Spațiu măsurabil

În matematică , un spațiu măsurabil este o structură abstractă care stă la baza multor idei și noțiuni de analiză , în special în teoria măsurătorilor , cum ar fi cele ale funcției măsurabile, măsurabile împreună , măsură , sistem integral , dinamic . ^[1] Spațiile măsurabile au făcut obiectul matematicii încă din secolul al XIX-lea , când a început un studiu sistematic al obiectelor matematice legate de ideea de integral. Cu toate acestea, abia la începutul secolului al XX-lea se conturează teoria actuală a măsurii și, în consecință, noțiunea abstractă de spațiu măsurabil. ^[2]

În plus față de interesul în sine, spațiile măsurabile sunt interesante prin faptul că este posibil să se construiască structuri mai complexe din ele. Acest lucru se întâmplă, de exemplu, pentru structurile importante ale spațiului de măsurare , spațiul de probabilitate și sistemul dinamic . Mai mult, noțiunile de set măsurabil și funcție măsurabilă se bazează pe conceptul de spațiu măsurabil.

Definiție

Un spațiu măsurabil este o pereche $(\Omega ,{\mathfrak {F}})$ ${\ displaystyle (\ Omega, {\ mathfrak {F}})}$ $(\ Omega, {\ mathfrak {F}})$ format dintr-un set ne-gol $\Omega$ ${\ displaystyle \ Omega}$ $\Omega$ și o σ-algebră ${\mathfrak {F}}$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {F}}}$ ${\ mathfrak {F}}$ pe $\Omega$ ${\ displaystyle \ Omega}$ $\Omega$ . Elementele ${\mathfrak {F}}$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {F}}}$ ${\ mathfrak {F}}$ se numesc seturi măsurabile de $\Omega$ ${\ displaystyle \ Omega}$ $\Omega$ . ^[3] În practică σ-algebra ${\mathfrak {F}}$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {F}}}$ ${\ mathfrak {F}}$ vă permite să vă asociați cu subseturi de $\Omega$ ${\ displaystyle \ Omega}$ $\Omega$ (nu neapărat toate) o măsură (lungime, volum, probabilitate etc.) și spațiul măsurabil este ansamblul unor astfel de sub spații ale măsurii atribuite.

Alegerea unei măsuri pentru asocierea cu aceste sub spații produce un spațiu de măsurare .

Spațiile măsurabile formează o categorie , ale cărei morfisme sunt funcții măsurabile .

Întregul $\Omega$ ${\ displaystyle \ Omega}$ $\Omega$ este uneori numit spațiu eșantion , în special în aplicații statistice și de probabilitate .

Construirea de spații măsurabile

Spații boreliene

Algebra Borel .

Având o familie ${\mathfrak {G}}$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {G}}}$ ${\ mathfrak {G}}$ de subseturi de $\Omega$ ${\ displaystyle \ Omega}$ $\Omega$ , σ-algebra este bine definită $\sigma ({\mathfrak {G}})$ ${\ displaystyle \ sigma ({\ mathfrak {G}})}$ $\ sigma ({\ mathfrak {G}})$ generat de ${\mathfrak {G}}$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {G}}}$ ${\ mathfrak {G}}$ . Având în vedere un spațiu topologic $(\Omega ,{\mathcal {\mathrm {T} }})$ ${\ displaystyle (\ Omega, {\ mathcal {\ mathrm {T}}})}$ $(\ Omega, {\ mathcal {\ mathrm {T}}})$ este posibil să construim un spațiu măsurabil $(\Omega ,{\mathfrak {F}})$ ${\ displaystyle (\ Omega, {\ mathfrak {F}})}$ $(\ Omega, {\ mathfrak {F}})$ , pur și simplu prin plasare ${\mathfrak {F}}=\sigma ({\mathcal {\mathrm {T} }})$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {F}} = \ sigma ({\ mathcal {\ mathrm {T}}})}$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {F}} = \ sigma ({\ mathcal {\ mathrm {T}}})}$ , σ-algebra generată de ${\mathcal {\mathrm {T} }}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {\ mathrm {T}}}}$ ${\ mathcal {\ mathrm {T}}}$ . Spațiile măsurabile de acest tip, adică cele generate de o topologie, se numesc spații boreliene . ^[4]

O observație simplă care clarifică legătura dintre structura topologică și cea a măsurabilității acestor spații este următoarea: ^[5] sunt $(\Omega ,{\mathcal {\mathrm {T} }}),\,(\Psi ,\Upsilon )$ ${\ displaystyle (\ Omega, {\ mathcal {\ mathrm {T}}}), \, (\ Psi, \ Upsilon)}$ ${\ displaystyle (\ Omega, {\ mathcal {\ mathrm {T}}}), \, (\ Psi, \ Upsilon)}$ două spații topologice, e $(\Omega ,{\mathfrak {F}}),\,(\Psi ,{\mathfrak {G}})$ ${\ displaystyle (\ Omega, {\ mathfrak {F}}), \, (\ Psi, {\ mathfrak {G}})}$ ${\ displaystyle (\ Omega, {\ mathfrak {F}}), \, (\ Psi, {\ mathfrak {G}})}$ spațiile boreliene aferente. Dacă o cerere $f:\Omega \mapsto \Psi$ ${\ displaystyle f: \ Omega \ mapsto \ Psi}$ $f: \ Omega \ mapsto \ Psi$ este continuu (cu privire la ${\mathcal {\mathrm {T} }},\,\Upsilon$ ${\ displaystyle {\ mathcal {\ mathrm {T}}}, \, \ Upsilon}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {\ mathrm {T}}}, \, \ Upsilon}$ ), atunci este măsurabilă (în ceea ce privește ${\mathfrak {F}},\,{\mathfrak {G}}$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {F}}, \, {\ mathfrak {G}}}$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {F}}, \, {\ mathfrak {G}}}$ ).

Spații cu măsurabilitate indusă de funcție

Lasa-i sa fie $(\Psi ,{\mathfrak {G}})$ ${\ displaystyle (\ Psi, {\ mathfrak {G}})}$ $(\ Psi, {\ mathfrak {G}})$ un spațiu măsurabil, $\Omega$ ${\ displaystyle \ Omega}$ $\Omega$ un set ne-gol, ed $f:\Omega \mapsto \Psi$ ${\ displaystyle f: \ Omega \ mapsto \ Psi}$ $f: \ Omega \ mapsto \ Psi$ o aplicație arbitrară din $\Omega$ ${\ displaystyle \ Omega}$ $\Omega$ la $\Psi$ ${\ displaystyle \ Psi}$ $\ Psi$ . Poate fi definit pe $\Omega$ ${\ displaystyle \ Omega}$ $\Omega$ o structură a spațiului măsurabil, prin construirea σ-algebrei ${\mathfrak {F}}$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {F}}}$ ${\ mathfrak {F}}$ ca cea mai mică σ-algebră cu privire la care $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ să fie măsurabile . ^[6] Structura spațiului $(\Omega ,{\mathfrak {F}})$ ${\ displaystyle (\ Omega, {\ mathfrak {F}})}$ $(\ Omega, {\ mathfrak {F}})$ se spune că este indus de $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ pe $\Omega$ ${\ displaystyle \ Omega}$ $\Omega$ . O caracterizare importantă a ${\mathfrak {F}}$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {F}}}$ ${\ mathfrak {F}}$ este următorul:

{\mathfrak {F}}=\left\{E\subset \Omega \ :\ \exists F\in {\mathfrak {G}},E=f^{-1}(F)\right\}

{\ displaystyle {\ mathfrak {F}} = \ left \ {E \ subset \ Omega \: \ \ există F \ în {\ mathfrak {G}}, E = f ^ {- 1} (F) \ right \ }}

{\ displaystyle {\ mathfrak {F}} = \ left \ {E \ subset \ Omega \: \ \ există F \ în {\ mathfrak {G}}, E = f ^ {- 1} (F) \ right \ }}

Practic, ${\mathfrak {F}}$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {F}}}$ ${\ mathfrak {F}}$ este σ-algebră ale cărei elemente sunt imaginile contra (față de $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ ) de elemente ale ${\mathfrak {G}}$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {G}}}$ ${\ mathfrak {G}}$ .

Mai general, dacă ${\mathcal {I}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {I}}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {I}}}$ este o familie (finită sau neterminată) de funcții din $\Omega$ ${\ displaystyle \ Omega}$ $\Omega$ la $\Psi$ ${\ displaystyle \ Psi}$ $\ Psi$ , poate fi definit pe $\Omega$ ${\ displaystyle \ Omega}$ $\Omega$ σ-algebra ${\mathfrak {F}}$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {F}}}$ ${\ mathfrak {F}}$ ca cea mai mică σ-algebră care redă toate funcțiile în ${\mathcal {I}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {I}}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {I}}}$ măsurabile.

Spații de produs

De sine $(\Omega _{1},{\mathfrak {F}}_{1})$ ${\ displaystyle (\ Omega _ {1}, {\ mathfrak {F}} _ {1})}$ ${\ displaystyle (\ Omega _ {1}, {\ mathfrak {F}} _ {1})}$ Și $(\Omega _{2},{\mathfrak {F}}_{2})$ ${\ displaystyle (\ Omega _ {2}, {\ mathfrak {F}} _ {2})}$ ${\ displaystyle (\ Omega _ {2}, {\ mathfrak {F}} _ {2})}$ sunt două spații măsurabile, putem defini o structură a spațiului măsurabil pe produsul cartezian $\Omega :=\Omega _{1}\times \Omega _{2}$ ${\ displaystyle \ Omega: = \ Omega _ {1} \ times \ Omega _ {2}}$ ${\ displaystyle \ Omega: = \ Omega _ {1} \ times \ Omega _ {2}}$ , echiparea $\Omega$ ${\ displaystyle \ Omega}$ ${\ displaystyle \ Omega}$ cu o σ-algebră adecvată ${\mathfrak {F}}$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {F}}}$ ${\ mathfrak {F}}$ , dintre care două caracterizări sunt date mai jos.

Lasa-i sa fie $\pi _{1},\pi _{2}$ ${\ displaystyle \ pi _ {1}, \ pi _ {2}}$ ${\ displaystyle \ pi _ {1}, \ pi _ {2}}$ proiecțiile canonice $\pi _{i}:\Omega \mapsto \Omega _{i}$ ${\ displaystyle \ pi _ {i}: \ Omega \ mapsto \ Omega _ {i}}$ ${\ displaystyle \ pi _ {i}: \ Omega \ mapsto \ Omega _ {i}}$ (de exemplu, de exemplu $\pi _{1}((\omega _{1},\omega _{2}))=\omega _{1}$ ${\ displaystyle \ pi _ {1} ((\ omega _ {1}, \ omega _ {2})) = \ omega _ {1}}$ ${\ displaystyle \ pi _ {1} ((\ omega _ {1}, \ omega _ {2})) = \ omega _ {1}}$ ). Apoi poate fi definit ${\mathfrak {F}}$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {F}}}$ ${\ mathfrak {F}}$ ca cea mai mică σ-algebră cu privire la care ambele $\pi _{1},\pi _{2}$ ${\ displaystyle \ pi _ {1}, \ pi _ {2}}$ ${\ displaystyle \ pi _ {1}, \ pi _ {2}}$ sunt măsurabile. Rețineți analogia dintre această definiție și cea a topologiei produsului .
Luați în considerare familia de subseturi de $\Omega$ ${\ displaystyle \ Omega}$ $\Omega$ constând din subseturi care sunt produsul cartezian al unui element de ${\mathfrak {F}}_{1}$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {F}} _ {1}}$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {F}} _ {1}}$ pentru un element de ${\mathfrak {F}}_{2}$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {F}} _ {2}}$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {F}} _ {2}}$ , adică apare ${\mathfrak {G}}:=E\times F$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {G}}: = E \ times F}$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {G}}: = E \ times F}$ cu $E\in {\mathfrak {F}}_{1}$ ${\ displaystyle E \ in {\ mathfrak {F}} _ {1}}$ ${\ displaystyle E \ in {\ mathfrak {F}} _ {1}}$ Și $F\in {\mathfrak {F}}_{2}$ ${\ displaystyle F \ in {\ mathfrak {F}} _ {2}}$ ${\ displaystyle F \ in {\ mathfrak {F}} _ {2}}$ .

În general,

{\mathfrak {G}}

{\ displaystyle {\ mathfrak {G}}}

{\ mathfrak {G}}

nu va fi o σ-algebră (nici o algebră ). De fapt unirea a două seturi de

{\mathfrak {G}}

{\ displaystyle {\ mathfrak {G}}}

{\ mathfrak {G}}

nu va fi neapărat un set de

{\mathfrak {G}}

{\ displaystyle {\ mathfrak {G}}}

{\ mathfrak {G}}

și, prin urmare, această familie nu este stabilă pentru uniuni (rețineți totuși că este stabilă pentru intersecție, adică este un sistem π ). Poate fi apoi pus

{\mathfrak {F}}:=\sigma ({\mathfrak {G}})

{\ displaystyle {\ mathfrak {F}}: = \ sigma ({\ mathfrak {G}})}

{\ displaystyle {\ mathfrak {F}}: = \ sigma ({\ mathfrak {G}})}

(care, prin definiție, este o σ-algebră. ^[7] ).

Nu este dificil să verificăm dacă cele două caracterizări date coincid; spațiul măsurabil $(\Omega ,{\mathfrak {F}})$ ${\ displaystyle (\ Omega, {\ mathfrak {F}})}$ $(\ Omega, {\ mathfrak {F}})$ construit în acest fel, ia numele de spațiu măsurabil produs .

Mai general, este posibil să se construiască orice familie de spații măsurabile pe produsul cartezian. Este $\{\Omega _{\alpha },{\mathfrak {F}}_{\alpha }\}_{\alpha \in {\mathcal {A}}}$ ${\ displaystyle \ {\ Omega _ {\ alpha}, {\ mathfrak {F}} _ {\ alpha} \} _ {\ alpha \ în {\ mathcal {A}}}}$ ${\ displaystyle \ {\ Omega _ {\ alpha}, {\ mathfrak {F}} _ {\ alpha} \} _ {\ alpha \ în {\ mathcal {A}}}}$ orice familie (finită sau infinită) de spații măsurabile și fie:

\Omega =\prod _{\alpha \in {\mathcal {A}}}\Omega _{\alpha }

{\ displaystyle \ Omega = \ prod _ {\ alpha \ in {\ mathcal {A}}} \ Omega _ {\ alpha}}

{\ displaystyle \ Omega = \ prod _ {\ alpha \ in {\ mathcal {A}}} \ Omega _ {\ alpha}}

Prima caracterizare se extinde cu ușurință în acest caz: va fi suficient să o definim ${\mathfrak {F}}$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {F}}}$ ${\ mathfrak {F}}$ ca cea mai mică σ-algebră cu privire la care toate proiecțiile canonice $\pi _{\alpha }$ ${\ displaystyle \ pi _ {\ alpha}}$ ${\ displaystyle \ pi _ {\ alpha}}$ sunt continue. A doua caracterizare este puțin mai complexă. De fapt, va trebui pus ${\mathcal {F}}=\sigma ({\mathfrak {G}})$ ${\ displaystyle {\ mathcal {F}} = \ sigma ({\ mathfrak {G}})}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {F}} = \ sigma ({\ mathfrak {G}})}$ , unde este ${\mathfrak {G}}$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {G}}}$ ${\ mathfrak {G}}$ este acum definit ca:

{\mathfrak {G}}:=\left\{E\subset \Omega \ :\ E=\prod _{\alpha \in {\mathcal {A}}}E_{\alpha }\,;\ E_{\alpha }\subset \Omega _{\alpha }\,;\ E_{\alpha }\neq \Omega _{\alpha }\,{\mbox{solo per un numero finito di}}\,\alpha \right\}

