Sistem neliniar

În matematică, un sistem neliniar (uneori neliniar ) este un sistem de ecuații în care cel puțin una dintre ele este neliniară , adică nu poate fi exprimată ca o combinație liniară a necunoscutelor prezente și a unei constante. De exemplu, ar putea conține ecuații algebrice cu cel puțin un termen de grad diferit de unul sau, mai general, unii termeni non- polinomiali . În practică, orice sistem de ecuații care nu este liniar se spune că este neliniar.

Exemple de sisteme neliniare

Sistem polinomial

Un sistem este polinom dacă fiecare ecuație este un polinom. În acest caz, gradul sistemului este produsul gradelor polinoamelor, iar sistemul este neliniar exact atunci când are un grad mai mare de unul. De exemplu, următorul sistem are două ecuații și două necunoscute și nu este liniar, deoarece are gradul doi:

\left\{{\begin{matrix}2x+y=0\\x^{2}-y=2\end{matrix}}\right.

{\ displaystyle \ left \ {{\ begin {matrix} 2x + y = 0 \\ x ^ {2} -y = 2 \ end {matrix}} \ right.}

{\ displaystyle \ left \ {{\ begin {matrix} 2x + y = 0 \\ x ^ {2} -y = 2 \ end {matrix}} \ right.}

În schimb, următorul sistem are gradul patru:

\left\{{\begin{matrix}x^{2}-y=0\\xy=1\end{matrix}}\right.

{\ displaystyle \ left \ {{\ begin {matrix} x ^ {2} -y = 0 \\ xy = 1 \ end {matrix}} \ right.}

{\ displaystyle \ left \ {{\ begin {matrix} x ^ {2} -y = 0 \\ xy = 1 \ end {matrix}} \ right.}

Soluțiile unui sistem polinomial depind puternic de domeniul în care sunt luate în considerare. În general, este imposibil să se determine soluțiile. Teoremele geometriei algebrice (generalizări ale teoremei lui Bézout ) garantează următorul fapt:

Numărul de soluții ( reale sau complexe ) ale unui sistem, dacă este finit, nu depășește gradul sistemului.

În cazul în care sistemul are două variabile, setul de soluții poate fi văzut geometric ca locul de intersecție între unele curbe, fiecare determinată de o ecuație. În cele două exemple descrise, avem de-a face cu intersecția unei conice și a unei drepte și a a două conice.

Sistemul unei ecuații într-o singură variabilă

Acest sistem foarte simplu este de fapt o singură ecuație într-o singură variabilă.

f(x)=0

{\ displaystyle f (x) = 0}

f (x) = 0

Sistemul este liniar dacă și numai dacă funcția f este liniară, adică de forma f ( x ) = a x + b cu a și b în domeniul corespunzător. În toate celelalte cazuri, sistemul nu este liniar, ca în următoarele exemple:

f(x)=ax^{2},\quad f(x)={\frac {1}{x}},\quad f(x)=e^{x}.

{\ displaystyle f (x) = ax ^ {2}, \ quad f (x) = {\ frac {1} {x}}, \ quad f (x) = e ^ {x}.}

{\ displaystyle f (x) = ax ^ {2}, \ quad f (x) = {\ frac {1} {x}}, \ quad f (x) = e ^ {x}.}

Sistemul unei ecuații în două variabile

În acest caz, sistemul este o singură ecuație cu două variabile

f(x,y)=0

{\ displaystyle f (x, y) = 0}

f (x, y) = 0

și este liniar dacă și numai dacă funcția f este exprimabilă ca f ( x , y ) = ax + cu + c , adică dacă este ecuația unui plan afin . În toate celelalte cazuri, sistemul este neliniar, de exemplu:

f(x,y)=xy,\quad f(x,y)=x^{2}+y,f(x,y)=e^{x+y}+1.

{\ displaystyle f (x, y) = xy, \ quad f (x, y) = x ^ {2} + y, f (x, y) = e ^ {x + y} +1.}

{\ displaystyle f (x, y) = xy, \ quad f (x, y) = x ^ {2} + y, f (x, y) = e ^ {x + y} +1.}

Sistem de mai multe ecuații și variabile

Un sistem generic cu n necunoscute și m ecuații poate fi exprimat ca:

\left\{{\begin{matrix}f_{1}(x_{1},...,x_{n})=0\\\vdots \\f_{m}(x_{1},...,x_{n})=0\end{matrix}}\right.

{\ displaystyle \ left \ {{\ begin {matrix} f_ {1} (x_ {1}, ..., x_ {n}) = 0 \\\ vdots \\ f_ {m} (x_ {1}, ..., x_ {n}) = 0 \ end {matrix}} \ right.}

{\ displaystyle \ left \ {{\ begin {matrix} f_ {1} (x_ {1}, ..., x_ {n}) = 0 \\\ vdots \\ f_ {m} (x_ {1}, ..., x_ {n}) = 0 \ end {matrix}} \ right.}

sau în notație vectorială compactă, cum ar fi:

F(x_{1},\ldots ,x_{n})=0

{\ displaystyle F (x_ {1}, \ ldots, x_ {n}) = 0}

{\ displaystyle F (x_ {1}, \ ldots, x_ {n}) = 0}

unde acest timp este vectorul nul al spațiului vectorial K ^m (unde K este câmpul în care sunt studiate soluțiile, de exemplu R sau C ) și F este o funcție de la K ⁿ la K ^m . Un sistem neliniar este, de exemplu:

\left\{{\begin{matrix}e^{x}+y=0\\\cos x-y=0\end{matrix}}\right.

{\ displaystyle \ left \ {{\ begin {matrix} e ^ {x} + y = 0 \\\ cos xy = 0 \ end {matrix}} \ right.}

{\ displaystyle \ left \ {{\ begin {matrix} e ^ {x} + y = 0 \\\ cos x-y = 0 \ end {matrix}} \ right.}

Linearizarea sistemelor neliniare

Aproape toate sistemele fizice sunt neliniare, ceea ce face căutarea soluțiilor analitice foarte dificilă și uneori imposibilă. De obicei este posibil să se transforme o problemă neliniară într-o problemă liniară local, adică să se găsească un sistem liniar care să se apropie, într-o anumită rază, de sistemul neliniar original.

liniarizarea funcției și ^x

În acest scop sunt utilizate diferite tipuri de expansiune în serie , în special extinderea seriei Taylor (și analogul multidimensional) și expansiunea seriei Fourier . În figura din dreapta vedem expansiunea de primul ordin în seria Taylor a funcției exponențiale .

Elemente conexe

linkuri externe

( EN ) Sistem neliniar , în Directorul Revistelor cu Acces Deschis , Servicii de infrastructură pentru Acces Deschis.

Controlul autorității	Tezaur BNCF 26892

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică