Singularitate izolată

În matematică și mai precis în analiza complexă , o singularitate izolată este un punct în care o funcție holomorfă nu este definită în timp ce este definită în orice alt punct din apropiere. Funcția olomorfă poate avea , în esență , trei tipuri de comportamente diferite la punct, și în funcție de comportamentul singularitatii este numit eliminabili, pol sau esențiale.

Definiție

Este $z_{0}$ ${\ displaystyle z_ {0}}$ $z_ {0}$ un punct cuprins într-un set deschis $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ a planului complex . O funcție

f:A\setminus \{z_{0}\}\to \mathbb {C}

{\ displaystyle f: A \ setminus \ {z_ {0} \} \ to \ mathbb {C}}

f: A \ setminus \ {z_ {0} \} \ to {\ mathbb C}

are o singularitate izolată în $z_{0}$ ${\ displaystyle z_ {0}}$ $z_ {0}$ dacă există un cartier $U$ ${\ displaystyle U}$ $U$ din $z_{0}$ ${\ displaystyle z_ {0}}$ $z_ {0}$ deci funcția este holomorfă în $U\setminus \{z_{0}\}$ ${\ displaystyle U \ setminus \ {z_ {0} \}}$ $U \ setminus \ {z_ {0} \}$ . Deci funcția nu este definită în $z_{0}$ ${\ displaystyle z_ {0}}$ $z_ {0}$ , în timp ce în orice alt punct suficient de apropiat este definit și diferențiat într-un sens complex.

Dezvoltarea seriei de Laurent

Functia $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ admite o dezvoltare ca seria lui Laurent în acest sens $z_{0}$ ${\ displaystyle z_ {0}}$ $z_ {0}$ . Prin urmare, funcția poate fi scrisă într-un cartier al punctului ca serie

f(z)=\sum _{n=-\infty }^{+\infty }a_{n}(z-z_{0})^{n}.

{\ displaystyle f (z) = \ sum _ {n = - \ infty} ^ {+ \ infty} a_ {n} (z-z_ {0}) ^ {n}.}

f (z) = \ sum _ {{n = - \ infty}} ^ {{+ \ infty}} a_ {n} (z-z_ {0}) ^ {n}.

Există, în general, trei tipuri de comportament al $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ aproape de punctul de singularitate $z_{0}$ ${\ displaystyle z_ {0}}$ $z_0$ . Fiecare dintre acestea este determinată de dezvoltarea seriei locale a lui Laurent sau de comportamentul modulului $|f(z)|$ ${\ displaystyle | f (z) |}$ $| f (z) |$ aproape de subiect.

Rețineți că tipologia singularității nu este determinată în mod unic de seria locală Laurent, dacă are o rază de convergență pozitivă.

Singularitate eliminabilă

Singularitatea $z_{0}$ ${\ displaystyle z_ {0}}$ $z_0$ poate fi eliminat dacă există limita

\lim _{z\to z_{0}}f(z)=L\in \mathbb {C} .

{\ displaystyle \ lim _ {z \ to z_ {0}} f (z) = L \ in \ mathbb {C}.}

{\ displaystyle \ lim _ {z \ to z_ {0}} f (z) = L \ in \ mathbb {C}.}

Următoarele condiții sunt echivalente cu aceasta:

Termenii negativi ai seriei lui Laurent sunt nuli, adică $a_{n}=0$ ${\ displaystyle a_ {n} = 0}$ $a_ {n} = 0$ pentru fiecare $n<0$ ${\ displaystyle n <0}$ $n <0$ .
Modulul $|f(z)|$ ${\ displaystyle | f (z) |}$ $| f (z) |$ este limitat într-un cartier al $z_{0}$ ${\ displaystyle z_ {0}}$ $z_ {0}$ ,
Funcția se extinde la o funcție continuă pe orice $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ ,
Funcția se extinde la o funcție holomorfă peste tot $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ .

Exemplu: funcția $f(z)={\frac {\sin(z)}{z}}$ ${\ displaystyle f (z) = {\ frac {\ sin (z)} {z}}}$ $f (z) = {\ frac {\ sin (z)} {z}}$ are o singularitate care poate fi eliminată în $z=0$ ${\ displaystyle z = 0}$ $z = 0$ .

maiou Polo

Același subiect în detaliu: Polo (analiză complexă) .

Singularitatea $z_{0}$ ${\ displaystyle z_ {0}}$ $z_0$ este un pol dacă există un număr întreg pozitiv $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ astfel încât limita să existe

\lim _{z\to z_{0}}(z-z_{0})^{n}\cdot f(z)=L\in \mathbb {C} ,

{\ displaystyle \ lim _ {z \ to z_ {0}} (z-z_ {0}) ^ {n} \ cdot f (z) = L \ in \ mathbb {C},}

{\ displaystyle \ lim _ {z \ to z_ {0}} (z-z_ {0}) ^ {n} \ cdot f (z) = L \ in \ mathbb {C},}

cu $L\neq 0$ ${\ displaystyle L \ neq 0}$ $L \ neq 0$ . Numarul $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ este ordinea sau multiplicitatea polului. Un pol de ordinul 1 se numește simplu .

Următoarele condiții sunt echivalente cu aceasta:

Există doar un număr finit (diferit de zero) de termeni negativi diferiți de zero în seria Laurent. Adică există $n<0$ ${\ displaystyle n <0}$ $n <0$ astfel încât $a_{n}\neq 0$ ${\ displaystyle a_ {n} \ neq 0}$ $a_ {n} \ neq 0$ Și $a_{k}=0$ ${\ displaystyle a_ {k} = 0}$ $a_ {k} = 0$ pentru fiecare $k<n$ ${\ displaystyle k <n}$ $k <n$ .
Modulul $|f(z)|$ ${\ displaystyle | f (z) |}$ $| f (z) |$ Tinde să $+\infty$ ${\ displaystyle + \ infty}$ $+ \ infty$ de sine $z$ ${\ displaystyle z}$ $z$ Tinde să $z_{0}$ ${\ displaystyle z_ {0}}$ $z_0$ .
Functia $g(z)=1/f(z)$ ${\ displaystyle g (z) = 1 / f (z)}$ $g (z) = 1 / f (z)$ este definit într-un cartier al $z_{0}$ ${\ displaystyle z_ {0}}$ $z_0$ și are o singularitate de unică folosință în $z_{0}$ ${\ displaystyle z_ {0}}$ $z_ {0}$ .

Exemplu: funcția $f(z)={\frac {1}{(z-1)^{2}}}$ ${\ displaystyle f (z) = {\ frac {1} {(z-1) ^ {2}}}}$ $f (z) = {\ frac {1} {(z-1) ^ {2}}}$ are un pol de ordinul 2 ( $n=2$ ${\ displaystyle n = 2}$ $n = 2$ ), numit și dublu pol, în $z=1$ ${\ displaystyle z = 1}$ $z = 1$ .

Singularitate esențială

O singularitate esențială este o singularitate care nu intră sub cazurile precedente, adică care nu este nici o singularitate eliminabilă, nici un pol. Următoarele condiții sunt echivalente cu aceasta:

Există un număr infinit de termeni negativi diferiți de zero în seria lui Laurent. Adică pentru fiecare $n_{0}<0$ ${\ displaystyle n_ {0} <0}$ $n_ {0} <0$ este un $n<n_{0}$ ${\ displaystyle n <n_ {0}}$ $n <n_ {0}$ cu $a_{n}\neq 0$ ${\ displaystyle a_ {n} \ neq 0}$ $a_ {n} \ neq 0$ .
Modulul $|f(z)|$ ${\ displaystyle | f (z) |}$ $| f (z) |$ nu are limită pentru $z$ ${\ displaystyle z}$ $z$ tinde să $z_{0}$ ${\ displaystyle z_ {0}}$ $z_ {0}$

Exemplu: funcția $f(z)={\frac {e^{\frac {1}{z}}}{z^{3}}}$ ${\ displaystyle f (z) = {\ frac {e ^ {\ frac {1} {z}}} {z ^ {3}}}}$ ${\ displaystyle f (z) = {\ frac {e ^ {\ frac {1} {z}}} {z ^ {3}}}}$ prezintă o singularitate esențială în $z=0$ ${\ displaystyle z = 0}$ ${\ displaystyle z = 0}$ .

Exemple

Fiecare funcție

f(z)={\frac {p(z)}{q(z)}}

{\ displaystyle f (z) = {\ frac {p (z)} {q (z)}}}

f (z) = {\ frac {p (z)} {q (z)}}

scris ca un raport de două polinoame este definit în aer liber $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ obținută prin îndepărtarea din $\mathbb {C}$ ${\ displaystyle \ mathbb {C}}$ ${\ mathbb C}$ rădăcinile $z_{1},\ldots ,z_{k}$ ${\ displaystyle z_ {1}, \ ldots, z_ {k}}$ $z_ {1}, \ ldots, z_ {k}$ din $q$ ${\ displaystyle q}$ $q$ . Dacă acestea nu sunt și rădăcini ale $p$ ${\ displaystyle p}$ $p$ , în fiecare $z_{i}$ ${\ displaystyle z_ {i}}$ $z_ {i}$ funcția are un pol, al cărui ordin este egal cu multiplicitatea rădăcinii.

Functia

f(z)=e^{\frac {1}{z}}

{\ displaystyle f (z) = e ^ {\ frac {1} {z}}}

f (z) = e ^ {{\ frac 1z}}

definit pe $\mathbb {C} \setminus \{0\}$ ${\ displaystyle \ mathbb {C} \ setminus \ {0 \}}$ ${\ mathbb C} \ setminus \ {0 \}$ are o singularitate esențială în $0$ ${\ displaystyle 0}$ ${\ displaystyle 0}$ . Într-adevăr, dezvoltarea lui Laurent este

f(z)=\sum _{n=0}^{+\infty }{\frac {\,z^{-n}}{n!}}

{\ displaystyle f (z) = \ sum _ {n = 0} ^ {+ \ infty} {\ frac {\, z ^ {- n}} {n!}}}

f (z) = \ sum _ {{n = 0}} ^ {{+ \ infty}} {\ frac {\, z ^ {{- n}}} {n!}}

care are infiniti termeni negativi diferiți de zero.

De asemenea, faptul că $|f(z)|=|e^{\frac {1}{z}}|$ ${\ displaystyle | f (z) | = | e ^ {\ frac {1} {z}} |}$ ${\ displaystyle | f (z) | = | e ^ {\ frac {1} {z}} |}$ nu admite nici o limită (finită sau infinită) pentru $z$ ${\ displaystyle z}$ $z$ care tinde spre 0 este suficient pentru a demonstra esențialitatea singularității.

Proprietate

Traducerea seriei lui Laurent

Este $k$ ${\ displaystyle k}$ $k$ un număr întreg . Multiplicarea funcției $f(z)$ ${\ displaystyle f (z)}$ $f (z)$ pentru $(z-z_{0})^{k}$ ${\ displaystyle (z-z_ {0}) ^ {k}}$ $(z-z_ {0}) ^ {k}$ , coeficienții seriei Laurent centrate în $z_{0}$ ${\ displaystyle z_ {0}}$ $z_ {0}$ sunt traduse de $k$ ${\ displaystyle k}$ $k$ locuri (stânga sau dreapta în funcție de semnul $k$ ${\ displaystyle k}$ $k$ ). În acest fel, este posibil să se modifice ordinea unui pol, să se transforme fiecare pol într-o singularitate eliminabilă sau invers să se creeze poli pornind de la singularități eliminabile.

Dacă singularitatea este esențială, rămâne așa chiar și după multiplicarea cu $(z-z_{0})^{k}$ ${\ displaystyle (z-z_ {0}) ^ {k}}$ $(z-z_ {0}) ^ {k}$ .

Singularitate esențială

O funcție apropiată de o singularitate esențială este extrem de discontinuă. De teorema Casorati-Weierstrass , imaginea $f(U)$ ${\ displaystyle f (U)}$ $f (U)$ din fiecare cartier deschis $U$ ${\ displaystyle U}$ $U$ din $z_{0}$ ${\ displaystyle z_ {0}}$ $z_ {0}$ este o deschidere densă a planului complex. Teorema lui Picard afirmă mai multe: $f(U)$ ${\ displaystyle f (U)}$ $f (U)$ este întregul plan complex sau planul, cu excepția unui singur punct.

De aici rezultă, de exemplu, că pentru orice număr complex $\lambda$ ${\ displaystyle \ lambda}$ $\ lambda$ există o succesiune de puncte $z_{i}\to z_{0}$ ${\ displaystyle z_ {i} \ to z_ {0}}$ $z_ {i} \ to z_ {0}$ convergând către $z_{0}$ ${\ displaystyle z_ {0}}$ $z_0$ astfel încât $f(z_{i})\to \lambda$ ${\ displaystyle f (z_ {i}) \ to \ lambda}$ $f (z_ {i}) \ to \ lambda$ . Cu alte cuvinte, funcția din jur $z_{0}$ ${\ displaystyle z_ {0}}$ $z_ {0}$ „converge la orice”.

Singularitate la infinit

Pentru o funcție întreagă

f:\mathbb {C} \to \mathbb {C}

{\ displaystyle f: \ mathbb {C} \ to \ mathbb {C}}

f: {\ mathbb C} \ to {\ mathbb C}

(sau mai general o funcție holomorfă definită pe complementaritatea unui compact de $\mathbb {C}$ ${\ displaystyle \ mathbb {C}}$ ${\ mathbb C}$ ) se poate vorbi de singularitate la infinit . Aceasta este singularitatea funcției

g:\mathbb {C} \setminus \{0\}\to \mathbb {C}

{\ displaystyle g: \ mathbb {C} \ setminus \ {0 \} \ to \ mathbb {C}}

g: {\ mathbb C} \ setminus \ {0 \} \ to {\ mathbb C}

definit ca $g(z)=f(1/z)$ ${\ displaystyle g (z) = f (1 / z)}$ $g (z) = f (1 / z)$ . În special, singularitatea la infinit poate fi eliminabilă, un pol sau esențială. O singularitate a unei funcții poate fi studiată la infinit $f(z)$ ${\ displaystyle f (z)}$ $f (z)$ schimbarea variabilei:

z={\frac {1}{\eta }}

{\ displaystyle z = {\ frac {1} {\ eta}}}

z = {\ frac {1} {\ eta}}

atunci punctul la infinit devine originea și capătă tipul de singularitate al funcției $g(\eta )=f({\frac {1}{z}})$ ${\ displaystyle g (\ eta) = f ({\ frac {1} {z}})}$ $g (\ eta) = f ({\ frac {1} {z}})$ în sens $\eta =0$ ${\ displaystyle \ eta = 0}$ $\ vârstă = 0$ .