Progresia geometrică

Suma progresiei geometrice a rațiunii 1/2 (egală cu 2), poate fi ilustrată grafic ca suma ariilor

În matematică , o progresie geometrică sau o succesiune geometrică (numită uneori, în mod necorespunzător, și o serie geometrică , vezi mai jos) este o succesiune de numere astfel încât relația dintre un element și precedentul său este întotdeauna constantă. Această constantă se numește motivul succesiunii.

În general va fi

a_{2}=a_{1}r;a_{3}=a_{2}r=a_{1}r^{2};...;a_{n}=a_{n-1}r=a_{1}r^{n-1}

{\ displaystyle a_ {2} = a_ {1} r; a_ {3} = a_ {2} r = a_ {1} r ^ {2}; ...; a_ {n} = a_ {n-1} r = a_ {1} r ^ {n-1}}

{\ displaystyle a_ {2} = a_ {1} r; a_ {3} = a_ {2} r = a_ {1} r ^ {2}; ...; a_ {n} = a_ {n-1} r = a_ {1} r ^ {n-1}}

unde r ≠ 0 este motivul e $a_{1}$ ${\ displaystyle a_ {1}}$ $a_1$ este primul termen al succesiunii.

Formule

Progresiunile geometrice au avantajul de a oferi câteva formule simple pentru calcularea termenilor care le compun.

Al n-lea termen poate fi de fapt definit ca

a_{n}=a_{1}\,r^{n-1}

{\ displaystyle a_ {n} = a_ {1} \, r ^ {n-1}}

{\ displaystyle a_ {n} = a_ {1} \, r ^ {n-1}}

unde este

a_{1}

{\ displaystyle a_ {1}}

a_1

este primul termen al succesiunii.

Motivul este în consecință

r=\left({\frac {a_{n}}{a_{1}}}\right)^{1/(n-1)}\quad {\mbox{per }}n>1

{\ displaystyle r = \ left ({\ frac {a_ {n}} {a_ {1}}} \ right) ^ {1 / (n-1)} \ quad {\ mbox {per}} n> 1}

{\ displaystyle r = \ left ({\ frac {a_ {n}} {a_ {1}}} \ right) ^ {1 / (n-1)} \ quad {\ mbox {per}} n> 1}

iar primul termen al secvenței se menține

a_{1}={\frac {a_{n}}{r^{n-1}}}.

{\ displaystyle a_ {1} = {\ frac {a_ {n}} {r ^ {n-1}}}.}

{\ displaystyle a_ {1} = {\ frac {a_ {n}} {r ^ {n-1}}}.}

Exemple

O succesiune a rațiunii 2 și a factorului de scară 1 este

1, 2, 4, 8, 16, 32, ....

O secvență de 2/3 motiv și factor de scară 729 este

729 (1, 2/3, 4/9, 8/27, 16/81, 32/243, 64/729, ....) = 729, 486, 324, 216, 144, 96, 64, .. ..

O succesiune de motiv -1 și factorul de scară 3 este

3 (1, −1, 1, −1, 1, −1, 1, −1, 1, −1, ....) = 3, −3, 3, −3, 3, −3, 3, −3, 3, −3, ....

O progresie geometrică diferită de zero arată creșterea exponențială sau descompunerea exponențială . În special dacă

$r=1$ ${\ displaystyle r = 1}$ $r = 1$ , rezultatul este constant și este egal cu ,
$r=-1$ ${\ displaystyle r = -1}$ $r = -1$ , rezultatul oscilează între a și -a ,
$r>1$ ${\ displaystyle r> 1}$ $r> 1$ , există o creștere exponențială spre infinit (pozitivă),
$r<-1$ ${\ displaystyle r <-1}$ $r <-1$ , există o creștere exponențială spre infinit (cu o oscilație între valorile pozitive și negative).
$-1<r<1$ ${\ displaystyle -1 <r <1}$ $-1 <r <1$ , există o descompunere exponențială către zero.
$r=0$ ${\ displaystyle r = 0}$ $r = 0$ , rezultatul este zero.

Comparați aceste rezultate cu cele ale unei progresii aritmetice , care arată o creștere liniară (sau o scădere) (de exemplu, 4, 15, 26, 37, 48, ....). Rețineți că cele două tipuri de progresie sunt strâns legate: prin aplicarea logaritmului la termenii unei progresii geometrice, se obține o progresie aritmetică.

Aplicații

Se observă cu ușurință că o progresie geometrică îndeplinește următoarea condiție

a_{n}=r\,a_{n-1}.

{\ displaystyle a_ {n} = r \, a_ {n-1}.}

a_ {n} = r \, a _ {{n-1}}.

interpretabil ca o ecuație de diferență finită , din care o progresie a raportului comun r este soluția.

Ecuația de mai sus se găsește în multe modele de creștere exponențială. De exemplu, numărul de indivizi dintr-o colonie de bacterii care se duplică la intervale de timp constante urmează o progresie geometrică a rațiunii 2.

Serii geometrice

Termenul serie geometrică este rezervat pentru suma de termeni infiniti ai unei progresii geometrice (cu un factor de scară unitar)

\sum _{k=0}^{\infty }r^{k}=r^{0}+r^{1}+r^{2}+r^{3}+...

{\ displaystyle \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} r ^ {k} = r ^ {0} + r ^ {1} + r ^ {2} + r ^ {3} + ...}

\ sum _ {{k = 0}} ^ {{\ infty}} r ^ {k} = r ^ {0} + r ^ {1} + r ^ {2} + r ^ {3} + ...

în timp ce scrierea de bază se numește suma parțială a primilor n termeni ai seriei sau a n-a redusă a seriei:

\sum _{k=0}^{n}r^{k}=r^{0}+r^{1}+r^{2}+r^{3}+...+r^{n}

{\ displaystyle \ sum _ {k = 0} ^ {n} r ^ {k} = r ^ {0} + r ^ {1} + r ^ {2} + r ^ {3} + ... + r ^ {n}}

\ sum _ {{k = 0}} ^ {{n}} r ^ {k} = r ^ {0} + r ^ {1} + r ^ {2} + r ^ {3} + ... + r ^ {n}

Formula închisă care exprimă suma n-a redusă a unei serii geometrice a rațiunii r poate fi obținută după cum urmează: înmulțiți expresia cu factorul (1- r ) obținând

(1-r)\sum _{k=0}^{n}r^{k}=1(1-r)+r(1-r)+r^{2}(1-r)+...+r^{n}(1-r)=1-r+r-r^{2}+r^{2}-r^{3}+...+r^{n}-r^{n+1}

{\ displaystyle (1-r) \ sum _ {k = 0} ^ {n} r ^ {k} = 1 (1-r) + r (1-r) + r ^ {2} (1-r) + ... + r ^ {n} (1-r) = 1-r + rr ^ {2} + r ^ {2} -r ^ {3} + ... + r ^ {n} -r ^ {n + 1}}

(1-r) \ sum _ {{k = 0}} ^ {{n}} r ^ {k} = 1 (1-r) + r (1-r) + r ^ {2} (1-r ) + ... + r ^ {n} (1-r) = 1-r + rr ^ {2} + r ^ {2} -r ^ {3} + ... + r ^ {n} -r ^ {{n + 1}}

deoarece toți termenii din partea dreaptă a ecuației, cu excepția 1 și $r^{n+1}$ ${\ displaystyle r ^ {n + 1}}$ $r ^ {{n + 1}}$ , anulați-vă reciproc, loc $r\neq 1$ ${\ displaystyle r \ neq 1}$ $r \ neq 1$ , putem împărți la (1- r ), obținând

\sum _{k=0}^{n}r^{k}={\frac {1-r^{n+1}}{1-r}}

{\ displaystyle \ sum _ {k = 0} ^ {n} r ^ {k} = {\ frac {1-r ^ {n + 1}} {1-r}}}

\ sum _ {{k = 0}} ^ {{n}} r ^ {k} = {\ frac {1-r ^ {{n + 1}}} {1-r}}

Deci, pentru orice eventualitate $|r|<1$ ${\ displaystyle | r | <1}$ $| r | <1$ , pentru $n\to \infty$ ${\ displaystyle n \ to \ infty}$ $n \ to \ infty$ da ai $r^{n}\to 0$ ${\ displaystyle r ^ {n} \ to 0}$ $r ^ {n} \ la 0$ , deci pentru o serie geometrică ( convergentă ) se poate scrie