Figura din partea de sus

Figura la vârf pe o margine neîntreagă a unui cub.

În geometrie , o figură de vârf , în sens larg, este o figură care este expusă atunci când un colț al unui politop este tăiat.

Definiții

Având în vedere orice vârf al unui poliedru , având în vedere un punct de pe fiecare dintre muchii care afectează acel vârf și având în vedere segmentele care unesc punctele prezente pe două margini care delimitează aceeași față a poliedrului, o figură la vârful poliedrului este poligon rezultat din circuitul complet format din aceste segmente.

Definiții formale mai precise pot varia destul de mult, în funcție de circumstanțe. De exemplu, Coxeter își modifică definiția ca fiind cea mai potrivită domeniului de discuție. ^{[1] [2]} Majoritatea următoarelor definiții ale formelor de vârf se aplică la fel de bine pentru teselări infinite sau, prin extensie, pentru teselări spațiale cu celule poliedrice și cu celule politopice având un număr mai mare de dimensiuni. ^[3]

Ca poligon plan

Figura la vârf cu marginea completă a unui cub.

Probabil cea mai comună și mai ușor de înțeles abordare pentru a explica ce este o figură la vârful unui poliedru este aceea în care se imaginează intersecția poliedrului cu un plan care trece prin toate marginile care afectează același vârf, baza solidului dintre planul și vârful menționat mai sus vor avea forma figurii la vârf. Diferiti autori fac ca planul să treacă la diferite distanțe față de vârf, astfel încât, de exemplu, conform lui Coxeter (1948) ^[1] și Wenninger (1973) ^[4] , planul care trebuie luat în considerare este acela care trece prin margini la o distanță unitară de vârf, în timp ce conform lui Dorman Luke, pentru poliedre uniforme trebuie considerat că planul trece din punctele mediane ale marginilor; alți autori, inclusiv Coxeter însuși într-un articol din 1954, susțin că trebuie luat în considerare planul care trece prin celelalte extreme ale marginilor considerate. ^{[2] [5]}

În cazul poliedrelor neregulate, rezultatul unei intersecții între un plan și toate muchiile incidente pe același vârf la aceeași distanță de vârf ar putea produce o figură care nu se află pe un singur plan. O abordare mai generală, valabilă pentru poliedrele convexe, este de a face intersecția luând în considerare toate punctele dintre un vârf dat și vârfurile de la celelalte extreme ale marginilor care îl afectează; o astfel de construcție determină structura combinatorie a figurii la vârf, similară cu un set de vârfuri conectate, dar nu și geometria sa precisă, și poate fi generalizată la toți politopii conveși în orice dimensiune. În ceea ce privește poliedrele neconvexe, există cazuri în care s-ar putea să nu existe un plan în jurul unui vârf care să poată intersecta toate muchiile și, prin urmare, toate fețele, incidente pe acel vârf.

Ca poligon sferic

Figura la vârful sferic al unui cub.

În 1999, Cromwell a propus o figură de vârf realizată prin intersecția poliedrului cu o sferă centrată pe unul dintre vârfurile sale și suficient de mică pentru a intersecta doar marginile și fețele poliedrului incidente pe acel vârf. Figura de sus este deci un poligon sferic desenat pe această sferă. Un avantaj al acestui sistem este dat de faptul că forma figurii din partea de sus este fixă ​​și dependentă doar de dimensiunea sferei, în timp ce metoda de intersecție cu un plan poate da diferite forme în funcție de unghiul de înclinare a avionului; în plus, această metodă funcționează și pentru poliedre neconvexe. ^[6]

Ca un set de vârfuri conectate

Figura la vârful unui set de puncte ale unui cub.

Multe abordări combinatorii și de calcul (cum ar fi cele introduse de Skilling în 1975) consideră o figură de vârf ca un set ordonat (sau parțial ordonat) de puncte constând din toate vârfurile conectate printr-o margine de vârf dată. ^[5]

Definiție abstractă

În teoria politopurilor abstracte , figura de la vârf la un vârf dat V include toate elementele care afectează acel vârf: margini, fețe, etc ... Mai formal este secțiunea ( n -1) -a F _n / V , unde F _n este cea mai mare față.

Acest set de elemente este uneori numit „stea vertex”. Figura geometrică din partea de sus și steaua din partea de sus pot fi înțelese ca „realizări” ale aceleiași secțiuni abstracte. ^[7]

Proprietăți generale

Figura din vârful unui politop n este un ( n -1) -politop, de exemplu, figura din vârful unui poliedru este un poligon și figura din vârful unui 4-politop , numit și policor, este un poliedru.

Pentru poliedrele neconvexe, figura de la vârf poate fi la rândul său poliedre neconvexe, uniforme și stelate, de exemplu, poate avea poligoane stelare ca fețe și / sau figuri de vârf.

Figurile izogonice

Cifrele apex sunt deosebit de semnificative pentru politopii uniformi și pentru alți politopi izogoni, deoarece o figură din partea de sus poate defini întregul politop.

Pentru poliedre cu fețe regulate, o figură de vârf poate fi reprezentată folosind notația de incidență a vârfului , adică listarea fețelor în ordine în jurul unui vârf. De exemplu, notația „3.4.4.4” indică un vârf pe care afectează un triunghi și trei pătrate și astfel definește un rombicuboctaedru .

