Notația Wythoff
În geometrie , notația Wythoff este o secvență de numere și simboluri utilizate pentru a reprezenta construcția Wythoff a unui poliedru uniform sau a unei teselări a planului pornind de la un triunghi Schwarz . Introdusă pentru prima dată de Coxeter, Longuet-Higgins și Miller în enumerarea poliedrelor uniforme, notația lui Wythoff a fost apoi urmată de diagrame Coxeter , dezvoltate pentru a marca politopi și teselări spațiale uniforme într-un spațiu n-dimensional realizat pornind de la un simplex de bază. [1]
În special, notația Wythoff este formată din 3 numere și o bară verticală și ambele poliedre uniforme diferite și teselări diferite pot fi reprezentate de mai mult de una dintre aceste secvențe, aceasta în virtutea faptului că unghiurile triunghiului Schwarz pe care se află se bazează construcția unor astfel de poliedre poate avea valori diferite. De exemplu, cu notația lui Wythoff, un cub poate fi reprezentat ca 3 | 2 4, dacă este construit pornind de la un punct de pe vârful P al unui triunghi sferic PQR având unghiuri interne de amplitudine π / 3, π / 2 și π / 4; ca 2 4 | 2, dacă este construit pornind de la un punct situat de-a lungul laturii PQ și opus vârfului „R” al unui triunghi sferic cu unghiuri interne de amplitudine π / 2, π / 4 și π / 2; și în final ca 2 2 2 |, dacă este construit pornind de la un punct plasat în centrul unui triunghi sferic cu unghiuri interne de amplitudine π / 2, π / 2 și π / 2. [2]
Cu o extensie mică, notația lui Wythoff poate fi aplicată tuturor poliedrelor uniforme, cu toate acestea, diferitele construcții Wythoffiene nu conduc la realizarea tuturor teselărilor uniforme posibile fie ale spațiului euclidian, fie hiperbolic.
Descriere
Construcția Wythoff începe de la alegerea unui punct generator pe un triunghi Schwarz. Dacă distanța acestui punct de cel puțin una dintre laturi nu este zero, atunci punctul trebuie ales astfel încât să fie în centrul triunghiului; în acest moment se trasează o linie perpendiculară între punctul de generare și fiecare parte pe care nu se află.
Cele trei numere prezente în notație, p , q și r , reprezintă unghiurile triunghiului Schwarz utilizat în construcție, având amplitudini de π ⁄ p , π ⁄ q și respectiv π ⁄ r radieni . Bara verticală specifică poziția punctului generatorului în triunghiul de pornire după cum urmează:
- p | q r indică faptul că generatorul se află pe vârful p ,
- p q | r indică faptul că generatorul se află pe partea dintre vârfurile p și q ,
- p q r | indică faptul că generatorul se află pe centrul triunghiului.
În această notație, oglinzile imaginare plasate pe cele trei laturi ale triunghiului sunt indicate în conformitate cu ordinea de reflectare a vârfului opus, astfel, valorile p , q și r sunt listate înainte de bara verticală dacă oglinda corespunzătoare este activă.
Un caz special este cel al notației "| p q r ", care indică cazul în care toate oglinzile sunt active, dar imaginile utilizate pentru construcția poliedrului sunt rezultatul unor reflexii uniforme. Rezultatul este, printre altele, că figura construită are, în acest caz, doar o simetrie de rotație.
Notarea Wythoff este similară din punct de vedere funcțional cu diagrama Coxeter-Dynkin mai generică, în care fiecare nod reprezintă o oglindă și arcurile dintre noduri, însoțite de numere, reprezintă unghiurile dintre oglinzi, cu excepția cazului în care unghiul este drept, caz în care arcul este omis și în care un cerc mic este plasat în jurul unuia dintre noduri dacă punctul de generare nu este pe oglindă.
Exemple de teselări sferice, euclidiene și hiperbolice pornind de la un triunghi dreptunghiular sferic
Triunghiurile de bază sunt desenate în culori alternante ca imagini în oglindă. Secvența triunghiurilor ( p 3 2) se modifică în funcție de faptul dacă considerăm o suprafață sferică ( p = 3, 4, 5), euclidiană ( p = 6) sau hiperbolică ( p ≥ 7). Teselările hiperbolice sunt prezentate ca proiecție pe un disc Poincaré . [3]
| Notația Wythoff | q | p 2 | 2 q | p | 2 | p q | 2 p | q | p | q 2 | p q | 2 | p q 2 | | | p q 2 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Diagrama Coxeter-Dynkin |     | | | | | | |  |
| Incidența managementului de vârf | p q | q .2 p .2 p | p . q . p . q | p .2 q .2 q | q p | p . 4. q .4 | 4,2 p .2 q | 3.3. p . 3. q |
| Triunghiuri fundamentale | Formă regulată | Formă trunchiată | Formă rectificată | Formă bitronată | Formă dublă | Formă bontă | Formă omnitroncată | Forma snub |
(4 3 2) | 3 | 4 2 4 3 | 2 3 | 4 3.8.8 | 2 | 4 3 3.4.3.4 | 2 4 | 3 4.6.6 | 4 | 3 2 3 4 | 4 3 | 2 3.4.4.4 | 4 3 2 | 4.6.8 | | 4 3 2 3.3.3.3.4 |
(5 3 2) | 3 | 5 2 5 3 | 2 3 | 5 3.10.10 | 2 | 5 3 3.5.3.5 | 2 5 | 3 5.6.6 | 5 | 3 2 3 5 | 5 3 | 2 3.4.5.4 | 5 3 2 | 4.6.10 | | 5 3 2 3.3.3.3.5 |
(6 3 2) | 3 | 6 2 6 3 | 2 3 | 6 3.12.12 | 2 | 6 3 3.6.3.6 | 2 6 | 3 6.6.6 | 6 | 3 2 3 6 | 6 3 | 2 3.4.6.4 | 6 3 2 | 4.6.12 | | 6 3 2 3.3.3.3.6 |
(7 3 2) | 3 | 7 2 7 3 | 2 3 | 7 3.14.14 | 2 | 7 3 3.7.3.7 | 2 7 | 3 7.6.6 | 7 | 3 2 3 7 | 7 3 | 2 3.4.7.4 | 7 3 2 | 4.6.14 | | 7 3 2 3.3.3.3.7 |
(8 3 2) | 3 | 8 2 8 3 | 2 3 | 8 3.16.16 | 2 | 8 3 3.8.3.8 | 2 8 | 3 8.6.6 | 8 | 3 2 3 8 | 8 3 | 2 3.4.8.4 | 8 3 2 | 4.6.16 | | 8 3 2 3.3.3.3.8 |
(∞ 3 2) | 3 | ∞ 2 ∞ 3 | 2 3 | ∞ 3.∞.∞ | 2 | ∞ 3 3.∞.3.∞ | 2 ∞ | 3 ∞.6.6 | ∞ | 3 2 3 ∞ | ∞ 3 | 2 3.4.∞.4 | ∞ 3 2 | 4.6.∞ | | ∞ 3 2 3.3.3.3.∞ |
Notă
- ^ Harold Scott Macdonald Coxeter, Michael Selwyn Longuet-Higgins și JCP Miller, Uniform Polyhedra , în Philosophical Transactions of The Royal Society , vol. 246, nr. 916, The Royal Society Publishing, 1954. Adus la 6 iunie 2021 .
- ^ Harold Scott MacDonald Coxeter, Wythoff's Construction for Uniform Polytopes , în Proceedings of the London Mathematical SocieTY , s2-38, n. 1, 1935, pp. 327-39. Adus la 6 iunie 2021 .
- ^ Don Hatch, Teselări planare hiperbolice , la plunk.org , Plunk. Adus la 6 iunie 2021 .
