

{\ displaystyle e ^ {\ int {F}}}

{\ displaystyle e ^ {\ int {F}}}

construit cu orice integrală nedefinită a $F.$ ${\ displaystyle F}$ $F.$ .

Analiza complexă

Formula dată poate fi aplicată mai mult. De exemplu, dacă f (z) este o funcție meromorfă , are sens să o aplicăm pentru toate valorile z- ale câmpului complex care nu sunt zerouri sau poli pentru f . Mai mult, comportamentul derivatului logaritmic într-un zero sau un pol este ușor obținut din caracteristicile particulare ale funcției.

Să luăm în considerare funcția

z ⁿ cu n întreg, altul decât 0.

Derivatul său logaritmic este

{n \over z}

{\ displaystyle {n \ over z}}

{\ displaystyle {n \ over z}}

și putem ajunge la concluzia generală că pentru o funcție meromorfă generică toate singularitățile derivatei logaritmice sunt poli simpli cu reziduul n corespunzător zero-urilor de ordinul n al lui f și cu reziduul - n în corespondență cu fiecare pol de ordinul n (vezi principiul argumentării ). Aceste considerații sunt adesea folosite pentru a evalua integralele de graniță .

Funcții speciale

Derivatul logatitmic este utilizat pentru a introduce diverse funcții spațiale interesante. În special, permite definirea funcției digamma .

Grup multiplicativ de reali

Utilitatea derivatei logaritmice se bazează pe două proprietăți de bază ale GL ₁ , grupul multiplicativ al numerelor reale sau un alt câmp . Operatorul diferențial

X^{-1}{d \over dX}

{\ displaystyle X ^ {- 1} {d \ over dX}}

{\ displaystyle X ^ {- 1} {d \ over dX}}

Este invariant pentru traversarea grupului, adică pentru înlocuirea lui X cu aX fiind o constantă. În consecință, forma diferențială este, de asemenea, invariantă

{dX \over X}.

{\ displaystyle {dX \ over X}.}

{\ displaystyle {dX \ over X}.}

Pentru funcțiile F cu valoare GL ₁ , aplicația

{dF \over F}

{\ displaystyle {dF \ peste F}}

{\ displaystyle {dF \ peste F}}

este deci o transformare pull-back a unei forme invariante.

Elemente conexe

Inflația , este derivatul logaritmic al prețului coșului în raport cu timpul.

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică

V · D · M Analiza matematică
Calcul infinitesimal	Număr real · infinitesimal · O mare · Succesiune ( de funcții ) · Succesiunea lui Cauchy · teorema Bolzano-Weierstrass · estimare asimptotică · Limită ( o funcție · o succesiune · formă nedeterminată ) · Teorema a doi polițiști · Limită considerabilă · punct de acumulare · punct izolat · În jurul valorii · Serie ( funcție ) · criterii de convergență · limită a funcțiilor multivariate
Studiul continuității	Funcție Continuu · Punct de discontinuitate · uniform continuitate · Lipschitz Function · Bolzano Teorema · Weierstrass Teorema · Teorema valorilor intermediare · Heine-Cantor teorema · Modul continuitate · Functia semicontinuă · separa continuitate ·Piatra-Weierstrass Teorema
Calcul diferențial	Derivată · Differential · reguli de derivare · Fermat Teorema · teorema lui Rolle · Lagrange Teorema · Cauchy Teorema · Teorema lui Darboux · teorema lui Taylor · serie Taylor · functia diferențiabilă · Gradient · Jacobian · Hessiană · formă Differential · Generalizari de derivate · derivat parțial · derivat amestecat
Grâu integral	Primitive · Riemann integral · improprie Integral · Lebesgue Integral · Teorema fundamentala · Integrare Metode · Tabele · Integral multiple , linie ( 1ª specii · 2ª specii ) și suprafața ( volum )
Studiul funcției	Funcție · Variabilă · domeniul si · funcții par și impar · Funcția periodică · Funcția monotonă · funcției convexe · maxim și minim al unei funcții · unghiulară Punct · cuspid · punct de inflexiune · Asymptote · graficul unei funcții · injecție Funcție
Inegalități	Inegalitate triunghiulară · Inegalitate Cauchy-Schwarz · Bernoulli · Jensen · Hölder · Young · Minkowski
Alte	Apropierea Stirling · produs Wallis · Funcție Domeniu · Implicite funcție teorema · Teorema funcției inverse · Portduză cu funcții · Metric spațiu · normata spațiu · gama · Împreună neglijabile · închis Împreună · Împreună deschis · Ball · homeomorphism · homeomorphism locale · Difeomorfism · Locale Diffeomorfism · Clasa C a unei funcții · Ecuație diferențială · Problemă Cauchy