Bipiramida pentagonală

Bipiramida pentagonală

Tip	Bipiramida Solid de Johnson J ₁₂ - J ₁₃ - J ₁₄
Formați fețele	Triunghiuri
Nº fețe	10
Nr. De margini	15
Numărul de vârfuri	7
Caracteristica lui Euler	2
Incidența managementului de vârf	V4.4.5
Notare Schläfli	{} + {5}
Diagrama Coxeter-Dynkin
Grup de simetrie	D _3h , [3,2], (* 223) ordinea 12
Grup de rotație	D ₅ , [5,2] ⁺ , (225), ordinul 10
Dual	Prisma pentagonală
Proprietate	Convexitate , tranzitivă pentru fețe
Politopi înrudiți
Poliedru dual
Planificarea dezvoltării

Manual

În geometria solidă , bipiramida triunghiulară este un decahedron care este, de asemenea, al treilea element al unui set infinit de bipiramide tranzitive pentru fețe.

Caracteristici

După cum sugerează și numele, acest solid cu 10 fețe, care se dovedește a fi poliedrul dual al prismei pentagonale , poate fi construit prin îmbinarea a două piramide pentagonale pentru bazele lor. Deși toate fețele sale sunt congruente și sunt tranzitive pentru fețe, bipiramida pentagonală nu este un solid platonic deoarece vârfurile sale nu gravează întotdeauna același număr de fețe, deoarece pe două dintre ele afectează cinci și pe celelalte opt afectează patru .

În cazul în care fețele bipiramidei sunt toate triunghiuri echilaterale , atunci devine unul dintre cele 92 de solide ale lui Johnson , în special J ₁₃ , adică un poliedru strict convex având ca fețe poligoane regulate, dar în orice caz nu aparținând familiei de poliedre uniforme, ^[1] și faptul că fețele sale sunt formate din triunghiuri echilaterale îl face un deltaedru , în special unul dintre cele opt deltaedre strict convexe.

Bipiramida pentagonală are 4 conexiuni , ceea ce înseamnă că 4 dintre vârfurile sale trebuie eliminate pentru a deconecta toate vârfurile rămase. Acest lucru îl face unul dintre cele patru poliedre simpliciale bine acoperite cu 4 conexiuni, ceea ce înseamnă că toate seturile maxime independente ale vârfurilor sale au aceeași dimensiune. Ceilalți trei poliedri cu această proprietate sunt octaedrul regulat, defenoidul snub și un poliedru neregulat cu 12 vârfuri și 20 de fețe triunghiulare. ^[2]

Formule

Considerată o bipiramidă pentagonală cu toate fețele regulate și cu o margine lungă $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ , următoarele formule vă permit să calculați volumul $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ , suprafața $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ și înălțime $h$ ${\ displaystyle h}$ $h$ :

V={\frac {5+{\sqrt {5}}}{12}}a^{3}\approx 0,6030056648\cdot a^{3};

{\ displaystyle V = {\ frac {5 + {\ sqrt {5}}} {12}} a ^ {3} \ approx 0.6030056648 \ cdot a ^ {3};}

{\ displaystyle V = {\ frac {5 + {\ sqrt {5}}} {12}} a ^ {3} \ approx 0.6030056648 \ cdot a ^ {3};}

A={\frac {5{\sqrt {3}}}{2}}a^{2}\approx 4,330127019\cdot a^{2};

{\ displaystyle A = {\ frac {5 {\ sqrt {3}}} {2}} a ^ {2} \ approx 4.330127019 \ cdot a ^ {2};}

{\ displaystyle A = {\ frac {5 {\ sqrt {3}}} {2}} a ^ {2} \ approx 4.330127019 \ cdot a ^ {2};}

h={\sqrt {2-{\frac {2}{\sqrt {5}}}}}a\approx 1,0514622242\cdot a.

{\ displaystyle h = {\ sqrt {2 - {\ frac {2} {\ sqrt {5}}}}} a \ approx 1.0514622242 \ cdot a.}

{\ displaystyle h = {\ sqrt {2 - {\ frac {2} {\ sqrt {5}}}}} a \ approx 1.0514622242 \ cdot a.}

Poliedru dual

Poliedrul dual al bipiramidei pentagonale este, așa cum s-a menționat, prisma triunghiulară, adică o prismă cu șapte fețe: doi pentagoni regulați paraleli uniți printr-o serie de cinci dreptunghiuri. Deși prisma pentagonală are și o formă care îl face un poliedru uniform, adică unul în care fețele sale laterale sunt pătrate, poliedrul dual al bipiramidei pentagonale are fețe laterale dreptunghiulare și nu este un poliedru uniform.

Poliedru dual	Dezvoltarea planului dual

Poliedre înrudite

La fel ca celelalte poliedre, bipiramida pentagonală poate fi, de asemenea, supusă rectificării (adică o trunchiere în care marginile sunt reduse la jumătate), trunchiere și netezire (numită și „înmuiere”). Figura de mai jos prezintă aceste trei operații aplicate în ordine poliedrului nostru.

De la stânga la dreapta o bipiramidă pentagonală supusă succesiv rectificării, trunchierii și netezirii.

Proiecția sferei

Proiecția pe o sferă a unei bipiramide pentagonale pare a fi compoziția unui osoedru și diedru pentagonal și este un membru al unei serii infinite de proiecții pe o sferă de compuși de perechi de poliedre regulate într-o poziție duală. În asociere cu ceilalți membri ai seriei, bipiramida pentagonală este uneori numită „decahedron deltoidal” (sau „trapezoidal”), deși în el „deltoizii” sunt triunghiuri și nu zmee .

Notă

^ Norman W. Johnson, Poliedre convexe cu fețe regulate , în Canadian Journal of Mathematics , vol. 18, Societatea canadiană de matematică, 1966, pp. 169-200, DOI : 10.4153 / CJM-1966-021-8 . Adus la 14 iulie 2021 .
^ Arthur S. Finbow, Bert L. Hartnell, Richard J. Nowakowski și Michael D. Plummer, Despre triangulații bine acoperite: Partea a III-a , în Matematică aplicată discretă , vol. 158, nr. 8, Elsevier, aprilie 2010, pp. 894-912, DOI : 10.1016 / j.dam.2009.08.002 .

Alte proiecte

Wikimedia Commons conține imagini sau alte fișiere pe bipiramida pentagonală

Bipiramide regulate n -gonale:
Bipiramida	Bipiramida digonală	Bipiramida triunghiulară (Vezi: J ₁₂ )	Bipiramida pătrată (Vezi: O )	Bipiramida pentagonală (Vezi: J ₁₃ )	Bipiramida hexagonală	Bipiramida heptagonală	Bipiramida octogonală	Bipiramida enagonală	Bipiramida decagonală	...	Bipiramida apirogonală
Imagine a poliedrului										...
Imagine de teselare sferică										Imagine a teselării podelei
Incidenţă	V2.4.4	V3.4.4	V4.4.4	V5.4.4	V6.4.4	V7.4.4	V8.4.4	V9.4.4	V10.4.4	...	V∞.4.4
Diagrama Coxeter-Dynkin										...

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică

[1] Norman W. Johnson, Poliedre convexe cu fețe regulate , în Canadian Journal of Mathematics , vol. 18, Societatea canadiană de matematică, 1966, pp. 169-200, DOI : 10.4153 / CJM-1966-021-8 . Adus la 14 iulie 2021 .

[2] Arthur S. Finbow, Bert L. Hartnell, Richard J. Nowakowski și Michael D. Plummer, Despre triangulații bine acoperite: Partea a III-a , în Matematică aplicată discretă , vol. 158, nr. 8, Elsevier, aprilie 2010, pp. 894-912, DOI : 10.1016 / j.dam.2009.08.002 .

[1]

[2]