Incidența managementului de vârf

De la Wikipedia, enciclopedia liberă.
Salt la navigare Salt la căutare
Icosidodecahedron.png
Icosidodecaedru		 Icosidodecaedru vertfig etichetat.png
Figura de sus reprezentată ca
3.5.3.5 sau (3.5) 2

În geometrie , incidența vertexului este o notație utilizată pentru a reprezenta figura la vârful unui poliedru sau teselare și, mai general, al unui politop , ca o succesiune de fețe în jurul unui vârf . Deoarece există un singur tip de vârf într-un poliedru uniform , incidența vârfurilor descrie complet poliedrul; un poliedru chiral , pe de altă parte, poate fi descris cu aceeași incidență ca vârfurile imaginii sale reflectate.

Folosind această notație, numită și „notația Cundy și Rollett”, un poliedru este reprezentat ca o succesiune de numere reprezentând numărul de margini ale fețelor care înconjoară vârful. Notarea „abcd”, deci, descrie un vârf care are 4 fețe în jurul său, adică un vârf de valență 4, fețe cu un număr de laturi egal cu a , b , c și d . Secvența „3.5.3.5”, de exemplu, indică un vârf împărțit de patru fețe, în special triunghiuri și pentagone alternante: o incidență a vârfurilor care definește un icosidodecaedru . Notarea este ciclică și, prin urmare, are aceeași semnificație chiar și cu puncte de plecare diferite, prin urmare scrierea 3.5.3.5 este echivalentă cu scrierea 5.3.5.3, în timp ce termenii săi nu sunt comutativi și nu pot fi schimbați: 3.3.5.5 este de fapt diferit de 3.5. 3.5, deoarece primul are două triunghiuri urmate de două pentagone. [1] [2]

Cifre în partea de sus

Incidența vertexului poate fi, de asemenea, reprezentată ca o figură de vârf poligonală care arată fețele din jurul vârfului. În general, o figură la vârf are o structură tridimensională, de fapt, având în vedere un vârf, nu este sigur că toate vârfurile adiacente se află pe același plan, cu toate acestea această ultimă condiție este respectată în cazul uniformei poliedre astfel încât, în cazul lor, figura plană rezultată să poată fi utilizată pentru a reprezenta vizual incidența vârfurilor.

Variații și utilizări

Incidența vârfurilor poate fi exprimată ca o succesiune de numere separate printr-un punct (.) Sau o virgulă (,). Elementele repetate pot fi colectate între paranteze, cu vârful, de câte ori apar în succesiune, prin urmare secvența menționată mai sus 3.5.3.5 poate fi reprezentată și ca (3.5) 2 .

Această notație poate fi, de asemenea, considerată ca o formă extinsă a notației lui Schläfli pentru poliedre regulate. Notația Schläfli { p , q } indică de fapt prezența unui număr q de p -gone în jurul fiecărui vârf, deci { p , q } poate fi scris ca ppp .. ( q ori) sau p q . De exemplu, un icosaedru poate fi reprezentat ca {3,5}, adică folosind notația de incidență a vârfului: 3.3.3.3.3 sau 3 5 . [2]

Cu această notație este posibil să se reprezinte nu numai poliedre, ci și teselări poligonale, deci o incidență a vertexului plan denotă o teselare uniformă, așa cum o incidență a vârfului neplan, denotă un poliedru uniform. [3]

Poligoane stelare

Notația se aplică și în cazul fețelor neconvexe regulate, adică a poligoanelor în formă de stea . De exemplu, un baston este indicat cu simbolul a {5/2}, indicând prezența a 5 laturi care se învârt în jurul centrului de două ori. Există patru poliedre stelate cu poligoane regulate, stelate sau nu, ca figuri la vârf: micul dodecaedru stelat , care în notația lui Schläfli poate fi reprezentat ca {5 / 2,5} și a cărui incidență a vârfurilor în formă extinsă este de 5 / 2,5 /2.5/2.5/2.5/2 și în formă contractată este (5/2) 5 ; marele dodecaedru stelat , {5 / 2,3}, are o formă triunghiulară la vârf și incidența vârfurilor (5 / 2,5 / 2,5 / 2) sau (5/2) 3 ; marele dodecaedru , {5,5 / 2}, are o figură în formă de pentagramă în vârf cu incidența vârfurilor (5.5.5.5.5) / 2 sau (5 5 ) / 2; marele icosaedru , {3,5 / 2}, având, de asemenea, o figură în formă de pentagramă în partea de sus, dar incidența vârfurilor (3.3.3.3.3) / 2 sau (3 5 ) / 2. [4]

Dodecaedru mic stelat vertfig.png Mare dodecaedru stelat vertfig.png Great snub icosidodecahedron vertfig.png Mare retrosnub icosidodecaedru vertfig.png Micul retrosnub icosicosidodecaedru vertfig.png
{5 / 2,5} = (5/2) 5 {5 / 2,3} = (5/2) 3 3 4 .5 / 2 3 4 .5 / 3 (3 4 .5 / 2) / 2
Mare dodecaedru vertfig.png Mare icosaedru vertfig.svg DU57 facets.png DU72 facets.png DU74 facets.png
{5.5 / 2} = (5 5 ) / 2 {3.5 / 2} = (3 5 ) / 2 V.3 4 .5 / 2 V3 4 .5 / 3 V (3 4 .5 / 2) / 2

Toate incidențele vârfurilor uniforme ale poligoanelor regulate convexe

Potențial, fiecare incidență a vârfurilor enumerabile într-o listă de incidențe care indică prezența în jurul unui vârf de n fețe regulate și convexe poate defini în mod unic un poliedru semiregular diferit, totuși nu toate incidențele sunt posibile, deoarece existența lor este limitată de cerințele topologice. De exemplu, scrierea pqr implică faptul că un p -gon este înconjurat de q -goni care alternează cu r -goni, deci fie p este egal, fie q este egal cu r . În mod similar, q este egal sau p este egal cu r , iar r este egal sau p este egal cu q . Deci, triplele a căror existență este posibilă sunt 3.3.3, 3.4.4, 3.6.6, 3.8.8, 3.10.10, 3.12.12, 4.4. n (pentru fiecare n > 2), 4.6.6, 4.6.8, 4.6.10, 4.6.12, 4.8.8, 5.5.5, 5.6.6, 6.6.6.

Numărul dintre paranteze indică numărul de vârfuri ale poliedrului.

Triplu
Cvadruplu
Cvintuplu
Sestuple

Incidența fețelor

Dodecaedru rombic

Poliedrele solide sau duale uniforme catalane , care includ bipiramide și trapezohedre , pot fi identificate folosind o notație similară cu incidența vertexului, numită uneori incidența feței. Această notație reprezintă un număr secvențial al numărului de fețe care insistă pe fiecare vârf al unei fețe, totul precedat de o literă „V” pentru a acționa ca prefix. Astfel, de exemplu, V3.4.3.4, sau V (3.4) 2 , reprezintă dodecaedrul rombic, unul dintre cele 13 solide catalane, în el, de fapt, fiecare față este un romb și vârfurile fiecărui romb insistă alternativ 3 sau 4 fețe.

Notă

  1. ^ Annarita Ruberto, Archimedei Polyhedra sau Semiregular Polyhedra , pe lanostra-matematica.org , Matem @ ticamente, 10 martie 2013. Accesat la 6 iunie 2021 .
  2. ^ a b Virginia Alberini, Alessia Alinovi și Giorgia Montis, 5.3.1 Incidența vârfurilor poliedrelor arhimedice ( PDF ), în Silvia Monica (editat de), Diamo Dimensione al Divertimento , Liceo Attilio Bertolucci Editore, 1998. Adus 6 iunie 2021 .
  3. ^ Branko Grünbaum și GC Shephard, Tilings and Patterns , WH Freeman and Company, 1987, ISBN 0-7167-1193-1 .
  4. ^ Peter R. Cromwell, Polyhedra , Cambridge University Press, 1999, ISBN 9780521664059 .

Alte proiecte

Matematica Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică
Adus de la „ https://it.wikipedia.org/w/index.php?title=Incidenza_dei_vertici&oldid=121118502 ”