Dodecaedru rombic auriu

Dodecaedru rombic auriu

Tip	Zonoedru echilateral
Formați fețele	Romburi aurii congruente
Nº fețe	12
Nr. De margini	24
Numărul de vârfuri	14
Valențe în partea de sus	3; 4
Manual

Dodecaedrul rombic auriu (sau dodecaedrul rombic de al doilea tip , pentru al distinge de dodecaedrul rombic de primul tip, care este un solid al catalanului ), este un poliedru cu toate aceleași fețe în formă de romb auriu. Un romb auriu este un romb ale cărui diagonale sunt în raportul 1 / φ, unde φ este așa-numitul număr de aur :

\varphi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\approx 1{,}61803

{\ displaystyle \ varphi = {\ frac {1 + {\ sqrt {5}}} {2}} \ approx 1 {,} 61803}

{\ displaystyle \ varphi = {\ frac {1 + {\ sqrt {5}}} {2}} \ approx 1 {,} 61803}

Fețele dodecaedrului rombic de primul tip sunt în schimb „romburi Maraldi”, adică romburi în care diagonalele sunt în relație ${\frac {1}{\sqrt {2}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {1} {\ sqrt {2}}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {1} {\ sqrt {2}}}}$ .

Caracteristici

Dodecaedru auriu rombic: tipologie unghiulară a vârfurilor.

Dodecaedrul auriu rombic este compus din:

12 fețe rombice aurii la fel;
24 de margini la fel;
14 vârfuri.

Dintre cele 14 vârfuri, se evidențiază următoarele:

8 vârfuri cu valența 3 (confluența a 3 margini);
6 vârfuri cu valența 4 (confluența a 4 muchii).

Numite α unghiurile obtuze și β unghiurile acute ale rombului auriu care alcătuiesc cele 12 fețe ale dodecaedrului rombic auriu (vezi imaginea din lateral), cele 14 vârfuri ale acestuia sunt împărțite în:

4 vârfuri cu valența 3 de tip ααα
4 vârfuri cu valența 3 de tip ααβ
4 vârfuri cu valența 4 de tip αβββ
2 vârfuri cu valența 4 de tip ββββ

Caracteristicile rombului de aur

Raportul diagonalelor este aproximativ egal cu

${\frac {d_{1}}{d_{2}}}=\varphi \approx 1{,}61803$ ${\ displaystyle {\ frac {d_ {1}} {d_ {2}}} = \ varphi \ approx 1 {,} 61803}$ ${\ displaystyle {\ frac {d_ {1}} {d_ {2}}} = \ varphi \ approx 1 {,} 61803}$

Unghiurile α și β sunt egale cu

$\alpha =2\arctan \varphi \approx 116,56505\approx 116^{\circ }\,33'\,54''$ ${\ displaystyle \ alpha = 2 \ arctan \ varphi \ approx 116.56505 \ approx 116 ^ {\ circ} \, 33 '\, 54' '}$ ${\ displaystyle \ alpha = 2 \ arctan \ varphi \ approx 116.56505 \ approx 116 ^ {\ circ} \, 33 '\, 54' '}$

$\beta =2\arctan {\frac {1}{\varphi }}\approx 63,43495\approx 63^{\circ }\,26'\,06''$ ${\ displaystyle \ beta = 2 \ arctan {\ frac {1} {\ varphi}} \ approx 63.43495 \ approx 63 ^ {\ circ} \, 26 '\, 06' '}$ ${\ displaystyle \ beta = 2 \ arctan {\ frac {1} {\ varphi}} \ approx 63.43495 \ approx 63 ^ {\ circ} \, 26 '\, 06' '}$

Comparație cu dodecaedrul rombic de primul tip

Dodecaedru rombic de primul tip: tipologie unghiulară a vârfurilor.

Dodecaedrul rombic auriu este puțin cunoscut și rareori menționat în publicațiile de geometrie. Pentru a înțelege mai bine structura prezentată mai sus, este util să o comparăm cu cea a mult mai cunoscutului dodecaedru rombic de primul tip .

Acesta din urmă, care aparține familiei solidelor catalane , poliedre duale ale solidelor arhimedeice , prezintă mult mai multă simetrie decât omologul său de aur. Este, de exemplu, inscriptibil într-o sferă, ceea ce nu este cazul dodecaedrului rombic auriu.

