Octaedru

Tip

Solid platonic

Formați fețele

Triunghiuri

Nº fețe

8

Nr. De margini

12

Numărul de vârfuri

6

Valențe în partea de sus

4

Notația Wythoff

4 | 2 3

Notare Schläfli

{3.4}
r {3.3}

Diagrama Coxeter-Dynkin

Grup de simetrie

S_{4}\times \mathbb {Z} _{2}

{\ displaystyle S_ {4} \ times \ mathbb {Z} _ {2}}

{\ displaystyle S_ {4} \ times \ mathbb {Z} _ {2}}

Dual

cub

Proprietate

nu chirale

Politopi înrudiți

Figura din partea de sus

Poliedru dual

Planificarea dezvoltării

Manual

Model 3D (în format .stl ) al unui octaedru

În geometria solidă , octaedrul este un poliedru cu opt fețe triunghiulare . Octaedrul regulat este unul dintre cele cinci solide platonice , ale căror fețe sunt triunghiuri echilaterale . Are șase vârfuri și douăsprezece margini .

Suprafață și volum

Zona $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ suprafață și volum $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ a octaedrului regulat a cărui margine are lungime $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ iar diagonala are lungime $d=a{\sqrt {2}}$ ${\ displaystyle d = a {\ sqrt {2}}}$ ${\ displaystyle d = a {\ sqrt {2}}}$ sunt date de:

A=2{\sqrt {3}}a^{2}\approx 3,46410162a^{2}.

{\ displaystyle A = 2 {\ sqrt {3}} a ^ {2} \ approx 3.46410162a ^ {2}.}

{\ displaystyle A = 2 {\ sqrt {3}} a ^ {2} \ approx 3.46410162a ^ {2}.}

V={1 \over 6}d^{3}={\frac {1}{3}}{\sqrt {2}}a^{3}\approx 0,471404521a^{3}.

{\ displaystyle V = {1 \ over 6} d ^ {3} = {\ frac {1} {3}} {\ sqrt {2}} a ^ {3} \ approx 0.471404521a ^ {3}.}

{\ displaystyle V = {1 \ over 6} d ^ {3} = {\ frac {1} {3}} {\ sqrt {2}} a ^ {3} \ approx 0.471404521a ^ {3}.}

Volumul este de 4 ori mai mare decât al unui tetraedru obișnuit cu muchii lungi $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ , în timp ce suprafața este dublă (deoarece este formată din 8 triunghiuri echilaterale , față de 4 ale tetraedrului)

Unghiul diedru al octogonului regulat este arc cos (-1/3), aproximativ egal cu 109,47122 °.

Coordonatele carteziene

Un octaedru regulat în spațiul euclidian $\mathbb {R} ^{3}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {3}}$ $\ R ^ 3$ poate fi tradus astfel încât să aibă centrul în origine și, după rotații și asemănări corespunzătoare, are cele 6 vârfuri în

(\pm 1,0,0),

{\ displaystyle (\ pm 1,0,0),}

{\ displaystyle (\ pm 1,0,0),}

(0,\pm 1,0),

{\ displaystyle (0, \ pm 1.0),}

{\ displaystyle (0, \ pm 1.0),}

(0,0,\pm 1).

{\ displaystyle (0,0, \ pm 1).}

{\ displaystyle (0,0, \ pm 1).}

Construcția lui Euclid

Fig. 1: determinarea colțului AC al octaedrului înscris în sfera cu diametrul AB

Fig. 2: construcția octaedrului

În cartea XIII a Elementelor sale, Euclid descrie metoda pentru inscrierea unui octaedru regulat într-o sferă cu un anumit diametru. Construcția descrisă de Euclid este următoarea:

Este $LA B.$ ${\ displaystyle AB}$ $AB$ (vezi Fig. 1) diametrul sferei date; găsiți punctul său de mijloc $D.$ ${\ displaystyle D}$ $D.$ și desenează un semicerc în centru $D.$ ${\ displaystyle D}$ $D.$ și raza $D. LA$ ${\ displaystyle DA}$ ${\ displaystyle DA}$ . Ridicați perpendicularul din $D.$ ${\ displaystyle D}$ $D.$ , determinați punctul $C.$ ${\ displaystyle C}$ $C.$ pe circumferință și conectați în cele din urmă punctele $LA C.$ ${\ displaystyle AC}$ $B.C$ Și $C. B.$ ${\ displaystyle CB}$ $CB$ .

Replicați aceeași construcție pe cele trei etaje care trec $LA B.$ ${\ displaystyle AB}$ $AB$ cu unghi diedru de 90 °, 180 ° și 270 ° în raport cu planul inițial (Fig. 2). În cele din urmă, urmăriți conexiunile dintre puncte $C. ȘI, ȘI F., F. G.$ ${\ displaystyle CE, EF, FG}$ ${\ displaystyle CE, EF, FG}$ Și $G. C.$ ${\ displaystyle GC}$ ${\ displaystyle GC}$ .

Este clar că partea de sus $LA, C., ȘI, F.$ ${\ displaystyle A, C, E, F}$ ${\ displaystyle A, C, E, F}$ Și $G.$ ${\ displaystyle G}$ $G.$ se găsesc pe semicercurile construite pe diametru $LA B.$ ${\ displaystyle AB}$ $AB$ , deci sunt toate pe suprafața sferei de diametru egal. Pentru construcție marginile care încep de la vârfuri $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ Și $B.$ ${\ displaystyle B}$ $B.$ sunt egali între ei; dar și marginile $C. ȘI, ȘI F., F. G.$ ${\ displaystyle CE, EF, FG}$ ${\ displaystyle CE, EF, FG}$ Și $G. C.$ ${\ displaystyle GC}$ ${\ displaystyle GC}$ au aceeași lungime: de fapt toate marginile octaedrului sunt ipotenuza unui triunghi dreptunghic ale cărui picioare sunt raze ale sferei.

În ceea ce privește raportul dintre diametrul sferei și marginea octaedrului înscris, conform teoremei pitagoreice pătratul construit pe margine este dublu față de pătratul construit pe raza sferei; în consecință, pătratul construit pe diametru este dublu față de pătratul construit pe margine.

Poliedru dual

Poliedrul dual al octaedrului regulat este cubul .

Simetriile

Octaedrul are 24 de simetrii de rotație , adică păstrează orientarea spațiului, plus alte 24 de simetrii care nu îl păstrează. Prin urmare , grupul de simetrie al octaedrului este format dintr-un total de 48 de elemente.

Subgrupul dat de cele 24 de rotații este izomorf pentru grup $S_{4}$ ${\ displaystyle S_ {4}}$ $S_ {4}$ a permutațiilor a 4 elemente. De fapt, există exact o rotație care realizează fiecare posibilă permutare a celor 4 perechi de fețe opuse.

Grupul total de simetrie este izomorf pentru produs $S_{4}\times \mathbb {Z} /2\mathbb {Z}$ ${\ displaystyle S_ {4} \ times \ mathbb {Z} / 2 \ mathbb {Z}}$ ${\ displaystyle S_ {4} \ times \ mathbb {Z} / 2 \ mathbb {Z}}$ din $S_{4}$ ${\ displaystyle S_ {4}}$ $S_ {4}$ cu un grup ciclic cu 2 elemente.

Teselări

O teselare a spațiului cu octaedre și tetraedre.

Detaliul teselării.

Octaedrul regulat nu generează în sine o teselare a spațiului , deoarece unghiurile sale diedre nu sunt divizoare de 360 °. Cu toate acestea, generează unul în combinație cu tetraedrul , așa cum se arată în figură.

Elemente conexe

Alte proiecte

Wikimedia Commons conține imagini sau alte fișiere pe octaedru obișnuit

Bipiramide regulate n -gonale:
Bipiramida	Bipiramida digonală	Bipiramida triunghiulară (Vezi: J ₁₂ )	Bipiramida pătrată (Vezi: O )	Bipiramida pentagonală (Vezi: J ₁₃ )	Bipiramida hexagonală	Bipiramida heptagonală	Bipiramida octogonală	Bipiramida enagonală	Bipiramida decagonală	...	Bipiramida apirogonală
Imagine a poliedrului										...
Imagine de teselare sferică										Imagine a teselării podelei
Incidenţă	V2.4.4	V3.4.4	V4.4.4	V5.4.4	V6.4.4	V7.4.4	V8.4.4	V9.4.4	V10.4.4	...	V∞.4.4
Diagrama Coxeter-Dynkin										...

Controlul autorității	GND ( DE ) 4338158-3

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică