Icosaedru rombic
| Icosaedru rombic | |
|---|---|
 | |
| Tip | Poliedru convex |
| Formați fețele | Diamante egale |
| Nº fețe | F = 20 |
| Nr. De margini | S = 40 |
| Numărul de vârfuri | V = 22 |
| Valențe în partea de sus | VAL = 3.4.5 |
| Dual | Pentatrirombohedron elipsoidal |
În geometria icosaedrului rombic, [Pltp.22.40.20], cunoscut și sub numele de icosaedru auriu, pentru caracteristica particulară a fețelor, este un poliedru convex, obișnuit, echilateral, echiedro, care nu trebuie să fie inscripționat, formă de rotație elipsoidală , ale căror fețe sunt romburi identice.
Icozaedrul rombic, ca și romboedrul (care include cubul ) și dodecaedrul rombic , pe lângă faptul că fac parte din clasa poliedrelor rombice (împreună cu triacontahedronul rombic ), sunt singurii poliedri care aparțin unei clase poliedrice mai complexe cu rombic se confruntă cu grupuri egale, ale căror caracteristici generale sunt: ordine: par, familie: elipsoidală, subfamilie: aplatizat (parametru de deformare: [g] = ½√ (9-3√5) ) - specie: pentagonală, descrisă în [1] și în [2] .
Poliedrul corespunde Zonoedrului 5 ( poliedru convex în care fiecare față este un poligon cu simetrie centrală , care este invariant în raport cu o rotație de 180 ° cu centrul într-unul din punctele sale interne (centrul poligonului)).
Icosaedrul rombic a fost definit și studiat în 1885 de matematicianul rus ES Fedorov (1853-1919).
Caracteristici
- [Pltp.22.40.20] în context este interpus într-un pachet de [n + 1 = 6] plane paralele , [p0], [p1], [p2], [p3], [p4], [p5], echidistant unul de celălalt, perpendicular pe axa [G = G0ˉG5] a poliedrului.
- Planurile [p0] și [p5] interceptează fiecare un vârf (turlă) al poliedrului.
- Planurile [p1] și [p4] interceptează fiecare cinci vârfuri ale poliedrului, care sunt vârfurile unui pentagon regulat al laturii [d].
- Planurile [p2] și [p3] interceptează fiecare cinci vârfuri ale poliedrului care sunt vârfurile unui pentagon regulat al laturii [D].
- [Pltp.22.40.20] în sine este inserat (parțial inscripționat) într-un elipsoid de rotație a jumătății axelor [a], [b], [c = b], a cărui axă de rotație este axa [G = G0ˉG5] a poliedrului.
- Doar cele douăsprezece vârfuri ale poliedrului interceptate de planurile [p0], [p2], [p3] și [p5] aparțin elipsoidului, în timp ce cele zece vârfuri interceptate de planurile [p1] și [p4] rămân în interiorul elipsoidului , scapa usor de suprafata asta.
- Dualitate - [Pltp.22.40.20] în context este dual al poliedrului elipsoidal Pentatrirombohedron , [Pltp.20.40.22], care, în terminologia generală, ar putea fi numit Antiprism tritrapezoid pentagonal , adică având, pentru Fețe:
- N ° .2 [n = 5] -agoni regulat, n °. [2n = 10] Trapezoizi , care, în cazul specific, sunt Rombi și n. [N (n - 3) = 10] Triunghiuri isosceli care, în cazul specific, sunt triunghiuri echilaterale.
- Notă - Toate „antiprism tritrapezoide triunghiular corespund l“ octoedrului , în timp ce toate „antiprism tritrapezoide patrulateră le corespunde cuboctahedron .
Relevanță cantitativă
- N ° Vârfuri: V = 22.
- N ° muchii: S = 40, de lungime egală.
- N ° Fețe: F = 20 - Diamante egale.
- Valența vârfurilor (numărul de muchii care se referă la același vârf): VAL1 = 2, VAL2 = 10, VAL3 = 10.
- N ° Cuspizi : [K3] = 22, din care: [K3] 1) = 2 ( Baza : pentagon regulat sferic) - [K3] 2) = 10 ( Baza : triunghi sferic echilateral) - [K3] 3) = 10 ( Baza : trapezoid sferic).
Relevanță dimensională
Diagonalele [D] și [d] fiecărei fețe sunt în Raportul de aur ( de asemenea , numit Proporția de aur sau Proporția Divină). Segmentul [d] se numește „ secțiunea de aur a lui [D] ”, în timp ce segmentul [D] este denumit „ extensia de aur a lui [d] ”. Adică relația este valabilă:
- [D] / [d] = [d] / [D - d] , prin urmare:
- [d] = ½ ((√5) –1) × [D] , sau.: [D] = ½ ((√5) +1) × [d] .
Această determinare este realizată prin laborioase calcule geometrice algebrice, trigonometrice și analitice, care oferă următoarele dimensiuni:
- Lungimea laturii feței.: [L] .
- Numărul de laturi ale poligonului de referință .: [N = 5] .
- Cea mai lungă lungime diagonală a feței.:
- [D] = [(1/5) √ (50 + 10√5)] × [L] .
- Lungimea diagonală mică a feței.:
- [d] = [(1/5) √ (50-10√5)] × [L] .
- Unghiurile de amplitudine [α] și [β] ale feței.:
- arcsen [α / 2] = [d / 2] , arcsen [β / 2] = [D / 2] , din care:
- [α] = 63,42 ° = 63 ° 25 ' , [β] = 116,58 ° = 116 ° 35' .
- Distanța dintre avioanele de grindă.:
- [H] = ((1/5) √5)) × [L] .
- Lungimea axei poliedrului.:
- [G = G0ˉG5] = 5 [H] = (√5) × [L] .
- Ecuația elipsoidului de rotație .:
- x² / [a] ² + y² / [b] ² + z² / [c] ² = 1 , unde:
- [a] = ½ (√5) × [L] .
- [b] = [c] = (√ ((5/12) (3 + √5))) × [L] .
- Indicele de deformare ( zdrobirea fiind <1).:
- [g] = [a / b] = ½√ (9–3√5) = 0,75694 <1 .
Șablon
Construcția, atât a modelului din carton sau alt material (tencuială, lut etc.), cât și a modelului de sârmă a scheletului esențial (vârfuri și margini) ale poliedrului, nu prezintă dificultăți deosebite.
Bibliografie
- [Bibl.1] - Henry M. Cundy și AP Rollett, Modelele matematice , Milano, Feltrinelli, 1974.
- [Bibl.2] - Maria Dedò, Forme, simetrie și topologie , Bologna, Decibel și Zanichelli, 1999, ISBN 88-08-09615-7 .
- [Bibl.3] -, Jocuri de inteligență (Espana: Juegos de ingenio ) - N ° .90 , Milano, Fabbri, 2008, ISSN 1723-9184.