Dodecaedrul rombic auriu are același număr de fețe, margini, vârfuri și, chiar, aceleași valențe ca vârfurile dodecaedrului rombic de primul tip . Prin urmare, diferențele trebuie căutate în diferite tipologii unghiulare (mult mai uniforme) ale vârfurilor acestuia din urmă:

8 vârfuri cu valența 3 de tip ααα
6 vârfuri cu valența 4 de tip ββββ

Evident, trebuie amintit că, în acest caz, unghiurile α și β sunt cele ale rombului Maraldi care are următoarele caracteristici:

${\frac {d_{1}}{d_{2}}}={\sqrt {2}}\approx 1,41421$ ${\ displaystyle {\ frac {d_ {1}} {d_ {2}}} = {\ sqrt {2}} \ approx 1.41421}$ ${\ displaystyle {\ frac {d_ {1}} {d_ {2}}} = {\ sqrt {2}} \ approx 1.41421}$

$\alpha =2\arctan {\sqrt {2}}\approx 109,47122\approx 109^{\circ }\,28'\,16''$ ${\ displaystyle \ alpha = 2 \ arctan {\ sqrt {2}} \ approx 109,47122 \ approx 109 ^ {\ circ} \, 28 '\, 16' '}$ ${\ displaystyle \ alpha = 2 \ arctan {\ sqrt {2}} \ approx 109,47122 \ approx 109 ^ {\ circ} \, 28 '\, 16' '}$

$\beta =2\arctan {\frac {1}{\sqrt {2}}}\approx 70,52878\approx 70^{\circ }\,31'\,44''$ ${\ displaystyle \ beta = 2 \ arctan {\ frac {1} {\ sqrt {2}}} \ approx 70,52878 \ approx 70 ^ {\ circ} \, 31 '\, 44' '}$ ${\ displaystyle \ beta = 2 \ arctan {\ frac {1} {\ sqrt {2}}} \ approx 70,52878 \ approx 70 ^ {\ circ} \, 31 '\, 44' '}$

Zonoedre rombice și hipercuburi

Dodecaedrul rombic auriu este un zonoedru echilateral. Aparține unei serii de zonoedre rombice echilaterale care include romboedrul de aur (6 fețe), dodecaedrul de aur rombic (12 fețe), icosaedrul rombic (20 de fețe), triacontahedronul rombic (30 de fețe) și, în continuare, zonoedrul 42 -face, 56-față, 72-fețe, 90-fețe rombic și așa mai departe.

Aceste zonoedre sunt interesante în studiul hipercuburilor deoarece reprezintă învelișul extern al proiecției, pe un spațiu tridimensional adecvat, al hipercuburilor începând cu a treia dimensiune.

În general, un hipercub de dimensiune n este proiectat pe un spațiu tridimensional conform unui zonoedru al cărui anvelopă externă este un poliedru cu n × (n - 1) fețe rombice.

De exemplu, dodecaedrul auriu rombic reprezintă anvelopa externă a proiecției tridimensionale a unui hipercub 4D, de fapt 4 × (4 - 1) = 12 fețe.

Pentru o mai mare precizie, trebuie adăugat că, conform teoremei intersecției dimensionale , un hipercub de dimensiune n nu poate fi proiectat pe un spațiu de dimensiune mai mic decât n-1 (de exemplu, un cub 3D nu poate fi proiectat pe o linie 1D) . Proiecția pe un spațiu tridimensional al unui hipercub cu o dimensiune mai mare de 4 trebuie deci înțeleasă ca seria proiecțiilor succesive n-3 ale politopului pe spații cu o dimensiune inferioară (de exemplu icosaedrul rombic rezultă din proiecție a unui hipercub 5D pe un spațiu 4D adecvat și din proiecția ulterioară a politopului 4D obținut pe un spațiu 3D adecvat).
Dodecaedrul rombic de primul tip reprezintă, de asemenea, anvelopa externă a proiecției tridimensionale a unui hipercub 4D, dar prezintă o simetrie mai mare decât dodecaedrul auriu rombic, deoarece rezultă dintr-o proiecție ortoaxială , adică efectuată în funcție de direcția diagonala hipercubului 4D pe un spațiu 3D ortogonal cu diagonala însăși.

Bibliografie

Henry M. Cundy, AP Rollett, Modelele matematice , traducere de Pietro Canetta, Milano, Feltrinelli, 1974.
Maria Dedò, Forme, simetrie și topologie , Bologna, Decibel și Zanichelli , 1999, ISBN 88-08-09615-7 .

Elemente conexe

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică

Alte proiecte

Wikimedia Commons conține imagini sau alte fișiere pe Dodecaedrul Golden Rhombic