Incidență (geometrie)

În matematică, două seturi sunt accidente atunci când au cel puțin un element comun, adică atunci când intersecția lor nu este goală .

În geometria descriptivă , incidența indică și intersecția a două mulțimi în planul sau spațiul euclidian , având în vedere și punctele necorespunzătoare .

De exemplu, punctul de incidență a două linii distincte în plan este punctul de intersecție al acestora; în mod similar, în spațiu există punctul de incidență al unui plan și al unei linii care nu sunt cuprinse în acesta sau linia de incidență a două planuri distincte.

Secțiunea unei figuri plane față de o linie dreaptă sau o figură solidă față de un plan sunt cazuri particulare de incidență.

Exemple de incidență în plan

Punct de intersecție între două linii coplanare

Este un punct $Î$ ${\ displaystyle Q}$ $Î$ , care este comun la două rânduri $r$ ${\ displaystyle r}$ $r$ și $s$ ${\ displaystyle s}$ $s$ , ambele aparținând aceluiași etaj $\pi$ ${\ displaystyle \ pi}$ $\ pi$ . În simboluri:

\exists r,s\in \pi {\text{ tale che }}r\cap s=Q.

{\ displaystyle \ există r, s \ in \ pi {\ text {astfel încât}} r \ cap s = Q.}

{\ displaystyle \ există r, s \ in \ pi {\ text {astfel încât}} r \ cap s = Q.}

Ideea $Î$ ${\ displaystyle Q}$ $Î$ ia numele de punct propriu-zis . În cazul în care $\pi$ ${\ displaystyle \ pi}$ $\ pi$ este avionul cartezian, să-l numim $\Pi$ ${\ displaystyle \ Pi}$ $\ Pi$ , putem rescrie totul:

\exists r,s\in \Pi {\text{ tale che }}r\cap s=Q\in \mathbb {R} ^{2};

{\ displaystyle \ există r, s \ in \ Pi {\ text {astfel încât}} r \ cap s = Q \ in \ mathbb {R} ^ {2};}

{\ displaystyle \ există r, s \ in \ Pi {\ text {astfel încât}} r \ cap s = Q \ in \ mathbb {R} ^ {2};}

unde cu $\mathbb {R} ^{2}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {2}}$ $\ R ^ 2$ ne referim la produsul cartezian între $\mathbb {R}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R}}$ $\ R$ și $\mathbb {R}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R}}$ $\ R$ . Cu această ultimă notație nu facem altceva decât să spunem asta $Î$ ${\ displaystyle Q}$ $Î$ face parte din planul cartezian și este identificat printr-o pereche de numere $(x,y)\in \Pi$ ${\ displaystyle (x, y) \ in \ Pi}$ ${\ displaystyle (x, y) \ in \ Pi}$ , aceasta este coordonatele sale.

În cazul în care $r\parallel s$ ${\ displaystyle r \ parallel s}$ ${\ displaystyle r \ parallel s}$ , $Î$ ${\ displaystyle Q}$ $Î$ se numește un punct necorespunzător .

Exemplu:

Având în vedere cele două linii de ecuație ${\textstyle r:y=x+1}$ ${\ textstyle r: y = x + 1}$ ${\ textstyle r: y = x + 1}$ Și $s:y=-2x-2$ ${\ displaystyle s: y = -2x-2}$ ${\ displaystyle s: y = -2x-2}$ , pentru a găsi punctul de intersecție este suficient să se rezolve sistemul:

{\begin{cases}y=x+1\\y=-2x-2\end{cases}}

{\ displaystyle {\ begin {cases} y = x + 1 \\ y = -2x-2 \ end {cases}}}

{\ displaystyle {\ begin {cases} y = x + 1 \\ y = -2x-2 \ end {cases}}}

Apoi se va dovedi că punctul de intersecție va fi $Q=(-1,0)$ ${\ displaystyle Q = (- 1.0)}$ ${\ displaystyle Q = (- 1.0)}$ .

Coplanaritatea dintre două linii atribuite $r$ ${\ displaystyle r}$ $r$ și $s$ ${\ displaystyle s}$ $s$ , dispuse în spațiu, pot fi verificate numai atunci când cel puțin două proiecții, atât centrale, cât și paralele, sunt realizate din aceste linii $r$ ${\ displaystyle r}$ $r$ Și $s$ ${\ displaystyle s}$ $s$ . De exemplu, în metoda Monge (care face parte din categoria proiecțiilor paralele), coplanaritatea poate fi verificată atunci când proiecțiile ortogonale ale punctului de intersecție dintre liniile drepte menționate $r$ ${\ displaystyle r}$ $r$ și $s$ ${\ displaystyle s}$ $s$ aparțin aceleiași linii de apel .

Exemple de incidență în spațiu

Linie de intersecție între două planuri

Linia de intersecție dintre două planuri $\alpha$ ${\ displaystyle \ alpha}$ $\ alfa$ Și $\beta$ ${\ displaystyle \ beta}$ $\ beta$ poate fi identificat prin determinarea a două puncte $P.$ ${\ displaystyle P}$ $P.$ Și $Î$ ${\ displaystyle Q}$ $Î$ comun acestor planuri. În cazul în care astfel de planuri $\alpha$ ${\ displaystyle \ alpha}$ $\ alfa$ Și $\beta$ ${\ displaystyle \ beta}$ $\ beta$ aceste puncte sunt paralele între ele $P.$ ${\ displaystyle P}$ $P.$ Și $Î$ ${\ displaystyle Q}$ $Î$ ambii sunt improprii.

Cerere

Determinarea unei linii $tu$ ${\ displaystyle u}$ $tu$ comun la două etaje alocate $\alpha$ ${\ displaystyle \ alpha}$ $\ alfa$ Și $\beta$ ${\ displaystyle \ beta}$ $\ beta$ , constă în efectuarea, în ordine, a următoarelor operațiuni:

Determinați un prim punct $P.$ {\ displaystyle P} $P.$ comun la $α$ {\ displaystyle \ alpha} $\ alfa$ Și $β$ {\ displaystyle \ beta} $\ beta$ :
- Se presupune un plan auxiliar $\gamma$ ${\ displaystyle \ gamma}$ $\gamă$ . Dintre nivelurile auxiliare infinite care pot fi asumate, adesea pentru ușurință în utilizare, se alege cel care are o poziție verticală.
- Se determină pe ei înșiși $r$ ${\ displaystyle r}$ $r$ Și $s$ ${\ displaystyle s}$ $s$ , respectiv: ca linii de intersecție între planul auxiliar $\gamma$ ${\ displaystyle \ gamma}$ $\gamă$ cu $\alpha$ ${\ displaystyle \ alpha}$ $\ alfa$ Și $\beta$ ${\ displaystyle \ beta}$ $\ beta$ .
- În cele din urmă, este identificat punctul căutat $P.$ ${\ displaystyle P}$ $P.$ , ca intersecție între liniile determinate $r$ ${\ displaystyle r}$ $r$ Și $s$ ${\ displaystyle s}$ $s$ .
Operațiile anterioare sunt repetate pentru a determina un al doilea punct $Î$ ${\ displaystyle Q}$ $Î$ , de asemenea comun etajelor atribuite $\alpha$ ${\ displaystyle \ alpha}$ $\ alfa$ Și $\beta$ ${\ displaystyle \ beta}$ $\ beta$ . În acest scop și pentru a facilita aceste operații, este de preferat să presupunem un al doilea plan delta auxiliar care este paralel cu $\gamma$ ${\ displaystyle \ gamma}$ $\gamă$ . În acest fel, delta disecă etajele $\alpha$ ${\ displaystyle \ alpha}$ $\ alfa$ Și $\beta$ ${\ displaystyle \ beta}$ $\ beta$ conform a două linii paralele a $r$ ${\ displaystyle r}$ $r$ Și $s$ ${\ displaystyle s}$ $s$ .

Punctul de intersecție a unei linii cu un plan

Având în vedere o linie și un plan $\alpha$ ${\ displaystyle \ alpha}$ $\ alfa$ ne trecând prin $r$ ${\ displaystyle r}$ $r$ (Vezi figura). Punctul de intersecție $S.$ ${\ displaystyle S}$ $S.$ printre elementele de date, care pot fi improprii atunci când $r$ ${\ displaystyle r}$ $r$ este paralel cu $\alpha$ ${\ displaystyle \ alpha}$ $\ alfa$ , altfel doar, când $r$ ${\ displaystyle r}$ $r$ este înclinat cu privire la $\alpha$ ${\ displaystyle \ alpha}$ $\ alfa$ . Pentru a determina acel punct $S.$ ${\ displaystyle S}$ $S.$ , procedați după cum urmează:

se dă singur pentru $r$ ${\ displaystyle r}$ $r$ un plan auxiliar $\beta$ ${\ displaystyle \ beta}$ $\ beta$ ;
se determină o linie dreaptă $s$ ${\ displaystyle s}$ $s$ ca intersecție între etaje $\alpha$ ${\ displaystyle \ alpha}$ $\ alfa$ Și $\beta$ ${\ displaystyle \ beta}$ $\ beta$ ;
în cele din urmă, punctul identificat este identificat $S.$ ${\ displaystyle S}$ $S.$ ca intersecție a liniei drepte $r$ ${\ displaystyle r}$ $r$ Și $s$ ${\ displaystyle s}$ $s$ .

Trebuie avut în vedere faptul că în cazul în care se dovedește că astfel de linii drepte $r$ ${\ displaystyle r}$ $r$ Și $s$ ${\ displaystyle s}$ $s$ sunt paralele între ele, înseamnă că $r$ ${\ displaystyle r}$ $r$ este paralel cu planul $\alpha$ ${\ displaystyle \ alpha}$ $\ alfa$ .

Incidența unei linii r cu o suprafață proiectivă

Incidența lui r cu un cilindru

Având în vedere proiecțiile ortogonale ale unui cilindru $K.$ ${\ displaystyle K}$ $K.$ și o linie dreaptă $r$ ${\ displaystyle r}$ $r$ , în care se stabilește că $K.$ ${\ displaystyle K}$ $K.$ are o bază circulară aparținând primului plan de proiecție $\pi _{1}$ ${\ displaystyle \ pi _ {1}}$ ${\ displaystyle \ pi _ {1}}$ și axa înclinată față de acest plan, dorim să determinăm orice punct de incidență al $r$ ${\ displaystyle r}$ $r$ cu $K.$ ${\ displaystyle K}$ $K.$ .

Conceptul de intersecție a unei linii drepte $r$ ${\ displaystyle r}$ $r$ cu cilindru $K.$ ${\ displaystyle K}$ $K.$ se bazează pe faptul că planurile care trec prin vârful $K.$ ${\ displaystyle K}$ $K.$ (adică paralel cu axa sa) îl disecționează în funcție de două generatoare (în acest caz sunt două linii) și, din moment ce un punct necorespunzător (vârful cilindrului) și linia dată $r$ ${\ displaystyle r}$ $r$ identificați doar un etaj $\alpha$ ${\ displaystyle \ alpha}$ $\ alfa$ , prin urmare, este suficient să se identifice un astfel de plan $\alpha$ ${\ displaystyle \ alpha}$ $\ alfa$ pentru a rezolva problema în cauză. Întâmplător:

Prima urmă a $\alpha$ ${\ displaystyle \ alpha}$ $\ alfa$ se identifică prin alăturarea primei piste a $r$ ${\ displaystyle r}$ $r$ cu prima urmă a unei alte linii $s$ ${\ displaystyle s}$ $s$ coplanar la $r$ ${\ displaystyle r}$ $r$ și paralel cu axa cilindrului $K.$ ${\ displaystyle K}$ $K.$ .
Unde prima urmă de $\alpha$ ${\ displaystyle \ alpha}$ $\ alfa$ intersectează baza inferioară a $k$ ${\ displaystyle k}$ $k$ , cele două generatoare trec, $m$ ${\ displaystyle m}$ $m$ Și $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ , intersecție între $\alpha$ ${\ displaystyle \ alpha}$ $\ alfa$ Și $K.$ ${\ displaystyle K}$ $K.$ .
În cele din urmă, punctele de incidență ale $r$ ${\ displaystyle r}$ $r$ cu $K.$ ${\ displaystyle K}$ $K.$ , sunt identificate ca fiind intersecția generatrixelor menționate $m$ ${\ displaystyle m}$ $m$ Și $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ cu $r$ ${\ displaystyle r}$ $r$ .

Notă importantă: cu aceeași procedură, ca mai sus, este posibil să se determine intersecția unei linii drepte cu orice tip de suprafață proiecțională , cum ar fi suprafețe conice , piramide , prisme .

Elemente conexe

Alte proiecte

Wikționarul conține lema dicționarului „ incidență ”

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică