Solid platonic

În matematică , în special în geometria solidă , termenul solid platonic este sinonim cu solid regulat și cu poliedru regulat convex și indică un poliedru convex care are poligoane regulate congruente pentru fețe (adică exact superpozabile) și care are toate muchiile și vârfurile echivalente . Rezultă că unghiurile sale au, de asemenea , aceeași amplitudine.

Cele cinci poliedre regulate convexe (solide platonice)
tetraedru	hexaedru sau cub	octaedru	dodecaedru	icosaedru
( Model 3D )	( Model 3D )	( Model 3D )	( Model 3D )	( Model 3D )

Numele fiecărei figuri este derivat din numărul fețelor sale, respectiv 4, 6, 8, 12 și 20.

fundal

Modelul Kepler al sistemului solar folosind solide platonice

Regularitățile solidelor platonice sunt extraordinar de sugestive: acest lucru a însemnat că au fost studiate pe larg din cele mai vechi timpuri, căutând adesea semnificații ascunse în ele și atribuindu-le valori ezoterice .

Au fost studiate de Pitagora și Platon . Acesta din urmă, în Timeu , a asociat fiecăruia dintre ele unul dintre cele patru elemente : tetraedrul , focul , cubul pământul , tot aerul „ octaedrul l”, tot apa „ icosaedrul l”, ^[1] în timp ce în Fedon credea că dodecaedrul era forma universului : ^[2]

„Adevăratul pământ pentru cei care îl privesc de sus prezintă figura acelor bile de piele cu doisprezece pene, pestrițe, distincte în culoare”.

Platon a găsit în aceste solide prezența unei raționalități superioare ascunse în realitatea comună, atribuindu-le funcția de intermediari între perfecțiunea lumii hiperuranice și mutabilitatea fenomenelor naturale, ^[3] putând astfel să afirme că „Dumnezeu geometrizează întotdeauna ". ^[4]

Demonstrarea și construcția celor cinci poliedre regulate și descoperirea a două dintre ele: octaedrul și icosaedrul ^[5] ^[6] sunt atribuite lui Teeteto , discipol al matematicianului Teodor și elev al lui Platon .

Poliedrele regulate au fost apoi studiate de geometrii greco-alexandrieni. Construcția acestor solide este conținută în cea de-a treisprezecea carte a Elementelor lui Euclid . ^[7] Propoziția 13 descrie construcția tetraedrului regulat, propoziția 14 este dedicată octaedrului regulat, propunerea 15 cubului, propunerea 16 icosaedrului regulat și propunerea 17 dodecaedrului regulat.

Interesul pentru solidele platonice a fost, de asemenea, viu în rândul matematicienilor și artiștilor din Renaștere: Piero della Francesca (în tratatul De corporibus regularibus ), Luca Pacioli (care i-a inclus în De Divina Proportione ) și ulterior Niccolò Tartaglia și Rafael au studiat proprietățile lor metrice. Bombelli .

Kepler pur, în lucrarea sa Mysterium cosmographicum , a reluat, în termeni diferiți, investigația lui Platon asupra semnificației poliedrelor regulate în structura lumii: el a argumentat, de fapt, că poliedrele platonice erau strâns legate de proporțiile armonioase care îl caracterizează. . ^[8]

«Pământul este sfera care măsoară pe toate celelalte. Circumscrieți-i un dodecaedru: sfera care îl include va fi Marte [în sensul că conține orbita, care la acea vreme se credea încă circulară, a mișcării sale în jurul soarelui]. Circumscrieți un tetraedru către Marte: sfera care îl include va fi Jupiter. Circumscrieți un cub lui Jupiter: sfera care îl include va fi Saturn. Înscrie acum un icosaedru pe Pământ: sfera înscrisă pe el va fi Venus. Înscrieți un octaedru la Venus: sfera înscrisă la acesta va fi Mercur. Ai motivul numărului de planete "

Chiar și arta are numeroase referințe la solidele platonice: printre cele mai faimoase exemple, se numără Salvador Dalí (care a folosit-o în Corpus Hypercubus și în Ultima Sa cină , așezat într-un dodecaedru ) și Maurits Cornelis Escher , care a exploatat proprietățile sale geometrice pentru a realiza unele a teselelor sale.

De ce sunt doar cinci?

Poliedrele regulate nu pot fi mai mari de cinci.

Dovadă cu unghiul

{3.3} Defect de 180 °	{3.4} Defect de 120 °	{3.5} Defect de 60 °	{3.6} Defect de 0 °
{4.3} Defect de 90 °	{4.4} Defect de 0 °	{5.3} Defect de 36 °	{6.3} Defect de 0 °

Numai triunghiul echilateral , pătratul și pentagonul regulat pot fi fețe ale poliedrelor regulate. Explicația ne este dată de Euclid în Elementele :

În fiecare vârf trebuie să convergă cel puțin trei fețe (de fapt, nu există colțuri formate din unul sau doi poligoane).
În orice angoloid suma unghiurilor fețelor care o delimitează trebuie să fie mai mică decât un unghi rotund, altfel figura este plană; cantitatea care lipsește pentru a forma 360 ° este definită ca un defect .
Deoarece sunt necesare cel puțin trei fețe pentru fiecare unghi și deoarece sunt poligoane regulate, fiecare vârf al fiecărei fețe poate contribui la unghiul cu maxim 360 ° ÷ 3 = 120 °.
Poligoanele cu șase sau mai multe laturi au unghiuri mai mari sau egale cu 120 °, prin urmare numai triunghiul, pătratul și pentagonul pot forma solide platonice. Fiecare dintre aceste figuri se comportă diferit:
1. Fețele triunghiulare: unghiurile unui triunghi echilateral au lățimea de 60 °, deci 3, 4 sau 5 triunghiuri pot insista asupra unui vârf al solidului; se formează tetraedrul, octaedrul și respectiv icosaedrul.
2. Fețele pătrate: unghiurile unui pătrat au o lățime de 90 °, prin urmare este posibil să se întâlnească 3 fețe într-un vârf (3 x 90 = 270) pentru a obține un cub .
3. Fețele pentagonale: fiecare colț al unui pentagon obișnuit măsoară 108 °. Prin urmare, este posibil să se întâlnească 3 fețe într-un vârf (3 x 108 = 324) obținând un dodecaedru regulat .

Astfel se obțin cele cinci solide platonice posibile. ^[9]

Dovadă geometrică

Este posibil să se arate că nu există mai mult de cinci poliedre regulate, chiar pornind de la relația Euler . Dat fiind un poliedru cu fețe F , fiecare dintre ele fiind un poligon regulat cu n laturi și în care, la fiecare vârf, se întâlnesc r muchii, care sunt în total S.

Înmulțind numărul laturilor fiecărei fețe cu numărul fețelor poliedrului obținem dublul totalității muchiilor (fiecare margine este numărată de două ori, o dată pe prima față și o dată pe fața atașată la prima pentru acea margine):

nF=2S

{\ displaystyle nF = 2S}

nF = 2S

în plus, totalitatea muchiilor înmulțite cu două este egal cu numărul de vârfuri V înmulțit cu numărul r de muchii care se întâlnesc în ele, deoarece fiecare margine conectează două vârfuri între ele:

rV=2S

{\ displaystyle rV = 2S}

rV = 2S

așa că primești

F={\frac {2S}{n}}

{\ displaystyle F = {\ frac {2S} {n}}}

F = {\ frac {2S} {n}}

V={\frac {2S}{r}}

{\ displaystyle V = {\ frac {2S} {r}}}

V = {\ frac {2S} {r}}

și înlocuind aceste valori în caracteristica Euler-Poincaré :

V+F-S=2

{\ displaystyle V + FS = 2}

V + F-S = 2

{\frac {2S}{r}}+{\frac {2S}{n}}-S=2

{\ displaystyle {\ frac {2S} {r}} + {\ frac {2S} {n}} - S = 2}

{\ frac {2S} {r}} + {\ frac {2S} {n}} - S = 2

și, împărțind la 2S , ajungem la

{\frac {1}{r}}+{\frac {1}{n}}-{\frac {1}{2}}={\frac {1}{S}}

{\ displaystyle {\ frac {1} {r}} + {\ frac {1} {n}} - {\ frac {1} {2}} = {\ frac {1} {S}}}

{\ frac {1} {r}} + {\ frac {1} {n}} - {\ frac {1} {2}} = {\ frac {1} {S}}

Atât n cât și r trebuie să fie mai mari sau egale cu trei, deoarece un poligon trebuie să aibă cel puțin trei laturi și cel puțin trei laturi trebuie să se întâlnească la vârful fiecăruia dintre colțurile unui poliedru.

Mai mult, n și r nu pot fi ambele egale cu patru, deoarece în acest caz primul membru al ecuației ar fi egal cu 0, în timp ce 1 / S este pozitiv. Dacă n și r au fost simultan mai mari de trei, S ar trebui să fie negativ; această posibilitate este deci exclusă și cel puțin una trebuie să fie trei.

Dacă n = 3, avem

{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{r}}-{\frac {1}{2}}={\frac {1}{S}}

{\ displaystyle {\ frac {1} {3}} + {\ frac {1} {r}} - {\ frac {1} {2}} = {\ frac {1} {S}}}

{\ frac {1} {3}} + {\ frac {1} {r}} - {\ frac {1} {2}} = {\ frac {1} {S}}

{\frac {1}{r}}-{\frac {1}{6}}={\frac {1}{S}}

{\ displaystyle {\ frac {1} {r}} - {\ frac {1} {6}} = {\ frac {1} {S}}}

{\ frac {1} {r}} - {\ frac {1} {6}} = {\ frac {1} {S}}

și, prin urmare, r poate fi egal cu 3, 4 sau 5, cazuri care corespund respectiv tetraedrului , octaedrului și icosaedrului .

În mod similar, dacă r = 3, atunci n poate lua doar valorile 3, 4 sau 5. Putem arunca 3 deoarece l-am luat în considerare în cazul anterior; rămân cazurile 4 și 5, care corespund cubului și dodecaedrului .

Nu există alte cazuri posibile și, prin urmare, există cel mult cinci poliedre regulate.

Proprietăți combinatorii

Un poliedru convex este un solid platonic dacă:

toate fețele sale sunt poligoane regulate convexe congruente;
niciuna dintre fețele sale nu se intersectează cu celelalte, cu excepția marginilor;
același număr de fețe se întâlnesc la fiecare vârf.

Fiecare solid platonic poate fi, de asemenea, caracterizat printr-o notație { p , q }

p = numărul de laturi ale fiecărei fețe (sau numărul de vârfuri ale fiecărei fețe) e

q = numărul de fețe întâlnite la fiecare vârf (sau numărul de margini întâlnite la fiecare vârf).

Acronimul { p , q }, numit notație Schläfli , oferă o descriere combinatorie a poliedrului. Notarea lui Schläfli este explicată în tabelul de mai jos.

Poliedru	Vârfuri	Margini	Fețe	Notare Schläfli	Poziţie a vârfurilor
tetraedru	4	6	4	{3, 3}	3.3.3
cub	8	12	6	{4, 3}	4.4.4
octaedru	6	12	8	{3, 4}	3.3.3.3
dodecaedru	20	30	12	{5, 3}	5.5.5
icosaedru	12	30	20	{3, 5}	3.3.3.3.3

Proprietăți metrice ale solidelor platonice

Următorul tabel grupează unele dintre principalele proprietăți metrice ale solidelor platonice, măsura marginii unui poliedru fiind setată egală cu $d$ ${\ displaystyle d}$ $d$ .

Nume	Raza sferei			Suprafaţă	Volum
Nume	Înscris	Circumscris	Tangente marginile	Suprafaţă	Volum
Tetraedru	${\frac {\sqrt {6}}{12}}d$ ${\ displaystyle {\ frac {\ sqrt {6}} {12}} d}$ ${\ frac {{\ sqrt {6}}} {12}} d$	${\frac {\sqrt {6}}{4}}d$ ${\ displaystyle {\ frac {\ sqrt {6}} {4}} d}$ ${\ frac {{\ sqrt {6}}} {4}} d$	${\frac {\sqrt {2}}{4}}d$ ${\ displaystyle {\ frac {\ sqrt {2}} {4}} d}$ ${\ frac {{\ sqrt {2}}} {4}} d$	${\sqrt {3}}d^{2}$ ${\ displaystyle {\ sqrt {3}} d ^ {2}}$ ${\ sqrt {3}} d ^ {2}$	${\frac {\sqrt {2}}{12}}d^{3}$ ${\ displaystyle {\ frac {\ sqrt {2}} {12}} d ^ {3}}$ ${\ frac {{\ sqrt {2}}} {12}} d ^ {3}$
cub	${\frac {1}{2}}d$ ${\ displaystyle {\ frac {1} {2}} d}$ ${\ frac {1} {2}} d$	${\frac {\sqrt {3}}{2}}d$ ${\ displaystyle {\ frac {\ sqrt {3}} {2}} d}$ ${\ frac {{\ sqrt {3}}} {2}} d$	${\frac {\sqrt {2}}{2}}d$ ${\ displaystyle {\ frac {\ sqrt {2}} {2}} d}$ ${\ frac {{\ sqrt {2}}} {2}} d$	$6d^{2}$ ${\ displaystyle 6d ^ {2}}$ $6d ^ {2}$	$d^{3}$ ${\ displaystyle d ^ {3}}$ $d ^ {3}$
Octaedru	${\frac {\sqrt {6}}{6}}d$ ${\ displaystyle {\ frac {\ sqrt {6}} {6}} d}$ ${\ frac {{\ sqrt {6}}} {6}} d$	${\frac {\sqrt {2}}{2}}d$ ${\ displaystyle {\ frac {\ sqrt {2}} {2}} d}$ ${\ frac {{\ sqrt {2}}} {2}} d$	${\frac {1}{2}}d$ ${\ displaystyle {\ frac {1} {2}} d}$ ${\ frac {1} {2}} d$	$2{\sqrt {3}}d^{2}$ ${\ displaystyle 2 {\ sqrt {3}} d ^ {2}}$ $2 {\ sqrt {3}} d ^ {2}$	${\frac {\sqrt {2}}{3}}d^{3}$ ${\ displaystyle {\ frac {\ sqrt {2}} {3}} d ^ {3}}$ ${\ frac {{\ sqrt {2}}} {3}} d ^ {3}$
Dodecaedru	${\frac {1}{20}}{\sqrt {(10(25+11{\sqrt {5}})}}d$ ${\ displaystyle {\ frac {1} {20}} {\ sqrt {(10 (25 + 11 {\ sqrt {5}})}} d}$ ${\ frac {1} {20}} {\ sqrt {(10 (25 + 11 {\ sqrt {5}})}} d$	${\frac {\sqrt {3}}{4}}(1+{\sqrt {5}})d$ ${\ displaystyle {\ frac {\ sqrt {3}} {4}} (1 + {\ sqrt {5}}) d}$ ${\ frac {{\ sqrt {3}}} {4}} (1 + {\ sqrt {5}}) d$	${\frac {1}{4}}(3+{\sqrt {5}})d$ ${\ displaystyle {\ frac {1} {4}} (3 + {\ sqrt {5}}) d}$ ${\ frac {1} {4}} (3 + {\ sqrt {5}}) d$	$3{\sqrt {25+10{\sqrt {5}}}}d^{2}$ ${\ displaystyle 3 {\ sqrt {25 + 10 {\ sqrt {5}}}} d ^ {2}}$ $3 {\ sqrt {25 + 10 {\ sqrt {5}}}} d ^ {2}$	${\frac {1}{4}}(15+7{\sqrt {5}})d^{3}$ ${\ displaystyle {\ frac {1} {4}} (15 + 7 {\ sqrt {5}}) d ^ {3}}$ ${\ frac {1} {4}} (15 + 7 {\ sqrt {5}}) d ^ {3}$
Icosaedru	${\frac {\sqrt {3}}{12}}(3+{\sqrt {5}})d$ ${\ displaystyle {\ frac {\ sqrt {3}} {12}} (3 + {\ sqrt {5}}) d}$ ${\ frac {{\ sqrt {3}}} {12}} (3 + {\ sqrt {5}}) d$	${\frac {1}{4}}{\sqrt {(10+2{\sqrt {5}})}}d$ ${\ displaystyle {\ frac {1} {4}} {\ sqrt {(10 + 2 {\ sqrt {5}})}}} d}$ ${\ frac {1} {4}} {\ sqrt {(10 + 2 {\ sqrt {5}})}} d$	${\frac {1}{4}}(1+{\sqrt {5}})d$ ${\ displaystyle {\ frac {1} {4}} (1 + {\ sqrt {5}}) d}$ ${\ frac {1} {4}} (1 + {\ sqrt {5}}) d$	$5{\sqrt {3}}d^{2}$ ${\ displaystyle 5 {\ sqrt {3}} d ^ {2}}$ $5 {\ sqrt {3}} d ^ {2}$	${\frac {5}{12}}(3+{\sqrt {5}})d^{3}$ ${\ displaystyle {\ frac {5} {12}} (3 + {\ sqrt {5}}) d ^ {3}}$ ${\ frac {5} {12}} (3 + {\ sqrt {5}}) d ^ {3}$

Unghiuri între fețele poliedrelor obișnuite (utile pentru construirea de modele cu materiale cu grosime deloc neglijabilă)

Pentru cub - soluție banală - unghi de 90 °

Pentru celelalte poliedre, soluția poate fi obținută considerând unul dintre vârfuri ca fiind cuspida unei piramide drepte regulate care are ca bază poligonul obținut prin îmbinarea vârfurilor adiacente cu cel ales anterior și evaluarea unghiului β dintre înălțimi conduse către aceeași margine laterală a acestei piramide.

Tetraedru: → β ≈ 70 °, 53 ≈ 70 ° 32 '

Octahedron: → β ≈ 109 °, 47 ≈ 109 ° 28 '

Dodecaedru: → β ≈ 116 °, 57 ≈ 116 ° 34 '

Icosaedru: → β ≈ 138 °, 19 ≈ 138 ° 11 '

Dualitatea și simetriile solidelor platonice

Dualitatea poliedrică , adică transfigurarea unui poliedru într-un al doilea poliedru care prezintă respectiv vârfurile, muchiile și fețele corespunzătoare fețelor, muchiilor și vârfurilor primului și care prezintă relațiile de incidență consecvente între aceste trei tipuri de obiecte, este o involuție care transformă tetraedrele în tetraedre și schimbă cuburi cu octaedre și dodecaedre cu icosaedre.

Regularitatea ridicată a solidelor platonice se reflectă în faptul că fiecare dintre ele are un grup extins de simetrie asociat. Aceste grupuri pot fi considerate subgrupuri ale grupurilor de simetrie de vârf sau grupurile de simetrie de margine sau grupurile de simetrie a feței. Grupurile de simetrie a două solide platonice duale sunt izomorfe: de fapt prin dualitate permutările vârfurilor unui poliedru devin permutări ale fețelor poliedrului dual (în timp ce permutările marginilor unui poliedru devin permutări ale marginilor dualului ).

Grupul de simetrie al tetraedrului este indicat cu T _d , grupul de simetrie al cubului și octaedrului cu O _h , grupul de simetrie al icosaedrului și dodecaedrul cu I _h .

Solidele și cristalele platonice

Unele cristale iau forma unor solide obișnuite: de exemplu, clorura de sodiu , sarea obișnuită de masă, este aranjată în cristale cubice, în timp ce fluorura de calciu , adică fluoritul , apare sub forma octaedrelor regulate. Există, de asemenea, multe cristale care sunt aranjate după compoziții și variante ale solidelor platonice; acest lucru este echivalent cu a spune că rețelele de cristal respective prezintă proprietăți de simetrie marcate. Aceste proprietăți joacă un rol fundamental în clasificarea lor.

Notă

^ Giovanni Reale, Pentru o nouă interpretare a lui Platon , 2003, p. 678, ISBN 88-343-1036-5 .
^ Platon, Phaedo , 110b.
^ Vincenzo Schettino, Știință și artă: chimie, arte figurative și literatură , pag. 15 , Firenze University Press, 2014.
^ Citat atribuit lui Platon de Plutarh în Quaestiones convivales , VIII 2 ( Moralia 718c-720c).
^ Teeteto www.treccani.it Adus pe 20-02-2012
^(EN) George Johnston Allman , Greek Geometry from Thales to Euclid, Hodges, Figgis, & Company, 1889, p. 206.
^ Quadrivium. Număr, geometrie, muzică, astronomie , Sironi Editore, 2011, p. 144, ISBN 88-518-0169-X .
^ Massimo Corradi, Cele patru elemente: aer, apă, pământ și foc , 2008, p. 64, ISBN 1-4092-2642-5 .
^ Solidele platonice , pe gpmeneghin.com . Adus pe 21 mai 2016 .

Elemente conexe

Alte proiecte

Wikimedia Commons conține imagini sau alte fișiere pe solide platonice

linkuri externe

Solid platonic , în Dicționar de filosofie , Institutul Enciclopediei Italiene , 2009.
( EN ) Solid platonic , în Encyclopedia Britannica , Encyclopædia Britannica, Inc.
Construirea celor 5 solide platonice prin utilizarea unui software numeric
Stella: Polyhedron Navigator Instrument pentru explorarea poliedrelor
Pagină Modele de hârtie a poliedrelor plină de link-uri
Sugestii de istorie pe poliedre obișnuite ( PDF ), pe matematica.unito.it .
Câteva imagini ale poliedrelor obișnuite , pe mathita.it .
( RO ) Poliedrele uniforme , pe mathconsult.ch .
( EN ) Poliedre de realitate virtuală în Enciclopedia poliedrelor
( EN ) London South Bank University Structura și comportamentul apei
( RO ) Cartea XIII a Elementelor lui Euclid

Controlul autorității	Thesaurus BNCF 22329 · GND (DE) 4046302-3

Portalul de filosofie

Portalul de matematică

[1] Giovanni Reale, Pentru o nouă interpretare a lui Platon , 2003, p. 678, ISBN 88-343-1036-5 .

[2] Platon, Phaedo , 110b.

[3] Vincenzo Schettino, Știință și artă: chimie, arte figurative și literatură , pag. 15 , Firenze University Press, 2014.

[4] Citat atribuit lui Platon de Plutarh în Quaestiones convivales , VIII 2 ( Moralia 718c-720c).

[5] Teeteto www.treccani.it Adus pe 20-02-2012

[allen-6] (EN) George Johnston Allman , Greek Geometry from Thales to Euclid, Hodges, Figgis, & Company, 1889, p. 206.

[7] Quadrivium. Număr, geometrie, muzică, astronomie , Sironi Editore, 2011, p. 144, ISBN 88-518-0169-X .

[8] Massimo Corradi, Cele patru elemente: aer, apă, pământ și foc , 2008, p. 64, ISBN 1-4092-2642-5 .

[9] Solidele platonice , pe gpmeneghin.com . Adus pe 21 mai 2016 .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]