{\ displaystyle {\ mathfrak {G}}: = \ left \ {E \ subset \ Omega \: \ E = \ prod _ {\ alpha \ in {\ mathcal {A}}} E _ {\ alpha} \, ; \ E _ {\ alpha} \ subset \ Omega _ {\ alpha} \ ,; \ E _ {\ alpha} \ neq \ Omega _ {\ alpha} \, {\ mbox {numai pentru un număr finit de}} \, \ alpha \ right \}}

{\ displaystyle {\ mathfrak {G}}: = \ left \ {E \ subset \ Omega \: \ E = \ prod _ {\ alpha \ in {\ mathcal {A}}} E _ {\ alpha} \, ; \ E _ {\ alpha} \ subset \ Omega _ {\ alpha} \ ,; \ E _ {\ alpha} \ neq \ Omega _ {\ alpha} \, {\ mbox {numai pentru un număr finit de}} \, \ alpha \ right \}}

Rețineți că pentru orice eventualitate $\Omega _{1},\Omega _{2}$ ${\ displaystyle \ Omega _ {1}, \ Omega _ {2}}$ ${\ displaystyle \ Omega _ {1}, \ Omega _ {2}}$ sunt două spații boreliene, pe spațiul produs se pot construi două algebre σ diferite $\Omega =\Omega _{1}\times \Omega _{2}$ ${\ displaystyle \ Omega = \ Omega _ {1} \ times \ Omega _ {2}}$ ${\ displaystyle \ Omega = \ Omega _ {1} \ times \ Omega _ {2}}$ . Una este cea care tocmai a fost descrisă, în timp ce cealaltă este σ-algebra boreliană generată de topologia produsului. Se pare că această a doua σ-algebră conține întotdeauna prima și că acestea coincid dacă topologiile lui $\Omega _{1}$ ${\ displaystyle \ Omega _ {1}}$ ${\ displaystyle \ Omega _ {1}}$ , $\Omega _{2}$ ${\ displaystyle \ Omega _ {2}}$ ${\ displaystyle \ Omega _ {2}}$ satisface prima axiomă a numărabilității . Prin urmare, în acest caz, putem spune că spațiul produs de două spații boreliene este borelian .

Noțiunea de spațiu produs este foarte importantă pentru teoria măsurătorilor, deoarece oferă caracterizări pentru integrale multiple și în teoria probabilității, deoarece permite construirea în mod explicit a variabilelor aleatoare independente.

Exemple

Orice set ne-gol cu σ-algebră minimă ${\mathfrak {F}}_{0}:=\{\emptyset ,\Omega \}$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {F}} _ {0}: = \ {\ emptyset, \ Omega \}}$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {F}} _ {0}: = \ {\ emptyset, \ Omega \}}$ sau a algebrei σ a setului său de părți ${\mathfrak {F}}_{\mathcal {P}}:=\mathbf {2} ^{\Omega }$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {F}} _ {\ mathcal {P}}: = \ mathbf {2} ^ {\ Omega}}$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {F}} _ {\ mathcal {P}}: = \ mathbf {2} ^ {\ Omega}}$ este un spațiu măsurabil.
În unele cazuri, există σ-algebre mai interesante și, prin urmare, spații mai măsurabile, definibile pe același set $\Omega$ ${\ displaystyle \ Omega}$ $\Omega$ . Acesta este de exemplu cazul liniei reale $\mathbb {R}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R}}$ $\ mathbb {R}$ (sau mai general de $\mathbb {R} ^{n}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$ $\ mathbb {R} ^ {n}$ ), în care sunt adesea luate în considerare algebrele lui Borel (vezi mai sus) și ale lui Lebesgue . Primul este utilizat în general atunci când se studiază funcții măsurabile, de exemplu, lema de măsurabilitate anterioară a funcțiilor continue este utilă în acest context. Al doilea este o σ-algebră mult mai largă decât aceasta și este interesant în întrebările referitoare la măsuri și seturi măsurabile (de fapt, este completarea σ-algebrei lui Borel față de măsura Lebesgue ); cu toate acestea, această σ-algebră este destul de incomodă pentru a defini funcții măsurabile: se dovedește că nici măcar funcțiile continue din $\mathbb {R}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R}}$ $\ mathbb {R}$ în $\mathbb {R}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R}}$ $\ mathbb {R}$ sunt măsurabile în raport cu σ-algebra lui Lebesgue.

Notă

^ Pentru o introducere în ideile teoriei măsurilor și aplicațiile acestora, a se vedea Billingsley Probabilitate și măsură . O prezentare generală, dar mai abstractă, este dată și în Cohn, The Measure Theory . Un text introductiv clasic este Teoria măsurării Halmos.
^ O scurtă relatare a dezvoltării istorice a teoriei măsurii și integrării se găsește în Boyer History of Mathematics , cap. 28.
^ W. Rudin , Pagina 8 .
^ Aveți grijă să nu confundați spațiile boreliene cu spațiile boreliene standard . Acestea din urmă sunt spații boreliene în sensul discutat mai jos, dar cu ipoteza suplimentară că Ω are o structură spațială poloneză . Spațiile boreliene standard prezintă un interes considerabil, dar sunt tratate în această intrare doar ca spații boreliene generale.
^ Pentru o demonstrație scurtă și elementară a acestui rezultat, a se vedea Teoria măsurării Halmos, p. 102-107.
^ Rețineți că conceptul celei mai mici σ-algebre este bine definit, deoarece dacă o funcție este măsurabilă în raport cu toate elementele unei familii de σ-algebre, este de asemenea măsurabilă în raport cu intersecția lor (care este încă o σ -algebră).
^ Având în vedere o familie de subseturi de Ω, σ-algebra generată de acesta este bine definită. .

Bibliografie

( EN ) Walter Rudin, Analiză reală și complexă , Mladinska Knjiga, McGraw-Hill, 1970, ISBN 0-07-054234-1 .
( EN ) Patrick Billingsley, Probabilitate și măsură , ediția a III-a, New York, John Wiley & Sons , 1995, ISBN 0-471-00710-2 , ..
( EN ) Carl B. Boyer, History of Mathematics , ediția a II-a, New York, John Wiley & Sons , 1989, ISBN 0-471-54397-7 .
(EN) Donald L. Cohn, The Measure Theory, Boston, Birkhäuser, 1980 ISBN 0-8493-7157-0 .
( EN ) Paul R. Halmos , The Measure Theory , New York, Springer-Verlag, 1974, ISBN 0-387-90088-8 .
(EN) Eric M. Verstrup, Theory of Measures and Integration, Hoboken, John Wiley & Sons , 2003, ISBN 0-471-24977-7 .
( EN ) Antoni Zygmund, Richard L. Wheeden, Measure and Integral. An Introduction to Real Analysis , New York - Basel, Marcel Dekker, Inc., 1977, ISBN 0-8247-6499-4 .

Elemente conexe

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică

[1] Pentru o introducere în ideile teoriei măsurilor și aplicațiile acestora, a se vedea Billingsley Probabilitate și măsură . O prezentare generală, dar mai abstractă, este dată și în Cohn, The Measure Theory . Un text introductiv clasic este Teoria măsurării Halmos.

[2] O scurtă relatare a dezvoltării istorice a teoriei măsurii și integrării se găsește în Boyer History of Mathematics , cap. 28.

[def-3] W. Rudin , Pagina 8 .

[4] Aveți grijă să nu confundați spațiile boreliene cu spațiile boreliene standard . Acestea din urmă sunt spații boreliene în sensul discutat mai jos, dar cu ipoteza suplimentară că Ω are o structură spațială poloneză . Spațiile boreliene standard prezintă un interes considerabil, dar sunt tratate în această intrare doar ca spații boreliene generale.

[5] Pentru o demonstrație scurtă și elementară a acestui rezultat, a se vedea Teoria măsurării Halmos, p. 102-107.

[6] Rețineți că conceptul celei mai mici σ-algebre este bine definit, deoarece dacă o funcție este măsurabilă în raport cu toate elementele unei familii de σ-algebre, este de asemenea măsurabilă în raport cu intersecția lor (care este încă o σ -algebră).

[7] Având în vedere o familie de subseturi de Ω, σ-algebra generată de acesta este bine definită. .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]