Poliedru compus
In geometrie solid se numește compus polytope sau poliedrică compus o figură geometrică formată de două sau mai multe poliedre care parts un centroid comun.
Două caracteristici particulare sunt asociate fiecărui compus poliedric care identifică două poliedre noi legate de acesta:
- l la închiderea convexă a unui compus este cea mai mica convex polyhedron care conține;
- intersecția sau nucleul unui compus este porțiunea de spațiu comună tuturor componentelor sale.
Este ușor de dedus că nucleul unui compus poliedric este el însuși un poliedru și în special că este un poliedru convex dacă toate componentele sunt convexe.
Închiderea convexă se mai numește, într-un mod complet echivalent, plic convex sau plic convex .
Un exemplu de compus poliedric este steaua octogonală prezentată în figură: este un compus din două tetraedre regulate și are un cub ca închidere convexă și un octaedru ca nucleu.
Compuși obișnuiți
Se spune că un compus poliedric este regulat dacă îndeplinește condițiile normale de regularitate care se aplică și poliedrelor simple (necompuse), adică trebuie să fie omogen în vârfuri , margini și fețe : adică pentru fiecare pereche de vârfuri ( sau muchii sau fețe) există o simetrie a poliedrului care transformă unul dintre cele două elemente în al doilea.
Prin urmare, este evident că pentru ca un compus să fie regulat este necesar - dar nu suficient - ca toate componentele sale să fie regulate și egale între ele. Mai precis, componentele vor fi exclusiv tetraedre , octaedre sau cuburi .
Există în total 5 poliedre regulate compuse (sau 6 dacă luăm în considerare cele două forme chirale ale unuia ca două poliedre distincte). Acestea sunt enumerate mai jos:
| componente | figura | elemente notabil | plic | intersecție | simetrii | dual |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 2 tetraedre |  | V = 8 S = 12 F = 8 | cub | octaedru | 48 grupa O h | se |
| 5 cuburi |  | V = 20 S = 60 F = 30 | dodecaedru | triacontahedron | 120 grupa I h | 5 octaedre |
| 5 octaedre |  | V = 30 S = 60 F = 40 | icosidodecaedru | icosaedru | 120 grupa I h | 5 cuburi |
| 5 tetraedre (chiral) |  | V = 20 S = 30 F = 20 | dodecaedru | icosaedru | 60 grupa I. | 5 tetraedre specular |
| 10 tetraedre |  | V = 20 S = 60 F = 40 | dodecaedru | icosaedru | 120 grupa I h | se |
Grupurile Și sunt respectiv grupul de simetrie al octaedrului și al icosaedrului . Grupul este subgrupul din date de simetriile care păstrează orientarea .
Poliedrul dual al compusului a cinci tetraedre este imaginea reflectată a sa; unirea celor două formează compusul a zece tetraedre .
Compuși uniformi
O caracteristică mai puțin restrictivă decât regularitatea este aceea a uniformității , care include toți compușii cu vârfuri omogene, ale căror fețe sunt poligoane regulate . Aceasta implică faptul că componentele trebuie să fie ele însele uniforme și congruente între ele.
O clasificare completă a tuturor compușilor uniformi posibili a fost furnizată de John Skilling în 1976. Lista enumeră 75 de elemente, indicate prin abrevierea UC ( compus uniform ) urmată de un index numeric . Sunt incluși 5 compuși obișnuiți, 20 de compuși non-triviali de prisme și antiprisme , 2 clase infinite de prisme și 4 clase infinite de antiprisme. Unii dintre compușii uniformi au un grad de rotație de libertate , adică înclinația componentelor este variabilă, menținând în același timp simetriile compusului.
- Exemple de compuși poliedri uniformi
12 UC 02 tetraedre (rotire liberă)
4 octaedre UC 12
20 octaedre UC 13 (rotație liberă)
10 octaedre UC 15 (primul tip)
10 octaedre UC 16 (al doilea tip)
2n antiprisme ale bazelor {p / q} cu impare q UC 22
4 prisme triunghiulare UC 30 (chirale)
6 prisme stelare pentagonale UC 36 (chirale)
4 prisme hexagonale UC 38
6 UC 40 prisme decagonale
3 antiprisme pătrate UC 42
2 icosahedra UC 46
5 icosahedra UC 47
5 dodecaedre stelate mici UC 51
5 UC 55 tetraedru trunchiat (chiral)
5 cuboctahedra UC 59
2 cuburi similare (speculare) UC 68
Compusul a 20 de octaedri cu libertate de rotație ( UC 13 ) prezintă 4 cazuri particulare, clasificate cu coduri distincte: compusul regulat al 5 octaedrelor ( UC 17 ), doi compuși diferiți de 10 octaedri ( UC 15 și UC 16 ) și un compus al 20 de octaedre „fixe” cu vârfuri coincidente două-la-două ( UC 14 ).
Poliedrele uniforme chirale ( simi, camusi, retrocamusi și camusi inversate ) formează în mod natural un compus poliedric uniform dacă sunt suprapuse pe propria imagine reflectată . Icoedrul, considerat ca un „tetraedru simo”, se încadrează, de asemenea, în această categorie - deși nu este chiral.
Nu există niciun caz al unui compus poliedric uniform format din dodecaedre platonice și nici din dodecaedre mari stelate .
Bibliografie
- HM Cundy și AP Rollett, Modelele matematice , Milano, Feltrinelli, 1974.
- Maria Dedò, Forme, simetrie și topologie , Bologna, Decibel și Zanichelli, 1999, ISBN 88-08-09615-7 .
- Skilling John, Uniform Compounds of Uniform Polyhedra , Matematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society, 1976, DOI : 10.1017 / S0305004100052440 .
Elemente conexe
linkuri externe
- Modele de hârtie ale poliedrelor , pe korthalsaltes.com .
- Cei 75 de compuși uniformi ai poliedrelor uniforme , pe interocitors.com . Modele grafice 3D de compuși cu orientare variabilă.
