Teorema Gelfond-Schneider

În matematică, teorema Gelfond-Schneider este o teoremă care stabilește transcendența unei clase mari de numere și rezolvă astfel un caz particular al celei de-a șaptea probleme Hilbert .

A fost dovedit independent în 1934 de matematicianul Aleksandr Osipovič Gel'fond ^[1] și de Theodor Schneider .

Afirmație

Teorema afirmă că, având în vedere două numere un algebric diferit de 0 și 1 și nerational și b algebric , $a^{b}$ ${\ displaystyle a ^ {b}}$ $a ^ b$ este transcendent , adică nu este rădăcina vreunui polinom cu coeficienți întregi. De exemplu, teorema afirmă transcendența numerelor precum $3^{\sqrt {2}}$ ${\ displaystyle 3 ^ {\ sqrt {2}}}$ $3 ^ {{\ sqrt {2}}}$ , ${\sqrt {2}}^{\sqrt {2}}$ ${\ displaystyle {\ sqrt {2}} ^ {\ sqrt {2}}}$ ${\ sqrt {2}} ^ {{\ sqrt {2}}}$ , dar și ( i fiind algebric și „nerational”) din $2^{i}$ ${\ displaystyle 2 ^ {i}}$ $2 ^ {i}$ tu urasti $i^{i}$ ${\ displaystyle i ^ {i}}$ $i ^ {i}$ .

Cazul în care b este irațional și transcendent nu este încă rezolvat și încă nu știm dacă $e^{e}$ ${\ displaystyle e ^ {e}}$ $e ^ {e}$ , $\pi ^{\pi }$ ${\ displaystyle \ pi ^ {\ pi}}$ $\ pi ^ {\ pi}$ sau $\pi ^{e}$ ${\ displaystyle \ pi ^ {e}}$ $\ pi ^ {e}$ sunt transcendente. În mod curios, însă, pe baza teoremei lui Gelfond știm că $e^{\pi }$ ${\ displaystyle e ^ {\ pi}}$ $și ^ {\ pi}$ (cunoscută sub numele de constanta lui Gelfond ) este transcendentă.

Într-adevăr fiind $e^{-\pi }=i^{2i}$ ${\ displaystyle e ^ {- \ pi} = i ^ {2i}}$ $e ^ {{{- \ pi}}} = i ^ {{{2i}}}$ avem asta

$e^{\pi }={\frac {1}{e^{-\pi }}}={\frac {1}{i^{2i}}}$ ${\ displaystyle e ^ {\ pi} = {\ frac {1} {e ^ {- \ pi}}} = {\ frac {1} {i ^ {2i}}}}$ $e ^ {{{\ pi}}} = {\ frac {1} {e ^ {{{- \ pi}}}}} = {\ frac {1} {i ^ {{{2i}}}}}$

dar fiind $i^{2i}$ ${\ displaystyle i ^ {2i}}$ $i ^ {{{2i}}}$ transcendent conform teoremei lui Gelfond $e^{\pi }$ ${\ displaystyle e ^ {\ pi}}$ $și ^ {\ pi}$ trebuie să fie și el.

Notă

^ Aleksandr Gelfond, Sur le septième Problème de Hilbert , în Bulletin de l'Académie des Sciences de l'Ussr. Classe des sciences mathématiques et na , VII, n. 4, 1934, pp. 623-634.

linkuri externe

( EN ) Teorema Gelfond-Schneider , pe Encyclopedia Britannica , Encyclopædia Britannica, Inc.

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică

[1] Aleksandr Gelfond, Sur le septième Problème de Hilbert , în Bulletin de l'Académie des Sciences de l'Ussr. Classe des sciences mathématiques et na , VII, n. 4, 1934, pp. 623-634.

[1]