Procesul Wiener

O singură traiectorie a unui proces Wiener unidimensional

În matematică , un proces Wiener , cunoscut și sub denumirea de mișcare browniană , este un proces stochastic gaussian în timp continuu cu creșteri independente, utilizat pentru modelarea mișcării browniene în sine și a mai multor fenomene aleatorii observate în matematică aplicată, finanțe și fizică. Este unul dintre cele mai cunoscute procese Lévy .

Procesul Wiener joacă, de asemenea, un rol important în matematica pură, unde a dat naștere studiului martingalei în timp continuu, care sa dovedit a fi fundamental pentru descrierea și modelarea proceselor stocastice mai complexe. Pentru aceasta, acest tip de proces joacă un rol vital în calculul stocastic, procesele de difuzie și, de asemenea, în teoria potențială .

În matematica aplicată, procesul Wiener este utilizat pentru a reprezenta integralul zgomotului alb gaussian; și este foarte util ca model de zgomot în ingineria electronică , în teoria filtrelor și pentru reprezentarea intrărilor necunoscute în teoria controlului.

Definiție

Un proces Wiener $W_{t}$ ${\ displaystyle W_ {t}}$ $W_ {t}$ se caracterizează prin următoarele condiții:

Procesul începe de la 0, adică $W_{0}=0$ ${\ displaystyle W_ {0} = 0}$ $W _ {{0}} = 0$ aproape sigur ;
Traiectorii, sau mai bine zis funcțiile $t\to W_{t}$ ${\ displaystyle t \ to W_ {t}}$ $t \ to W_ {t}$ sunt aproape sigur că sunt continue;
Procesul are creșteri independente, adică sunt alese de patru ori $0\leq s_{1}\leq t_{1}\leq s_{2}\leq t_{2}$ ${\ displaystyle 0 \ leq s_ {1} \ leq t_ {1} \ leq s_ {2} \ leq t_ {2}}$ $0 \ leq s_ {1} \ leq t_ {1} \ leq s_ {2} \ leq t_ {2}$ (intervalele $(s_{1},t_{1})$ ${\ displaystyle (s_ {1}, t_ {1})}$ $(s_ {1}, t_ {1})$ Și $(s_{2},t_{2})$ ${\ displaystyle (s_ {2}, t_ {2})}$ $(s_ {2}, t_ {2})$ nu se intersectează), atunci

\ W_{t_{1}}-W_{s_{1}}

{\ displaystyle \ W_ {t_ {1}} - W_ {s_ {1}}}

\ W _ {{t_ {1}}} - W _ {{s_ {1}}}

Și

\ W_{t_{2}}-W_{s_{2}}

{\ displaystyle \ W_ {t_ {2}} - W_ {s_ {2}}}

\ W _ {{t_ {2}}} - W _ {{s_ {2}}}

sunt variabile aleatorii independente .

Procesul are creșteri gaussiene, adică de două ori alese $s\leq t$ ${\ displaystyle s \ leq t}$ $s \ leq t$

\ W_{t}-W_{s}\sim N\left(0,(t-s)\right)

{\ displaystyle \ W_ {t} -W_ {s} \ sim N \ left (0, (ts) \ right)}

\ W _ {{t}} - W _ {{s}} \ sim N \ left (0, (t-s) \ right)

unde este

\ N(0,(t-s))

{\ displaystyle \ N (0, (ts))}

{\ displaystyle \ N (0, (t-s))}

denotă odistribuție normală cu medie și varianță

(t-s)

{\ displaystyle (ts)}

{\ displaystyle (t-s)}

;

Proprietate

Din definiție rezultă că, pentru fiecare t , variabila aleatorie $W_{t}$ ${\ displaystyle W_ {t}}$ $W_ {t}$ are legea Gaussiană $N(0,t)$ ${\ displaystyle N (0, t)}$ $N (0, t)$ . Din acest fapt pot fi derivate următoarele proprietăți:

Funcția de densitate a $W_{t}$ ${\ displaystyle W_ {t}}$ $W_ {t}$ are lege

f_{W_{t}}(x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi t}}}e^{-{\frac {x^{2}}{2t}}}.

{\ displaystyle f_ {W_ {t}} (x) = {\ frac {1} {\ sqrt {2 \ pi t}}} e ^ {- {\ frac {x ^ {2}} {2t}}} .}

f _ {{W_ {t}}} (x) = {\ frac {1} {{\ sqrt {2 \ pi t}}}} e ^ {{- {\ frac {x ^ {2}} {2t }}}}.

Valoarea așteptată este nulă

\mathbb {E} [W_{t}]=0.

{\ displaystyle \ mathbb {E} [W_ {t}] = 0.}

{\ mathbb {E}} [W_ {t}] = 0.

Varianța este egală cu t

\operatorname {Var} (W_{t})=t.

{\ displaystyle \ operatorname {Var} (W_ {t}) = t.}

\ operatorname {Var} (W_ {t}) = t.

Covarianța dintre $W_{s}$ ${\ displaystyle W_ {s}}$ $W_ {s}$ Și $W_{t}$ ${\ displaystyle W_ {t}}$ $W_ {t}$ este egal cu minimul dintre s și t

\operatorname {cov} (W_{s},W_{t})=\min(s,t),

{\ displaystyle \ operatorname {cov} (W_ {s}, W_ {t}) = \ min (s, t),}

\ operatorname {cov} (W_ {s}, W_ {t}) = \ min (s, t),

Corelația dintre $W_{s}$ ${\ displaystyle W_ {s}}$ $W_ {s}$ Și $W_{t}$ ${\ displaystyle W_ {t}}$ $W_ {t}$ este egal cu

\operatorname {corr} (W_{s},W_{t})={\sqrt {\frac {\min(s,t)}{\max(s,t)}}}.

{\ displaystyle \ operatorname {corr} (W_ {s}, W_ {t}) = {\ sqrt {\ frac {\ min (s, t)} {\ max (s, t)}}}.}

\ operatorname {corr} (W_ {s}, W_ {t}) = {\ sqrt {{\ frac {\ min (s, t)} {\ max (s, t)}}}}.

Maxim și minim

Este $M_{t}=\max _{0\leq s\leq t}(W_{s})$ ${\ displaystyle M_ {t} = \ max _ {0 \ leq s \ leq t} (W_ {s})}$ $M_ {t} = \ max _ {{0 \ leq s \ leq t}} (W_ {s})$ maximul atins de mișcarea browniană în interval $[0,t]$ ${\ displaystyle [0, t]}$ $[0, t]$ . Densitatea de probabilitate necondiționată a $f_{M_{t}}(m)$ ${\ displaystyle f_ {M_ {t}} (m)}$ ${\ displaystyle f_ {M_ {t}} (m)}$ este dat de:

f_{M_{t}}(m)={\sqrt {\frac {2}{\pi t}}}e^{-{\frac {m^{2}}{2t}}},\ \ m\geq 0

{\ displaystyle f_ {M_ {t}} (m) = {\ sqrt {\ frac {2} {\ pi t}}} e ^ {- {\ frac {m ^ {2}} {2t}}}, \ \ m \ geq 0}

{\ displaystyle f_ {M_ {t}} (m) = {\ sqrt {\ frac {2} {\ pi t}}} e ^ {- {\ frac {m ^ {2}} {2t}}}, \ \ m \ geq 0}

.

Valoarea așteptată a maximului este:

\mathbb {E} [M_{t}]={\sqrt {\frac {2t}{\pi }}}

{\ displaystyle \ mathbb {E} [M_ {t}] = {\ sqrt {\ frac {2t} {\ pi}}}}

{\ mathbb {E}} [M_ {t}] = {\ sqrt {{\ frac {2t} {\ pi}}}}

Dacă în schimb $m_{t}=\min _{0\leq s\leq t}(W_{s})$ ${\ displaystyle m_ {t} = \ min _ {0 \ leq s \ leq t} (W_ {s})}$ $m_ {t} = \ min _ {{0 \ leq s \ leq t}} (W_ {s})$ este minimul atins de mișcarea browniană în $[0,t]$ ${\ displaystyle [0, t]}$ $[0, t]$ , prin simetrie a densității probabilității necondiționate a $f_{m_{t}}(m)$ ${\ displaystyle f_ {m_ {t}} (m)}$ ${\ displaystyle f_ {m_ {t}} (m)}$ este dat de:

f_{m_{t}}(m)={\sqrt {\frac {2}{\pi t}}}e^{-{\frac {m^{2}}{2t}}},\ \ m\leq 0

{\ displaystyle f_ {m_ {t}} (m) = {\ sqrt {\ frac {2} {\ pi t}}} e ^ {- {\ frac {m ^ {2}} {2t}}}, \ \ m \ leq 0}

{\ displaystyle f_ {m_ {t}} (m) = {\ sqrt {\ frac {2} {\ pi t}}} e ^ {- {\ frac {m ^ {2}} {2t}}}, \ \ m \ leq 0}

.

Valoarea așteptată a minimului este:

\mathbb {E} [m_{t}]=-{\sqrt {\frac {2t}{\pi }}}

{\ displaystyle \ mathbb {E} [m_ {t}] = - {\ sqrt {\ frac {2t} {\ pi}}}}

{\ displaystyle \ mathbb {E} [m_ {t}] = - {\ sqrt {\ frac {2t} {\ pi}}}}

Distribuția probabilității maxime și minime, condiționată de o valoare

W_{t}

{\ displaystyle W_ {t}}

W_ {t}

prefixat, este descris în „ Distribuția probabilității extremelor unui proces stochastic Wiener ”. În cazul minimului, distribuția probabilității este condiționată de o valoare prestabilită

W_{t}

{\ displaystyle W_ {t}}

W_ {t}

Și:

\,F_{m_{W_{t}}}(m)=Pr(m_{W_{t}}=\min _{0\leq s\leq t}W(s)\leq m\ |\ W(t)=W_{t})=\ \ e^{-2{\frac {m(m-W_{t})}{t}}}\ \,{\text{,}}\,\ \ m<\min(0,W_{t})

{\ displaystyle \, F_ {m_ {W_ {t}}} (m) = Pr (m_ {W_ {t}} = \ min _ {0 \ leq s \ leq t} W (s) \ leq m \ | \ W (t) = W_ {t}) = \ \ e ^ {- 2 {\ frac {m (m-W_ {t})} {t}}} \ \, {\ text {,}} \, \ \ m <\ min (0, W_ {t})}

{\ displaystyle \, F_ {m_ {W_ {t}}} (m) = Pr (m_ {W_ {t}} = \ min _ {0 \ leq s \ leq t} W (s) \ leq m \ | \ W (t) = W_ {t}) = \ \ e ^ {- 2 {\ frac {m (m-W_ {t})} {t}}} \ \, {\ text {,}} \, \ \ m <\ min (0, W_ {t})}

Proprietăți de scalare

De sine $W_{t}$ ${\ displaystyle W_ {t}}$ $W_ {t}$ atunci este o mișcare browniană

$V_{t}=W_{t+s}-W_{s}$ ${\ displaystyle V_ {t} = W_ {t + s} -W_ {s}}$ $V_ {t} = W _ {{t + s}} - W_ {s}$ este o mișcare browniană
$V_{t}=-W_{t}$ ${\ displaystyle V_ {t} = - W_ {t}}$ $V_ {t} = - W_ {t}$ este o mișcare browniană
Pentru fiecare $c>0$ ${\ displaystyle c> 0}$ $c> 0$ , $V_{t}=cW_{t/c^{2}}$ ${\ displaystyle V_ {t} = cW_ {t / c ^ {2}}}$ $V_ {t} = cW _ {{t / c ^ {2}}}$ este o mișcare browniană
Procesul $Z_{t}$ ${\ displaystyle Z_ {t}}$ $Z_ {t}$ astfel încât $Z_{0}=0$ ${\ displaystyle Z_ {0} = 0}$ $Z_ {0} = 0$ Și $Z_{t}=tW_{1/t}$ ${\ displaystyle Z_ {t} = tW_ {1 / t}}$ $Z_ {t} = tW _ {{1 / t}}$ pentru $t>0$ ${\ displaystyle t> 0}$ $t> 0$ este o mișcare browniană.

Regularitatea traiectoriilor

Mișcarea browniană este aproape sigur continuă prin definiție. Dacă această condiție este eliminată din caracterizarea ei, se obține un proces care nu este neapărat continuu. Cu toate acestea, folosindteorema continuității lui Kolmogorov , se poate demonstra că acest proces are o versiune continuă, cu toate acestea, aproape sigur. În acest sens, condiția continuității selectează exact această versiune.

Folosind aceeași teoremă, este dovedit, de asemenea, că aproape sigur fiecare traiectorie a mișcării browniene este un exponent Holderian $\gamma$ ${\ displaystyle \ gamma}$ $\gamă$ doar pentru $\gamma <{\frac {1}{2}}$ ${\ displaystyle \ gamma <{\ frac {1} {2}}}$ $\ gamma <{\ frac {1} {2}}$ .

Deși este continuă pe întregul său domeniu, traiectoria mișcării browniene nu poate fi diferențiată în niciun moment.

Comportamentul asimptotic

Legea logaritmului iterat afirmă că, dacă $W_{t}$ ${\ displaystyle W_ {t}}$ $W_ {t}$ atunci este o mișcare browniană

\limsup _{t\to +\infty }{\frac {|W_{t}|}{\sqrt {2t\log \log t}}}=1,\quad {\text{quasi certamente}}.

{\ displaystyle \ limsup _ {t \ to + \ infty} {\ frac {| W_ {t} |} {\ sqrt {2t \ log \ log t}}} = 1, \ quad {\ text {aproape sigur} }.}

\ limsup _ {{t \ to + \ infty}} {\ frac {| W_ {t} |} {{\ sqrt {2t \ log \ log t}}}} = 1, \ quad {\ text {aproape sigur }}.

Proprietate Martingale

Procesul Wiener este o martingală. Mai exact, dacă $W_{t}$ ${\ displaystyle W_ {t}}$ $W_ {t}$ este un proces Wiener e $p(x,t)$ ${\ displaystyle p (x, t)}$ $p (x, t)$ este un polinom satisfăcător

\left({\frac {\partial }{\partial t}}+{\frac {1}{2}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}\right)p(x,t)=0,

{\ displaystyle \ left ({\ frac {\ partial} {\ partial t}} + {\ frac {1} {2}} {\ frac {\ partial ^ {2}} {\ partial x ^ {2}} } \ dreapta) p (x, t) = 0,}

\ left ({\ frac {\ partial} {\ partial t}} + {\ frac {1} {2}} {\ frac {\ partial ^ {2}} {\ partial x ^ {2}}} \ right ) p (x, t) = 0,

asa de $M_{t}:=p(W_{t},t)$ ${\ displaystyle M_ {t}: = p (W_ {t}, t)}$ $M_ {t}: = p (W_ {t}, t)$ este o martingală.

Diferențial al procesului Wiener

Dacă luăm în considerare procesul Wiener în corespondență cu un interval de timp suficient de mic, obținem creșterea infinitesimală a acestui proces sub forma

\ W_{t+dt}-W_{t}=\delta W_{t}=N{\sqrt {dt}}

{\ displaystyle \ W_ {t + dt} -W_ {t} = \ delta W_ {t} = N {\ sqrt {dt}}}

\ W _ {{t + dt}} - W _ {{t}} = \ delta W _ {{t}} = N {\ sqrt {dt}}

(1)

care poate fi scris ca

{\frac {W_{t+dt}-W_{t}}{dt}}={\frac {N}{\sqrt {dt}}}

{\ displaystyle {\ frac {W_ {t + dt} -W_ {t}} {dt}} = {\ frac {N} {\ sqrt {dt}}}}

{\ frac {W _ {{t + dt}} - W _ {{t}}} {dt}} = {\ frac {N} {{\ sqrt {dt}}}}

Acest proces nu este limitat în variație și, din acest motiv, nu poate fi diferențiat în contextul analizei clasice. De fapt, precedentul tinde spre infinit atunci când intervalul tinde spre zero $\ dt$ ${\ displaystyle \ dt}$ $\ dt$ .

Lăsând parțial deoparte instrumentele analizei clasice, diferențialul procesului Wiener poate fi în orice caz definit într-un sens stochastic. De fapt, fiind varianța acestui proces $\ {\textrm {E}}(W_{t}^{2})-{\textrm {E}}^{2}(W_{t})=t$ ${\ displaystyle \ {\ textrm {E}} (W_ {t} ^ {2}) - {\ textrm {E}} ^ {2} (W_ {t}) = t}$ $\ {\ textrm {E}} (W _ {{t}} ^ {2}) - {\ textrm {E}} ^ {2} (W _ {{t}}) = t$ iar valoarea așteptată a acestui proces fiind nulă $\ {\textrm {E}}(W_{t})={\textrm {E}}^{2}(W_{t})=0$ ${\ displaystyle \ {\ textrm {E}} (W_ {t}) = {\ textrm {E}} ^ {2} (W_ {t}) = 0}$ $\ {\ textrm {E}} (W _ {{t}}) = {\ textrm {E}} ^ {2} (W _ {{t}}) = 0$ avem că media pătratică a procesului Wiener coincide cu timpul scurs, adică $\ {\textrm {E}}(W_{t}^{2})=t$ ${\ displaystyle \ {\ textrm {E}} (W_ {t} ^ {2}) = t}$ $\ {\ textrm {E}} (W _ {{t}} ^ {2}) = t$ .

Pe baza acestui lucru putem defini diferențialul unui proces Wiener prin intermediul diferențialei mediei pătrate a acestui proces. Acesta este diferențialul $\ W_{t}$ ${\ displaystyle \ W_ {t}}$ $\ W _ {{t}}$ comparativ cu timpul este $\ dW_{t}$ ${\ displaystyle \ dW_ {t}}$ $\ dW _ {{t}}$ ca diferențial al $\ t$ ${\ displaystyle \ t}$ $\ t$ Și $\ dt$ ${\ displaystyle \ dt}$ $\ dt$ .

Cu alte cuvinte, diferențialul unui proces Wiener este acel proces a cărui medie pătrată coincide cu diferențialul mediei pătrate a procesului Wiener care trebuie diferențiat . (În formule $\ E(dW_{t}^{2})=dE(W_{t}^{2})$ ${\ displaystyle \ E (dW_ {t} ^ {2}) = dE (W_ {t} ^ {2})}$ $\ E (dW _ {{t}} ^ {2}) = dE (W _ {{t}} ^ {2})$ )

Pe baza celor de mai sus, diferențialul unui proces Wiener poate fi definit cu formula

\ dW_{t}=N{\sqrt {dt}}

{\ displaystyle \ dW_ {t} = N {\ sqrt {dt}}}

\ dW _ {{t}} = N {\ sqrt {dt}}

ceea ce, comparativ cu (1), arată că conform abordării stochastice $\ \delta W_{t}$ ${\ displaystyle \ \ delta W_ {t}}$ $\ \ delta W _ {{t}}$ coincide tocmai cu $\ dW_{t}$ ${\ displaystyle \ dW_ {t}}$ $\ dW _ {{t}}$ , iar proprietățile există $\ {\textrm {E}}(dW_{t})=0$ ${\ displaystyle \ {\ textrm {E}} (dW_ {t}) = 0}$ $\ {\ textrm {E}} (dW _ {{t}}) = 0$ și $\ {\textrm {var}}(dW_{t})=dt$ ${\ displaystyle \ {\ textrm {var}} (dW_ {t}) = dt}$ $\ {\ textrm {var}} (dW _ {{t}}) = dt$ .

În termeni mai puțin formali, diferențialul proces Wiener nu este altceva decât un proces Wiener considerat într-un interval de timp infinitesimal.

O proprietate interesantă a procesului Wiener este non-stochasticitatea aproximativă a factorului $\ dW_{t}^{2}$ ${\ displaystyle \ dW_ {t} ^ {2}}$ $\ dW _ {{t}} ^ {2}$ când factorul timp tinde la zero $\ dt$ ${\ displaystyle \ dt}$ $\ dt$ .

Bibliografie

T. Hida, Brownian Motion , Springer, 1980.
I. Karatzas, S. Shreve, Brownian Motion and Stochastic Calculus , Springer, 1998.
Revuz D., M. Yor, Continuing Martingales and Brownian Motion , Springer, 1991.
Paolo Baldi, Stochastic Differential Equations , Pitagora editrice, 2000, ISBN 978-88-371-1211-0 .

Elemente conexe

linkuri externe

O introducere a procesului Wiener și a ecuațiilor stochastice de către Enrico Priola. {link rupt}
Procese Wiener și aplicațiile lui Paolo Caressa.

Controlul autorității	Tezaur BNCF 49393

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică