Decadere exponențială

Reprezentarea grafică a dezintegrărilor cu constante de timp de 25, 5, 1, 1/5 și 1/25.

O cantitate este supusă decăderii exponențiale dacă scade cu o rată proporțională cu valoarea sa curentă.

Ecuația descompunerii exponențiale

Având în vedere o mărime a cărei valoare este N (t) la timpul t , decaderea exponențială în funcție de timp este exprimată prin ecuația diferențială

{\frac {dN(t)}{dt}}=-\lambda N(t).

{\ displaystyle {\ frac {dN (t)} {dt}} = - \ lambda N (t).}

{\ displaystyle {\ frac {dN (t)} {dt}} = - \ lambda N (t).}

unde λ este un număr numit constanta de descompunere .
Soluția acestei ecuații este: ^[1]

N(t)=N_{0}e^{-\lambda t}.

{\ displaystyle N (t) = N_ {0} și ^ {- \ lambda t}.}

{\ displaystyle N (t) = N_ {0} și ^ {- \ lambda t}.}

unde N ( t ) este cantitatea la momentul t , e $N_{0}=N(0)$ ${\ displaystyle N_ {0} = N (0)}$ ${\ displaystyle N_ {0} = N (0)}$ este cantitatea inițială, la momentul t = 0.

Alternativ puteți scrie

N(t)=N_{0}e^{-t/\tau }

{\ displaystyle N (t) = N_ {0} e ^ {- t / \ tau}}

{\ displaystyle N (t) = N_ {0} e ^ {- t / \ tau}}

unde este:

\tau ={\frac {1}{\lambda }}

{\ displaystyle \ tau = {\ frac {1} {\ lambda}}}

{\ displaystyle \ tau = {\ frac {1} {\ lambda}}}

se numește constantă de timp și este timpul necesar pentru a reduce cantitatea inițială cu aproximativ 63,21%.

Soluția ecuației diferențiale

Se poate scrie ecuația care descrie descompunerea exponențială

{\frac {dN(t)}{N(t)}}=-\lambda dt

{\ displaystyle {\ frac {dN (t)} {N (t)}} = - \ lambda dt}

{\ displaystyle {\ frac {dN (t)} {N (t)}} = - \ lambda dt}

prin integrare se obține

\ln N(t)=-\lambda t+C

{\ displaystyle \ ln N (t) = - \ lambda t + C}

{\ displaystyle \ ln N (t) = - \ lambda t + C}

unde C este constanta integrării și deci

N(t)=e^{C}e^{-\lambda t}=N_{0}e^{-\lambda t}

{\ displaystyle N (t) = e ^ {C} e ^ {- \ lambda t} = N_ {0} e ^ {- \ lambda t}}

{\ displaystyle N (t) = e ^ {C} e ^ {- \ lambda t} = N_ {0} e ^ {- \ lambda t}}

unde înlocuitorul final $N_{0}=e^{C}$ ${\ displaystyle N_ {0} = e ^ {C}}$ ${\ displaystyle N_ {0} = e ^ {C}}$ se obține prin evaluarea ecuației în timp $t=0$ ${\ displaystyle t = 0}$ $t = 0$ . Mai mult, λ este valoarea proprie a operatorului diferențial cu $N(t)$ ${\ displaystyle N (t)}$ ${\ displaystyle N (t)}$ funcționarea sa de sine . Dezintegrarea este măsurată în s ^-1 .

Viața medie

Având în vedere un set de elemente, al căror număr scade în timp pentru a deveni nul, durata medie de viață $\tau$ ${\ displaystyle \ tau}$ $\ tau$ este valoarea așteptată a timpului în care un element rămâne în ansamblu înainte de a fi eliminat din el.

Având în vedere cantitatea de articole

N(t)=N_{0}e^{-\lambda t}

{\ displaystyle N (t) = N_ {0} e ^ {- \ lambda t}}

{\ displaystyle N (t) = N_ {0} e ^ {- \ lambda t}}

avem:

1=\int _{0}^{\infty }c\cdot N_{0}e^{-\lambda t}\,dt=c\cdot {\frac {N_{0}}{\lambda }}

{\ displaystyle 1 = \ int _ {0} ^ {\ infty} c \ cdot N_ {0} e ^ {- \ lambda t} \, dt = c \ cdot {\ frac {N_ {0}} {\ lambda }}}

{\ displaystyle 1 = \ int _ {0} ^ {\ infty} c \ cdot N_ {0} e ^ {- \ lambda t} \, dt = c \ cdot {\ frac {N_ {0}} {\ lambda }}}

cu constanta de normalizare c :

c={\frac {\lambda }{N_{0}}}

{\ displaystyle c = {\ frac {\ lambda} {N_ {0}}}}

{\ displaystyle c = {\ frac {\ lambda} {N_ {0}}}}

Se observă că descompunerea exponențială este un multiplu al distribuției exponențiale , care are o valoare așteptată bine cunoscută. Utilizarea integrării pieselor:

\tau =\langle t\rangle =\int _{0}^{\infty }t\cdot c\cdot N_{0}e^{-\lambda t}\,dt=\int _{0}^{\infty }\lambda te^{-\lambda t}\,dt={\frac {1}{\lambda }}

{\ displaystyle \ tau = \ langle t \ rangle = \ int _ {0} ^ {\ infty} t \ cdot c \ cdot N_ {0} e ^ {- \ lambda t} \, dt = \ int _ {0 } ^ {\ infty} \ lambda te ^ {- \ lambda t} \, dt = {\ frac {1} {\ lambda}}}

{\ displaystyle \ tau = \ langle t \ rangle = \ int _ {0} ^ {\ infty} t \ cdot c \ cdot N_ {0} e ^ {- \ lambda t} \, dt = \ int _ {0 } ^ {\ infty} \ lambda te ^ {- \ lambda t} \, dt = {\ frac {1} {\ lambda}}}

Decadere în mai multe etape

O cantitate se poate descompune trecând prin două sau mai multe procese în același timp, care, în general, au probabilități diferite de apariție. Valoarea lui N este dată de suma căilor posibile și în cazul a două procese:

-{\frac {dN(t)}{dt}}=N\lambda _{1}+N\lambda _{2}=(\lambda _{1}+\lambda _{2})N.

{\ displaystyle - {\ frac {dN (t)} {dt}} = N \ lambda _ {1} + N \ lambda _ {2} = (\ lambda _ {1} + \ lambda _ {2}) N .}

{\ displaystyle - {\ frac {dN (t)} {dt}} = N \ lambda _ {1} + N \ lambda _ {2} = (\ lambda _ {1} + \ lambda _ {2}) N .}

Soluția este dată în paragraful anterior, unde suma de $\lambda _{1}+\lambda _{2}$ ${\ displaystyle \ lambda _ {1} + \ lambda _ {2}}$ ${\ displaystyle \ lambda _ {1} + \ lambda _ {2}}$ este tratată ca o nouă constantă totală de descompunere $\lambda _{c}$ ${\ displaystyle \ lambda _ {c}}$ ${\ displaystyle \ lambda _ {c}}$ .

N(t)=N_{0}e^{-(\lambda _{1}+\lambda _{2})t}=N_{0}e^{-(\lambda _{c})t}.

{\ displaystyle N (t) = N_ {0} e ^ {- (\ lambda _ {1} + \ lambda _ {2}) t} = N_ {0} e ^ {- (\ lambda _ {c}) t}.}

{\ displaystyle N (t) = N_ {0} e ^ {- (\ lambda _ {1} + \ lambda _ {2}) t} = N_ {0} e ^ {- (\ lambda _ {c}) t}.}

De cand $\tau =1/\lambda$ ${\ displaystyle \ tau = 1 / \ lambda}$ ${\ displaystyle \ tau = 1 / \ lambda}$ :

{\frac {1}{\tau _{c}}}=\lambda _{c}=\lambda _{1}+\lambda _{2}={\frac {1}{\tau _{1}}}+{\frac {1}{\tau _{2}}}

{\ displaystyle {\ frac {1} {\ tau _ {c}}} = \ lambda _ {c} = \ lambda _ {1} + \ lambda _ {2} = {\ frac {1} {\ tau _ {1}}} + {\ frac {1} {\ tau _ {2}}}}

{\ displaystyle {\ frac {1} {\ tau _ {c}}} = \ lambda _ {c} = \ lambda _ {1} + \ lambda _ {2} = {\ frac {1} {\ tau _ {1}}} + {\ frac {1} {\ tau _ {2}}}}

\tau _{c}={\frac {\tau _{1}\tau _{2}}{\tau _{1}+\tau _{2}}}.\,

{\ displaystyle \ tau _ {c} = {\ frac {\ tau _ {1} \ tau _ {2}} {\ tau _ {1} + \ tau _ {2}}}. \,

{\ displaystyle \ tau _ {c} = {\ frac {\ tau _ {1} \ tau _ {2}} {\ tau _ {1} + \ tau _ {2}}}. \,

Jumătate de viață

Un parametru caracteristic al descompunerii exponențiale este timpul de înjumătățire , definit ca timpul necesar reducerii cantității cu 50%. Este legată de constanta de timp prin formula:

t_{1/2}={\frac {\ln 2}{\lambda }}=\tau \ln 2

{\ displaystyle t_ {1/2} = {\ frac {\ ln 2} {\ lambda}} = \ tau \ ln 2}

{\ displaystyle t_ {1/2} = {\ frac {\ ln 2} {\ lambda}} = \ tau \ ln 2}

Formula se obține pornind de la legea dezintegrării radioactive:

N(t)=N_{0}e^{-\lambda t}

{\ displaystyle N (t) = N_ {0} e ^ {- \ lambda t}}

{\ displaystyle N (t) = N_ {0} e ^ {- \ lambda t}}

Definire $t_{1/2}$ ${\ displaystyle t_ {1/2}}$ ${\ displaystyle t_ {1/2}}$ în timp când numărul $N_{0}$ ${\ displaystyle N_ {0}}$ $N_ {0}$ este înjumătățit, apare:

N(t_{1/2})=N_{0}e^{-\lambda t_{1/2}}={\frac {N_{0}}{2}}

{\ displaystyle N (t_ {1/2}) = N_ {0} e ^ {- \ lambda t_ {1/2}} = {\ frac {N_ {0}} {2}}}

{\ displaystyle N (t_ {1/2}) = N_ {0} e ^ {- \ lambda t_ {1/2}} = {\ frac {N_ {0}} {2}}}

Explicând $t_{1/2}$ ${\ displaystyle t_ {1/2}}$ ${\ displaystyle t_ {1/2}}$ se obține formula de înjumătățire.

În cazul a două procese pe care le avem

T_{1/2}={\frac {t_{1}t_{2}}{t_{1}+t_{2}}}\,={\frac {\ln 2}{\lambda _{c}}}={\frac {\ln 2}{\lambda _{1}+\lambda _{2}}}

{\ displaystyle T_ {1/2} = {\ frac {t_ {1} t_ {2}} {t_ {1} + t_ {2}}} \, = {\ frac {\ ln 2} {\ lambda _ {c}}} = {\ frac {\ ln 2} {\ lambda _ {1} + \ lambda _ {2}}}}

{\ displaystyle T_ {1/2} = {\ frac {t_ {1} t_ {2}} {t_ {1} + t_ {2}}} \, = {\ frac {\ ln 2} {\ lambda _ {c}}} = {\ frac {\ ln 2} {\ lambda _ {1} + \ lambda _ {2}}}}

unde este $t_{1}$ ${\ displaystyle t_ {1}}$ $t_1$ este timpul de înjumătățire al primului proces, e $t_{2}$ ${\ displaystyle t_ {2}}$ $t_2$ a doua.

În cazul a trei procese, în cele din urmă:

T_{1/2}={\frac {t_{1}t_{2}t_{3}}{(t_{1}t_{2})+(t_{1}t_{3})+(t_{2}t_{3})}}={\frac {\ln 2}{\lambda _{c}}}={\frac {\ln 2}{\lambda _{1}+\lambda _{2}+\lambda _{3}}}

{\ displaystyle T_ {1/2} = {\ frac {t_ {1} t_ {2} t_ {3}} {(t_ {1} t_ {2}) + (t_ {1} t_ {3}) + (t_ {2} t_ {3})}}} = {\ frac {\ ln 2} {\ lambda _ {c}}} = {\ frac {\ ln 2} {\ lambda _ {1} + \ lambda _ {2} + \ lambda _ {3}}}}

{\ displaystyle T_ {1/2} = {\ frac {t_ {1} t_ {2} t_ {3}} {(t_ {1} t_ {2}) + (t_ {1} t_ {3}) + (t_ {2} t_ {3})}}} = {\ frac {\ ln 2} {\ lambda _ {c}}} = {\ frac {\ ln 2} {\ lambda _ {1} + \ lambda _ {2} + \ lambda _ {3}}}}

științele naturii

Într-o probă de radionuclizi care suferă o dezintegrare radioactivă cu care dobândește o stare diferită, numărul de atomi în starea inițială urmează o decădere exponențială.

Dacă un obiect la o temperatură este scufundat într-un mediu la o temperatură diferită, diferența de temperatură urmează o descompunere exponențială.

Circuit RC : sarcina electrică conținută într-un condensator încărcat C și plasată pe o rezistență R se descompune exponențial. În acest caz, constanta de timp este τ = R • C ^[2]

Notă

^ Giorgio Bendiscioli, Fenomene radioactive , Springer, ISBN 978-88-470-5452-3 . p. 5
^ Mazzoldi Paolo, Nigro Massimo, Cesare Voices, Physics (Volumul II) , EdiSES, ISBN 88-7959-152-5 . p. 188-190

Elemente conexe

Functie exponentiala

linkuri externe

( EN )Exponential Decay , în Encyclopedia Britannica , Encyclopædia Britannica, Inc.

Portalul de fizică

Portalul de matematică

[1] Giorgio Bendiscioli, Fenomene radioactive , Springer, ISBN 978-88-470-5452-3 . p. 5

[2] Mazzoldi Paolo, Nigro Massimo, Cesare Voices, Physics (Volumul II) , EdiSES, ISBN 88-7959-152-5 . p. 188-190

[1]

[2]