Defect (geometrie)

În geometrie , defectul unui vârf al unui poliedru este cantitatea care lipsește din suma unghiurilor fețelor din jurul vârfului pentru a forma un unghi rotund .

Dacă suma unghiurilor depășește unghiul rotund, așa cum se întâmplă pentru multe (nu toate) poliedre neconvexe, atunci defectul este negativ. Dacă un poliedru este convex, atunci defectele tuturor vârfurilor sale sunt pozitive.

Teorema lui Descartes afirmă că suma defectelor vârfurilor unui poliedru este întotdeauna $4\pi$ ${\ displaystyle 4 \ pi}$ $4 \ pi$ .

Conceptul de defect se extinde la dimensiunile superioare ca fiind cantitatea de care suma hiperanglelor hiperfacelor dintr-un vârf al unui politop are nevoie pentru a ajunge la unghiul rotund.

Exemple

Calculul defectului într-un solid platonic este simplu. De exemplu, 3 pentagone regulate gravează pe fiecare vârf al dodecaedrului . Fiecare dintre acestea contribuie la 108 °. Prin urmare, defectul este de 360 ° - (108 ° + 108 ° + 108 °) = 36 °.

Tip	Număr de vârfuri	Fețe pe fiecare vârf	Defect al fiecărui vârf	Defect total
tetraedru	4	Trei triunghiuri echilaterale	$\pi$ ${\ displaystyle \ pi}$ $\ pi$	$4\pi$ ${\ displaystyle 4 \ pi}$ $4 \ pi$
octaedru	6	Patru triunghiuri echilaterale	${2\pi \over 3}$ ${\ displaystyle {2 \ pi \ over 3}}$ ${\ displaystyle {2 \ pi \ over 3}}$	$4\pi$ ${\ displaystyle 4 \ pi}$ $4 \ pi$
cub	8	Trei pătrate	${\pi \over 2}$ ${\ displaystyle {\ pi \ over 2}}$ ${\ displaystyle {\ pi \ over 2}}$	$4\pi$ ${\ displaystyle 4 \ pi}$ $4 \ pi$
icosaedru	12	Cinci triunghiuri echilaterale	${\pi \over 3}$ ${\ displaystyle {\ pi \ over 3}}$ ${\ displaystyle {\ pi \ over 3}}$	$4\pi$ ${\ displaystyle 4 \ pi}$ $4 \ pi$
dodecaedru	20	Trei pentagone regulate	${\pi \over 5}$ ${\ displaystyle {\ pi \ peste 5}}$ ${\ displaystyle {\ pi \ peste 5}}$	$4\pi$ ${\ displaystyle 4 \ pi}$ $4 \ pi$

Teorema lui Descartes

Teorema lui Descartes ^[1] afirmă că suma defectelor vârfurilor unui poliedru este întotdeauna $4\pi$ ${\ displaystyle 4 \ pi}$ $4 \ pi$ , adică 720 °. Pentru ca acest rezultat să se mențină, poliedrul nu trebuie să fie convex . Cu toate acestea, trebuie să fie un poliedru obișnuit „fără găuri”: marginea acestuia trebuie să fie homeomorfă pentru o sferă (și nu pentru suprafețe mai complicate, cum ar fi torul ).

Teorema lui Descartes poate fi interpretată ca un caz particular al teoremei Gauss-Bonnet , care raportează integralul curburii Gauss. $K.$ ${\ displaystyle K}$ $K.$ a unei suprafețe $S.$ ${\ displaystyle S}$ $S.$ cu caracteristica sa Euler $\chi$ ${\ displaystyle \ chi}$ $\care$ prin intermediul formulei

\int _{S}K=2\pi \chi \,\!.

{\ displaystyle \ int _ {S} K = 2 \ pi \ chi \, \!.}

{\ displaystyle \ int _ {S} K = 2 \ pi \ chi \, \!.}

Poliedre cu defecte pozitive

În acest context, suprafața este marginea poliedrului, curbura sa gaussiană în punctele interne ale fețelor este zero, deoarece acestea sunt plate și este, de asemenea, zero în punctele interne ale marginilor, deoarece este posibil să se deplaseze local două fețe adiacente cu o mișcare rigidă astfel încât să se întindă pe același plan. O operație care în general nu este posibilă la vârfuri: în acestea există de fapt o curbură egală cu defectul. Integrala curburii în acest caz este deci redusă la o sumă de defecte și observând că sfera are $\chi =2$ ${\ displaystyle \ chi = 2}$ ${\ displaystyle \ chi = 2}$ obținem că suma defectelor este $4\pi$ ${\ displaystyle 4 \ pi}$ $4 \ pi$ .

Defectul poliedrelor neconvexe

Un poliedru convex are peste tot defecte pozitive. Cu toate acestea, afirmația opusă este falsă: un poliedru cu defecte pozitive peste tot nu este neapărat convex. De exemplu, în figura următoare: figura superioară (obținută prin plasarea unei piramide pătrate deasupra unui cub ) este convexă și, prin urmare, are toate defectele pozitive. Cifra inferioară nu este convexă, dar singurul vârf neconvex are același defect ca și vârful piramidei prezent în figura superioară.

Notă

^ Descartes, René, "Progymnasmata de solidorum elementis", în Oeuvres de Descartes , vol. X, pp. 265-276

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică

[1] Descartes, René, "Progymnasmata de solidorum elementis", în Oeuvres de Descartes , vol. X, pp. 265-276

[1]