Dodecaedru

Dodecaedru

Tip	Solid platonic
Formați fețele	Pentagonele
Nº fețe	12
Nr. De margini	30
Numărul de vârfuri	20
Valențe în partea de sus	3
Grup de simetrie	$A_{5}\times \mathbb {Z} _{2}$ ${\ displaystyle A_ {5} \ times \ mathbb {Z} _ {2}}$ ${\ displaystyle A_ {5} \ times \ mathbb {Z} _ {2}}$
Dual	Icosaedru
Proprietate	nu chirale
Manual

Model 3D (în format .stl ) al unui dodecaedru

În geometria solidă , dodecaedrul este un poliedru cu douăsprezece fețe. Cu toate acestea, acest termen se referă, în general, la dodecaedrul regulat : în dodecaedrul regulat fețele sunt pentagone regulate care se întâlnesc în grupuri de trei la fiecare vârf .

Solid platonic

Dodecaedrul regulat este unul dintre cele cinci solide platonice . Prin urmare, are un număr mare de simetrii . Are 20 de vârfuri și 30 de margini. Poliedrul său dual este icosaedrul , care este și un solid platonic.

Suprafață și volum

Aria și volumul unui dodecaedru a cărui margine are lungime $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ sunt date respectiv de:

A=3a^{2}{\sqrt {25+10{\sqrt {5}}}},

{\ displaystyle A = 3a ^ {2} {\ sqrt {25 + 10 {\ sqrt {5}}}},}

{\ displaystyle A = 3a ^ {2} {\ sqrt {25 + 10 {\ sqrt {5}}}},}

V={\begin{matrix}{1 \over 4}\end{matrix}}(15+7{\sqrt {5}})a^{3}.

{\ displaystyle V = {\ begin {matrix} {1 \ over 4} \ end {matrix}} (15 + 7 {\ sqrt {5}}) a ^ {3}.}

{\ displaystyle V = {\ begin {matrix} {1 \ over 4} \ end {matrix}} (15 + 7 {\ sqrt {5}}) a ^ {3}.}

sau prin aproximare:

V=7{,}663a^{3}

{\ displaystyle V = 7 {,} 663a ^ {3}}

{\ displaystyle V = 7 {,} 663a ^ {3}}

Construcția lui Euclid

Fig. 1: construcția unui pentagon a cărui diagonală AD coincide cu marginea unui cub

Fig. 2: aplicarea celor doisprezece pentagone pe marginile cubului

În cartea XIII a Elementelor sale, Euclid descrie metoda de înscriere a unui dodecaedru regulat într-o sferă cu un anumit diametru. Construcția se bazează pe faptul că, alegând 8 din cele 20 de vârfuri ale unui dodecaedru regulat, acestea sunt și vârfurile unui cub înscris în aceeași sferă. Construcția lui Euclid este după cum urmează:

Înscriem un cub în sfera dată și luăm în considerare două fețe adiacente, ABCD și ADEF, ale acestui cub (vezi Fig. 1). Atunci să fie T, G, L, W și M punctele medii ale EF, AD, BC, AB și respectiv CD și R și J punctele medii ale GT și GL. În cele din urmă, trageți cercul cu raza KM și centrul K, determinând astfel punctul H. Cu raza HJ și centrul în J determinați punctele P și N pe segmentul MW. Atunci să fie H cel mai apropiat de G între cele două puncte de intersecție dintre circumferință și GL; se poate verifica că H împarte GJ în „rațiune medie și extremă”, adică este astfel încât raportul dintre HJ și GJ este secțiunea aurie . În cele din urmă, să fie S punctul GT astfel încât GS = GH.

Trasați raza de ieșire din S și perpendicular pe fața ADEF și determinați punctul razei X la o distanță JH (= SR) de S. Faceți același lucru din punctele P și N (de data aceasta față de fața ABCD), determinând punctele Y și Z. Punctele A, D, X, Y, Z vor forma vârfurile unei fețe a pentagonului.