Dacă politopul este izogonic, figura de la vârf va consta dintr-o suprafață plasată pe un hiperplan , adică un subespai liniar cu o dimensiune mai mică decât spațiul în care este conținut, într-un spațiu n .

Clădiri

Din vârfurile adiacente

Având în vedere conexiunea vârfurilor adiacente (adică conectate între ele printr-o margine), o figură la vârf poate fi astfel construită pentru fiecare vârf al unui politop:

• Fiecare vârf al figurii apex coincide cu un vârf al politopului original.
• Fiecare margine a figurii de la vârf insistă sau este conținută într-o singură față a politopului original și conectează două vârfuri alternante ale unei fețe originale.
• Fiecare față a figurii de la vârf insistă pe o celulă a n- politopului original (pentru n > 3) sau este conținută în ea.
• ... și așa mai departe către elemente de ordin superior în politopi de ordin superior.

Politopi obișnuiți

Figura din partea de sus a unui icosaedru mare este o pentagramă obișnuită sau un poligon stelar {5/2}.

Dacă un politop este regulat, acesta poate fi reprezentat cu notația Schläfli și atât celula, cât și figura din partea de sus pot fi derivate în mod trivial din această notație. ^[8]

În general, un politop regulat reprezentat cu notația Schläfli ca { a , b , c , ..., y , z } are celule care pot fi reprezentate ca { a , b , c , ..., y } și cifre de vârf care poate fi reprezentat ca { b , c , ..., y , z }.
Astfel, pentru un poliedru regulat { p , q } figura de la vârf este { q } și, prin urmare, o q -gon, de exemplu figura de la vârful cubului {4,3} este triunghiul {3}, în timp ce pentru un policor regulat sau pentru o teselare a spațiului { p , q , r }, figura din partea de sus este poliedrul { q , r }, de exemplu figura din partea de sus a unui hipercub {4,3,3 } este un tetraedru regulat {3,3} iar figura vârfului pentru o teselare spațială cubică {4,3,4} este un octaedru regulat {3,4}. ^{[9] [10]}

Deoarece politopul dual al unui politop regulat este, de asemenea, regulat și poate fi reprezentat cu o notație Schläfli cu indici inversați față de cel al politopului original, este ușor de văzut că dualul figurii vârfului este celula politopului dual . În cazul poliedrelor (adică politopi tridimensionali), acest lucru se traduce prin cazul special al construcției poliedrelor duale de către Dorman Luke .

Un exemplu de figură în partea de sus a unei teselări spațiale

O parte a unei teselări spațiale cubice trunchiate.

Figura din vârful unei teselări spațiale cubice trunchiate , în care un octaedru împarte fiecare vârf cu patru cuburi trunchiate , este o piramidă pătrată neuniformă.

Figura de sus: piramida pătrată neuniformă	Diagrama Schlegel	Perspectivă
Creat dintr-o bază pătrată pornind de la un octaedru	(3.3.3.3)
iar din patru triunghiuri isoscele care derivă din cuburile trunchiate	(3.8.8)

Figura din colț

Teselarea spațială cubică trunchiată are două tipuri de margini, deoarece fiecare margine din ea este împărțită de patru cuburi trunchiate sau este împărțită de un octaedru și două cuburi trunchiate.

Legat de figura de la vârf, o figură de la margine este figura de la vârful unei figuri de la vârf. La fel ca în cazul figurilor de vârf, figurile de margine sunt, de asemenea, utile pentru exprimarea relațiilor dintre elementele care fac parte din politopi obișnuiți și uniformi și, în general, o figură de la margine va fi un ( n -2) -politop care reprezintă aranjamentul fațetelor în jurul valorii de la o anumită margine.

Politopii obișnuiți (și teselările spațiale) au o singură figură de margine care este de asemenea regulată și, pentru un politop regulat { p , q , r , s , ..., z }, figura de margine este { r , s , ... , z }.

În patru dimensiuni, figura de la marginea unui policor sau a unei 3- teselări spațiale este un poligon care reprezintă dispunerea unui set de fațete în jurul unei margini. Astfel, de exemplu, figura de la marginea unei teselări spațiale cubice {4,3,4} este un pătrat {4}, iar cea a unui 4-politop (numit și policor) { p , q , r } este poligon { r }.

Mai puțin trivial, teselarea spațială cubică truncată t _0,1 {4,3,4} are ca figură în partea de sus, așa cum am menționat deja, o piramidă pătrată și celule cubice trunchiate și octaedrice. Prin urmare, există două tipuri de figuri de margine: una este un pătrat, o figură în partea de sus obținută din vârful piramidei, care reprezintă cele patru cuburi trunchiate care împărtășesc unul dintre cele două tipuri de margini prezente în această teselare, cealaltă este un triunghi isoscel, figura la vârful obținut de la unul dintre vârfurile de bază ale piramidei, care reprezintă cele două cuburi trunchiate și octaedrul care împărtășesc celălalt dintre cele două tipuri de margini prezente.

Notă

Alte proiecte

• Wikimedia Commons conține imagini sau alte fișiere pe figura de vârf

linkuri externe

• (EN) Eric W. Weisstein, Figura la summit , în MathWorld , Wolfram Research.

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică