Poliedru Kepler-Poinsot
Un poliedru Kepler-Poinsot (sau solid ) este un poliedru regulat neconvex , în care toate fețele sunt formate din poligoane regulate identice (inclusiv poligoane stelare între ele) și care are același număr de fețe care se întâlnesc într-un același vârf.
Poliedrele Kepler-Poinsot
Abandonând cerința convexității, pe lângă cele cinci solide platonice , pot fi construite alte patru poliedre. Doi - așa-numitul poliedru Kepler având ca eponim Giovanni Kepler ( 1571 - 1630 ) - au ca fețe poligoane regulate în formă de stea. Celelalte două - așa-numitul poliedru Poinsot , numit după matematicianul francez Louis Poinsot ( 1777 - 1859 ) - sunt construite astfel încât fețele să se poată interpătrunde.
Acestea sunt poliedre Kepler :
- Micul dodecaedru stelat care are 12 fețe pentagonice stelate, are 12 vârfuri și 30 de margini;
- Marele dodecaedru stelat, care are încă 12 pentagone stelate ca fețe, are 20 de vârfuri și 30 de margini.
Sunt poliedre Poinsot :
- marele dodecaedru care are 12 fețe în formă de pentagoane regulate, are 12 vârfuri și 30 de margini;
- marele icosaedru are care are 20 de fețe în formă de triunghiuri echilaterale, are 12 vârfuri și 30 de muchii.
Notăm cu F numărul fețelor unui poliedru, cu S numărul muchiilor sale, cu V numărul vârfurilor sale, cu N numărul laturilor fiecărei fețe și cu M marginile care afectează fiecare vârf. Folosind aceste notații, tabelul următor rezumă caracteristicile poliedrelor Kepler-Poinsot.
| Nume | F. | S. | V. | Nu. | M. |
|---|---|---|---|---|---|
| Mare dodecaedru | 12 | 30 | 12 | 5 | 5 |
| Dodecaedru mic stelat | 12 | 30 | 12 | 5 | 5 |
| Mare dodecaedru stelat | 12 | 30 | 20 | 5 | 3 |
| Mare icosaedru | 20 | 30 | 12 | 3 | 5 |
Fiecare poliedru Kepler-Poinsot este transformat în sine de către grupul I h al rotațiilor icosaedrului.
Marele dodecaedru și micul dodecaedru stelat sunt reciproc dual; aceeași relație există între marele dodecaedru stelat și marele icosaedru.
Poliedrele lui Kepler-Poinsot în istorie și artă
Poliedrele înstelate ale lui Kepler sunt studiate și reprezentate prin eponim în textul Harmonices mundi ( 1619 ).
Cu toate acestea, nu se poate spune că el a fost descoperitorul său. Micul dodecaedru stelat era deja cunoscut de artiștii care, în secolul al XV-lea, se ocupau de arta decorativă: găsim o reprezentare perfectă în mozaic pe podeaua bazilicii San Marco din Veneția , atribuită în mod îndoielnic lui Paolo Uccello .
O gravură care reproduce aproape exact marele dodecaedru stelat apare în lucrarea Perspectiva Corporum Regularium a aurarului din Nürnberg Wentzel Jamnitzer .
Un tratament complet și riguros al ansamblului celor patru poliedre regulate neconvexe și a proprietăților lor de dualitate a fost dat pentru prima dată de Louis Poinsot în 1809.
Perfecțiunea estetică a poliedrelor Kepler-Poinsot nu vă poate lăsa indiferent. Kepler a scris: „ Addi possunt congruentiis perfectissimis regularibus duae etiam aliae congruentiae stellarum duodecim pentagonicarum ...” ( latină : „ celor mai perfecte și regulate„ congruențe ”putem adăuga și alte două„ congruențe ”din douăsprezece stele pentagonale ”).
Există numeroase lucrări grafice ale lui Maurits Cornelis Escher care utilizează solide platonice, poliedre Kepler-Poinsot și poliedre care derivă din intersecția poliedrelor concentrice regulate. În lucrarea Order and Chaos ( 1950 ) un „mic dodecaedru stelat” inserat într-o sferă de sticlă contrastează cu gunoiul care îl înconjoară.
Escher, în perfectă armonie cu sugestiile platonismului care s-au întins pe parcursul secolelor, a scris despre poliedre regulate: „ Ele simbolizează dorința omului de armonie și ordine, dar în același timp perfecțiunea lor trezește în noi sensul neputinței noastre. Poliedrele regulate nu sunt invenții ale minții umane, deoarece au existat cu mult înainte ca omul să apară pe scenă ... ».
Alte poliedre înstelate
Noțiunea de poliedru regulat poate fi extinsă pentru a include așa-numitele poliedre împletite sau poliedre compuse , poliedre pentru care cade cerința că două vârfuri pot fi întotdeauna conectate printr-o cale făcută din margini) și pentru care regularitatea constă în invarianța în ceea ce privește grupul de rotații care permută convenabil setul vârfurilor sale. Setul acestor poliedre, pe lângă poliedrele regulate și poliedrele Kepler-Poinsot, conține următoarele „poliedre stelare”.
- Sistemul a două tetraedre platonice reciproc simetrice în raport cu centrul comun (așa-numita „stea octangulă”).
- sistemul a cinci tetraedre platonice concentrice ale căror vârfuri sunt dispuse ca vârfurile dodecaedrului platonic (vezi figura)
- sistemul a zece tetraedre platonice care se obține luând în considerare două sisteme precum cel al punctului anterior, simetric reciproc față de centrul comun.
Elemente conexe
Alte proiecte
-
Wikimedia Commons conține imagini sau alte fișiere pe poliedrul Kepler-Poinsot
linkuri externe
- Modele de hârtie ale poliedrelor , pe korthalsaltes.com .
- Poliedrul de Paolo Uccello , pe georgehart.com .
- Poliedre de Wentzel Jamnitzer , pe georgehart.com .
- MC Escher, Ordinul și haosul , la nga.gov . Adus la 17 martie 2005 (arhivat din original la 3 aprilie 2005) .