Urmând instrucțiunile de construcție de mai sus, Euclid demonstrează cu un raționament îndelungat că punctele X, Y și Z, împreună cu punctele A și D, sunt vârfurile unuia dintre pentagoanele regulate care alcătuiesc dodecaedrul (ale cărui laturi sunt desenate în roșu) ). Iată câteva sugestii:

În primul rând, este necesar să se demonstreze că cele cinci puncte indicate sunt coplanare, ceea ce poate fi verificat cu ușurință privind proiecția laterală care apare în partea dreaptă jos în figura 1. În această figură doar punctele aparținând planului care trece prin liniile TG și GL (punctul U este punctul mediu al laturii YZ a pentagonului). Segmentele de lungime a și b au fost obținute ca secțiunea aurie a segmentului a + b (jumătate din marginea cubului); ținând cont de definiția clasică a secțiunii aurii a: b = b: a + b, este imediat că triunghiurile GSX și GJU sunt similare, prin urmare unghiurile ε sunt egale între ele. În consecință, segmentele XG și GU sunt aliniate pe o singură linie și, astfel, cele cinci puncte ale pentagonului se află pe un singur plan.

Faptul că cele cinci laturi ale pentagonului sunt egale între ele poate fi verificat prin aplicarea teoremei lui Pitagora ; în acest sens, este suficient să se verifice dacă YZ este egal cu oricare dintre celelalte laturi, care sunt neapărat egale între ele: de fapt, fiecare dintre laturile ZD, DX, XA și AY se dovedește a fi diagonală a unui paralelipiped a cărui muchiile sunt a, b și a + b (relativ la latura ZD: marginile paralelipipedului de care este diagonală sunt a = MN, b = NZ și a + b = DM).

În cele din urmă, este necesar să se verifice dacă unghiurile interne ale pentagonului sunt egale între ele și acest lucru poate fi dovedit indirect, din nou datorită teoremei pitagoreice. De fapt, se poate verifica că distanțele fiecărui vârf față de punctul central Q al sferei (precum și ale cubului și dodecaedrului) sunt toate egale între ele și de aici rezultă că vârfurile pentagonului sunt pe o circumferință al cărei centru este punctul de proiecție Q pe planul pentagonului AYZBX: prin urmare, pentagonul însuși, având laturi și vârfuri egale pe o circumferință, este regulat. Dar faptul că distanțele vârfurilor pentagonului de la centrul Q al sferei sunt la fel demonstrează și că vârfurile pentagonului se află pe suprafața sferei în care urmează să fie înscris dodecaedrul.

În acest moment, pentru a obține dodecaedrul, repetați aceeași construcție pentru cele 11 fețe rămase, așa cum se arată în figura 2.

Istorie

Dodecaedru roman

La fel ca celelalte solide platonice , dodecaedrul a făcut obiectul studiului filosofilor încă din cele mai vechi timpuri. Cunoașterea despre proprietățile și calitățile asociate acestui solid a fost un secret. Atât de mult încât filosoful grec al lui Metapont Ippaso, pentru simplul fapt de a fi menționat figura, a fost acuzat de impietate.

Alții au devenit interesați de figura geometrică, inclusiv personalități importante precum Pitagora și Platon . Acesta din urmă, în Timeu , a asociat câte un element fiecăruia dintre cele 5 solide platonice: după foc, pământ, aer și apă, dodecaedrului i s-a atribuit „eterul” sau „chintesența” care alcătuia corpurile cerești și sufletul. Potrivit filosofului, cosmosul avea forma dodecaedrului.

Cerul înstelat reprezentat pe suprafața unui dodecaedru obișnuit este publicat de Richard A. Proctor în al său

„Un atlas stelar pentru bibliotecă, școală și observator. Afișând 6.000 de stele și 1.500 de obiecte de interes, în douăsprezece hărți circulare pe proiecția echidistantă; cu două plăci indexate colorate, în pozițiile lor relative corespunzătoare, incluzând toate stelele la a cincea magnitudine și cifrele constelației ... Londra 1874 "

Vezi:

http://www.atlascoelestis.com/Proctor%201874%20Pagina%20base.htm?fbclid=IwAR3gVp9GntMaJwrxeBQYS0Hu0HdbFCvFGyCEqvSHrfGAHLbUBhMIPI4rL7c

Aceste considerații ar putea sta la baza înțelegerii așa-numitului dodecaedru roman, un obiect prezent în diverse muzee și asupra căruia încă ne întrebăm despre funcția sa reală.

Poliedru dual

Poliedrul dual al dodecaedrului este icosaedrul .

Simetriile

Dodecaedrul are 120 de simetrii . Prin urmare , grupul de simetrie al icosaedrului este format din 120 de elemente: este izomorf pentru produs $A_{5}\times \mathbb {Z} /_{2\mathbb {Z} }$ ${\ displaystyle A_ {5} \ times \ mathbb {Z} / _ {2 \ mathbb {Z}}}$ ${\ displaystyle A_ {5} \ times \ mathbb {Z} / _ {2 \ mathbb {Z}}}$ a grupului alternativ $A_{5}$ ${\ displaystyle A_ {5}}$ $A_ {5}$ de ordine $5!/2=60$ ${\ displaystyle 5! / 2 = 60}$ ${\ displaystyle 5! / 2 = 60}$ și a grupului ciclic de ordinul 2. Cele 60 de rotații formează subgrupul $A_{5}\times \{0\}$ ${\ displaystyle A_ {5} \ times \ {0 \}}$ ${\ displaystyle A_ {5} \ times \ {0 \}}$ , anunț izomorf $A_{5}$ ${\ displaystyle A_ {5}}$ $A_ {5}$ .

Cele 60 de rotații sunt de diferite tipuri:

Rotație 360/5 = 72 ° (adică $2\pi /5$ ${\ displaystyle 2 \ pi / 5}$ ${\ displaystyle 2 \ pi / 5}$ radiani ) în jurul unei axe care unește centrele a două fețe opuse;
Rotație 360/3 = 120 ° (adică $2\pi /3$ ${\ displaystyle 2 \ pi / 3}$ ${\ displaystyle 2 \ pi / 3}$ radiani) în jurul unei axe care unește două vârfuri opuse;
Rotație 360/2 = 180 ° (adică $\pi$ ${\ displaystyle \ pi}$ $\ pi$ radiani) în jurul unei axe care unește punctele medii ale două margini opuse.

Pe lângă acestea, există și rotațiile obținute prin compunerea unei rotații de-a lungul aceleiași axe de mai multe ori: în acest fel este posibil, de exemplu, să se obțină unghiurile 72 °, 144 °, 216 ° și 288 ° într-o rotație de primul tip. Așa că sunt $6\times 4=24$ ${\ displaystyle 6 \ times 4 = 24}$ ${\ displaystyle 6 \ times 4 = 24}$ rotații de primul tip ( $4$ ${\ displaystyle 4}$ $4$ unghiuri posibile pentru fiecare dintre cele 6 perechi de fețe opuse), $2\times 10=20$ ${\ displaystyle 2 \ times 10 = 20}$ ${\ displaystyle 2 \ times 10 = 20}$ rotații de al doilea tip ( $2$ ${\ displaystyle 2}$ $2$ unghiuri 120 ° și 240 ° pentru fiecare dintre cele 10 perechi de vârfuri opuse) e $15$ ${\ displaystyle 15}$ $15$ rotații de al treilea tip. In total, $24+20+15=59$ ${\ displaystyle 24 + 20 + 15 = 59}$ ${\ displaystyle 24 + 20 + 15 = 59}$ , la care trebuie adăugată identitatea pentru a obține un total de $60$ ${\ displaystyle 60}$ $60$ .

O dezvoltare a dodecaedrului

Icosaedrul are același grup de simetrii. Alte solide au acest grup de simetrie: printre ele, icosaedrul trunchiat , care modelează mingea de fotbal .

Alte proprietăți

3-colorare (a graficului) marginilor unui dodecaedru.

Graficul vârfurilor și al marginilor unui dodecaedru sunt 3-colorabile , dar nu și ale fețelor, care este doar 4-colorable.

Elemente conexe

Alte proiecte

Wikționarul conține dicționarul lema « dodecaedru »
Wikimedia Commons conține imagini sau alte fișiere pe dodecaedru

linkuri externe

( EN ) Dodecahedron , în Encyclopedia Britannica , Encyclopædia Britannica, Inc.

Controlul autorității	GND ( DE ) 4347205-9

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică