Aproape sigur

În teoria probabilității , un eveniment se spune să se întâmple aproape sigur (aproape sigur sau ca) în cazul în care se întâmplă cu probabilitate egală cu una . Conceptul este analog cu cel al aproape peste tot în teoria măsurătorilor . Deși nu există nicio diferență între aproape sigur și sigur (adică se întâmplă cu siguranță ) în multe experimente de probabilitate de bază, distincția este importantă în cazuri mai complexe care se referă la un fel de infinit . De exemplu, termenul este adesea întâlnit în situații care se ocupă de timpi infiniti, proprietăți de regularitate sau spații de dimensiune infinită, cum ar fi spații funcționale . Exemplele standard ale unei astfel de utilizări includ legea puternică a numărului mare și continuitatea căilor browniene .

Se spune că un eveniment (se întâmplă) aproape niciodată nu se întâmplă dacă evenimentul său complementar se întâmplă aproape sigur ^[1] .

Definiție formală

Fie ( Ω , F , P ) un spațiu de probabilitate . Se spune că un eveniment E în F se întâmplă aproape sigur dacă P ( E ) = 1. În mod echivalent, putem spune că un eveniment E apare aproape sigur dacă probabilitatea să nu se întâmple este zero .

O definiție alternativă din perspectiva teoriei măsurii este că (deoarece P este o măsură pe Ω ) E se întâmplă aproape sigur dacă E = Ω aproape peste tot .

„Aproape sigur” versus „sigur”

Diferența dintre un eveniment aproape sigur și unul anume este aceeași, subtilă, diferența dintre un eveniment care se întâmplă cu probabilitatea 1 și unul care se întâmplă întotdeauna .

Dacă un eveniment este sigur , atunci se va întâmpla întotdeauna și niciun alt rezultat decât acest eveniment nu se poate întâmpla vreodată. Dacă un eveniment este aproape sigur , atunci rezultatele altele decât acest eveniment sunt teoretic posibile; cu toate acestea, probabilitatea unui astfel de rezultat este mai mică decât orice probabilitate pozitivă care poate fi fixată și, prin urmare, trebuie să fie 0. Prin urmare, nu se poate spune definitiv că aceste rezultate nu se vor întâmpla niciodată, dar acest lucru se poate presupune că este adevărat în majoritate de cazuri.

Aruncând o săgeată

O săgeată (ideală) împușcată aleatoriu, fiind capabilă să atingă unul și doar un punct al țintei, aproape sigur nu va atinge centrul. Aceasta înseamnă că evenimentul „săgeata lovește centrul” aparține spațiului evenimentului , dar probabilitatea asociată cu acesta este 0.

De exemplu, imaginați-vă că aruncați o săgeată pe un pătrat unde va atinge exact un punct și imaginați-vă că acest pătrat este singurul lucru din univers. Nu există niciun alt loc fizic în care săgeata să poată ateriza. Astfel, evenimentul „săgeata lovește pătratul” este un anumit eveniment. Nu sunt concepute alternative.

Acum, ia în considerare evenimentul: „săgeata lovește exact diagonala pătratului”. Probabilitatea ca săgeata să aterizeze în orice regiune a pătratului este proporțională cu aria regiunii respective. Cu toate acestea, deoarece aria diagonalei pătratului este zero, probabilitatea ca săgeata să aterizeze exact acolo este și zero. Astfel, săgeata nu va ateriza aproape sigur pe diagonală. Cu toate acestea, setul de puncte de pe diagonală nu este gol și un punct de pe diagonală nu este o țintă mai puțin probabilă decât orice alt punct și, prin urmare, este teoretic posibil ca săgeata să lovească diagonala.

Același lucru se poate spune pentru orice alt punct de pe pătrat. Orice punct P nu va avea zonă și, prin urmare, va avea șanse zero să fie lovit de săgeți. Cu toate acestea, săgeata trebuie să lovească în mod evident pătratul undeva. Prin urmare, în acest caz, nu este posibil doar (sau imaginabil) să se producă un eveniment cu probabilitate zero; un astfel de eveniment trebuie să se întâmple. Din acest motiv, nu am avea niciun motiv să spunem că suntem siguri că un anumit eveniment nu va avea loc, ci mai degrabă aproape sigur .

Dă cu banul

Să presupunem că o monedă ideală, ne-rigată (fără margini) este răsturnată de mai multe ori. Deoarece o monedă are două fețe, capete și cozi, evenimentul „capete sau cozi” este un anumit eveniment. Niciun alt rezultat nu poate fi așteptat de la o monedă.

Numai secvența infinită de capete ( TTTTTT -... ) este într-un anumit sens posibilă (nu încalcă nicio lege matematică sau fizică să presupunem că nu ies niciodată cozi), dar este foarte, foarte puțin probabil. De fapt, probabilitatea ca aceasta să nu se regăsească niciodată într-o serie infinită este zero . Prin urmare, deși nu putem spune fără nicio îndoială că va ieși cel puțin o cruce, putem spune că aproape sigur va exista cel puțin o cruce într-o succesiune infinită de aruncări. (Rețineți că, având în vedere afirmațiile din acest paragraf, orice succesiune ordonată de evenimente va avea probabilitate zero dacă secvența este infinită. Acest lucru are sens deoarece există un număr infinit de posibilități și $\scriptstyle \lim \limits _{n\to \infty }{\frac {1}{n}}=0$ ${\ displaystyle \ scriptstyle \ lim \ limits _ {n \ to \ infty} {\ frac {1} {n}} = 0}$ $\ scriptstyle \ lim \ limits _ {{n \ to \ infty}} {\ frac {1} {n}} = 0$ .)

Pe de altă parte, dacă în loc să facem flip-uri infinite încetăm să aruncăm moneda după un timp finit (să zicem un milion de flip-uri), atunci secvența de capete are doar o probabilitate diferită de zero (de fapt, probabilitatea este de 2 ^{−1 000 000} ) și, prin urmare, probabilitatea de a obține cel puțin o cruce este de 1 - 2 ^{-1 000 000} , iar evenimentul nu mai este aproape sigur .

Notă

^ Erich Grädel, Kolaitis, Libkin, Marx, Spencer, Vardi, Venema, Weinstein, teoria modelelor finite și aplicațiile sale , Springer, 2007, p. 232, ISBN 978-3-540-00428-8 .

Bibliografie

LCG Rogers, Williams, David, Difuzii, Procese Markov și Martingales , vol. 1, Cambridge University Press, 2000.
David Williams, Probability with Martingales , Cambridge University Press, 1991.

Elemente conexe

Convergența variabilelor aleatorii , pentru „convergență aproape sigură”
Distribuție degenerată , pentru „aproape sigur constantă”
Aproape peste tot , conceptul corespunzător în teoria măsurii
Teorema neobosită a maimuțelor , o teoremă care folosește acest concept.

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică

[Gradel-1] Erich Grädel, Kolaitis, Libkin, Marx, Spencer, Vardi, Venema, Weinstein, teoria modelelor finite și aplicațiile sale , Springer, 2007, p. 232, ISBN 978-3-540-00428-8 .

[1]