Cătun egiptean

În matematică , o fracție egipteană (sau egipteană ) este o fracție scrisă sub forma sumei fracțiilor unitare, adică cu un numărător unitar ; de aceea de tipul:

{\frac {1}{a_{1}}}+{\frac {1}{a_{2}}}+\ldots +{\frac {1}{a_{n}}},

{\ displaystyle {\ frac {1} {a_ {1}}} + {\ frac {1} {a_ {2}}} + \ ldots + {\ frac {1} {a_ {n}}},}

{\ displaystyle {\ frac {1} {a_ {1}}} + {\ frac {1} {a_ {2}}} + \ ldots + {\ frac {1} {a_ {n}}},}

cu $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ număr întreg pozitiv e $a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n}$ ${\ displaystyle a_ {1}, a_ {2}, \ ldots, a_ {n}}$ ${\ displaystyle a_ {1}, a_ {2}, \ ldots, a_ {n}}$ două-la-două întregi pozitive distincte.

Fiecare fracțiune poate fi exprimată ca o fracțiune egipteană, al cărei nume derivă tocmai din faptul că această notație a fost folosită de egipteni , cărora le-a permis simplificarea calculelor, având în vedere sistemul lor de numerotare .

Exemplu

De exemplu, fracția ${\textstyle {\frac {3}{4}}}$ ${\ textstyle {\ frac {3} {4}}}$ ${\ textstyle {\ frac {3} {4}}}$ scris sub forma unei fracțiuni egiptene:

{\frac {3}{4}}={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}.

{\ displaystyle {\ frac {3} {4}} = {\ frac {1} {2}} + {\ frac {1} {4}}.}

{\ displaystyle {\ frac {3} {4}} = {\ frac {1} {2}} + {\ frac {1} {4}}.}

Studii asupra cătunelor egiptene

Egiptul antic

Notația egipteană pentru fracții s-a dezvoltat înRegatul Mijlociu al Egiptului , ca o modificare a notației numerice egiptene antice anterioare. Prima apariție a acestui tip de fracțiuni a avut loc la cinci papirusuri antice, inclusiv la papirusul de la Moscova ; în timp ce metodele verificate pentru scrierea fracțiilor egiptene au apărut pentru prima dată în papirusul Rhind . Acesta din urmă include un tabel de extindere a fracțiunilor egiptene de tip ${\textstyle {\frac {2}{n}}}$ ${\ textstyle {\ frac {2} {n}}}$ ${\ textstyle {\ frac {2} {n}}}$ ; precum și 84 de probleme, a căror soluție este scrisă sub forma unei fracțiuni egiptene.

Istoricii moderni ai matematicii au studiat aceste papirusuri încercând să definească metodele folosite în antichitate pentru a calcula aceste fracții: s-a descoperit astfel că expansiunile utilizate pot fi exprimate sub formă de egalități algebrice , chiar dacă au fost folosite metode diferite în funcție de tipul de numitorul fracției de pornire. De exemplu, pentru numitorii primi impari (facuti par si simplificat):

Exemplu numeric
${\frac {2}{11}}={\frac {2}{11+1}}+{\frac {2}{11(11+1)}}={\frac {1}{6}}+{\frac {1}{66}}$ ${\ displaystyle {\ frac {2} {11}} = {\ frac {2} {11 + 1}} + {\ frac {2} {11 (11 + 1)}} = {\ frac {1} { 6}} + {\ frac {1} {66}}}$ ${\ frac {2} {11}} = {\ frac {2} {11 + 1}} + {\ frac {2} {11 (11 + 1)}} = {\ frac {1} {6}} + {\ frac {1} {66}}$

{\frac {2}{p}}={\frac {2}{p+1}}+{\frac {2}{p(p+1)}}.

{\ displaystyle {\ frac {2} {p}} = {\ frac {2} {p + 1}} + {\ frac {2} {p (p + 1)}}.}

{\ displaystyle {\ frac {2} {p}} = {\ frac {2} {p + 1}} + {\ frac {2} {p (p + 1)}}.}

În timp ce pentru numitorii care ar putea fi luați în considerare:

Exemplu numeric

${\frac {2}{15}}={\frac {2}{5\cdot 3}}={\frac {1}{\frac {(5+1)3}{2}}}+{\frac {1}{\frac {(5+1)5\cdot 3}{2}}}={\frac {1}{9}}+{\frac {1}{45}}$ ${\ displaystyle {\ frac {2} {15}} = {\ frac {2} {5 \ cdot 3}} = {\ frac {1} {\ frac {(5 + 1) 3} {2}}} + {\ frac {1} {\ frac {(5 + 1) 5 \ cdot 3} {2}}} = {\ frac {1} {9}} + {\ frac {1} {45}}}$ ${\ frac {2} {15}} = {\ frac {2} {5 \ cdot 3}} = {\ frac {1} {{\ frac {(5 + 1) 3} {2}}}} + {\ frac {1} {{\ frac {(5 + 1) 5 \ cdot 3} {2}}}} = {\ frac {1} {9}} + {\ frac {1} {45}}$

{\frac {2}{p\cdot q}}={\frac {1}{\frac {(p+1)q}{2}}}+{\frac {1}{\frac {(p+1)pq}{2}}}.

{\ displaystyle {\ frac {2} {p \ cdot q}} = {\ frac {1} {\ frac {(p + 1) q} {2}}} + {\ frac {1} {\ frac { (p + 1) pq} {2}}}.}

{\ displaystyle {\ frac {2} {p \ cdot q}} = {\ frac {1} {\ frac {(p + 1) q} {2}}} + {\ frac {1} {\ frac { (p + 1) pq} {2}}}.}

Sau

Exemplu numeric

${\frac {2}{15}}={\frac {2}{5\cdot 3}}={\frac {1}{5\cdot {\frac {5+3}{2}}}}+{\frac {1}{3\cdot {\frac {5+3}{2}}}}={\frac {1}{20}}+{\frac {1}{12}}\,$ ${\ displaystyle {\ frac {2} {15}} = {\ frac {2} {5 \ cdot 3}} = {\ frac {1} {5 \ cdot {\ frac {5 + 3} {2}} }} + {\ frac {1} {3 \ cdot {\ frac {5 + 3} {2}}}} = {\ frac {1} {20}} + {\ frac {1} {12}} \ ,}$ ${\ frac {2} {15}} = {\ frac {2} {5 \ cdot 3}} = {\ frac {1} {5 \ cdot {\ frac {5 + 3} {2}}}} + {\ frac {1} {3 \ cdot {\ frac {5 + 3} {2}}}} = {\ frac {1} {20}} + {\ frac {1} {12}} \,$

{\frac {2}{p\cdot q}}={\frac {1}{p\cdot {\frac {p+q}{2}}}}+{\frac {1}{q\cdot {\frac {p+q}{2}}}}.

{\ displaystyle {\ frac {2} {p \ cdot q}} = {\ frac {1} {p \ cdot {\ frac {p + q} {2}}}} + {\ frac {1} {q \ cdot {\ frac {p + q} {2}}}}.}

{\ displaystyle {\ frac {2} {p \ cdot q}} = {\ frac {1} {p \ cdot {\ frac {p + q} {2}}}} + {\ frac {1} {q \ cdot {\ frac {p + q} {2}}}}.}

Trebuie remarcat faptul că niciuna dintre cele două proceduri enumerate nu prevede combinația pentru ${\textstyle {\frac {2}{15}}}$ ${\ textstyle {\ frac {2} {15}}}$ ${\ textstyle {\ frac {2} {15}}}$ așa cum apare în tabelul raportat de papirusul Rhind . De fapt, scribul ar fi favorizat următoarea relație deja cunoscută și folosită de egipteni (vezi Carl B. Boyer - Istoria matematicii) :

Exemplu numeric
${\frac {2}{15}}={\frac {2}{3}}\cdot {\frac {1}{5}}={\frac {1}{10}}+{\frac {1}{30}}$ ${\ displaystyle {\ frac {2} {15}} = {\ frac {2} {3}} \ cdot {\ frac {1} {5}} = {\ frac {1} {10}} + {\ frac {1} {30}}}$ ${\ frac {2} {15}} = {\ frac {2} {3}} \ cdot {\ frac {1} {5}} = {\ frac {1} {10}} + {\ frac {1 } {30}}$

{\frac {2}{3}}\cdot {\frac {1}{p}}={\frac {1}{2p}}+{\frac {1}{6p}}.

{\ displaystyle {\ frac {2} {3}} \ cdot {\ frac {1} {p}} = {\ frac {1} {2p}} + {\ frac {1} {6p}}.}

{\ displaystyle {\ frac {2} {3}} \ cdot {\ frac {1} {p}} = {\ frac {1} {2p}} + {\ frac {1} {6p}}.}

Evul Mediu

Notația egipteană a continuat să fie folosită și în Grecia antică și în Evul Mediu . Un important text medieval despre acest subiect este conținut în Liber abaci (1202) al lui Leonardo Fibonacci . Ne oferă câteva informații despre utilizarea acestui tip de notație și introduce câteva subiecte importante și pentru studiile moderne. Textul conține, de asemenea, câteva indicații cu privire la modul de transformare a fracțiilor în fracțiuni egiptene. De exemplu, când numitorul este un număr practic , puteți împărți numeratorul la suma a doi divizori ai primului. Liber Abaci include tabele de expansiune pentru numerele practice 6, 8, 12, 20, 24, 60 și 100. Astfel, cu și b numere naturale și cu c și d ale divizori b, avem:

Exemplu numeric
${\frac {7}{12}}={\frac {4}{12}}+{\frac {3}{12}}={\frac {1}{3}}+{\frac {1}{4}}$ ${\ displaystyle {\ frac {7} {12}} = {\ frac {4} {12}} + {\ frac {3} {12}} = {\ frac {1} {3}} + {\ frac {1} {4}}}$ ${\ frac {7} {12}} = {\ frac {4} {12}} + {\ frac {3} {12}} = {\ frac {1} {3}} + {\ frac {1} {4}}$

{\frac {a}{b}}={\frac {c}{b}}+{\frac {d}{b}}.

{\ displaystyle {\ frac {a} {b}} = {\ frac {c} {b}} + {\ frac {d} {b}}.}

{\ displaystyle {\ frac {a} {b}} = {\ frac {c} {b}} + {\ frac {d} {b}}.}

O altă metodă raportată de Fibonacci, aplicabilă atunci când numitorul este un multiplu al numărătorului scăzut cu o unitate:

Exemplu numeric

${\frac {4}{11}}={\frac {4}{4\cdot 3-1}}={\frac {1}{3}}+{\frac {1}{3(4\cdot 3-1)}}={\frac {1}{3}}+{\frac {1}{33}}\,$ ${\ displaystyle {\ frac {4} {11}} = {\ frac {4} {4 \ cdot 3-1}} = {\ frac {1} {3}} + {\ frac {1} {3 ( 4 \ cdot 3-1)}} = {\ frac {1} {3}} + {\ frac {1} {33}} \,}$ ${\ frac {4} {11}} = {\ frac {4} {4 \ cdot 3-1}} = {\ frac {1} {3}} + {\ frac {1} {3 (4 \ cdot 3-1)}} = {\ frac {1} {3}} + {\ frac {1} {33}} \,$

{\frac {a}{ab-1}}={\frac {1}{b}}+{\frac {1}{b(ab-1)}}.

{\ displaystyle {\ frac {a} {ab-1}} = {\ frac {1} {b}} + {\ frac {1} {b (ab-1)}}.}

{\ displaystyle {\ frac {a} {ab-1}} = {\ frac {1} {b}} + {\ frac {1} {b (ab-1)}}.}

Sunt descrise și metode algebrice care pot fi aplicate dacă numitorul este multiplu al numărătorului scăzut cu două, trei, patru unități.

Teoria modernă a numerelor

Matematicienii moderni au studiat diverse probleme legate de fracțiile egiptene, cum ar fi cum să limitezi lungimea celor mai mari numitori sau cum să găsești expansiuni legate de forme de fracții speciale.

Conjectura Erdős - Graham din teoria numerelor afirmă că, dacă mulțimea de numere întregi mai mari de 1 este împărțită într-un număr finit de subseturi, atunci unul dintre aceste subseturi poate fi folosit pentru a forma o fracție egipteană egală cu una . Dacă numerele naturale sunt împărțite în r > 0 subseturi disjuncte, atunci cel puțin unul dintre ele conține un subset S astfel încât:

\sum _{n\in S}{\frac {1}{n}}=1

{\ displaystyle \ sum _ {n \ in S} {\ frac {1} {n}} = 1}

\ sum _ {{n \ in S}} {\ frac {1} {n}} = 1

Conjectura prezice, de asemenea, că mulțimea S poate fi limitată la numere întregi nu mai mari de b ^r , pentru o constantă b astfel încât e ≤ b ≤ e ^{167 000} e r să fie suficient de mare. ^[1] Conjectura a fost dovedită în 2003 de matematicianul englez Ernie Croot .

Problema lui Znám este legată de fracțiile egiptene, în special cazul

\sum {\frac {1}{x_{i}}}+\prod {\frac {1}{x_{i}}}=1.

{\ displaystyle \ sum {\ frac {1} {x_ {i}}} + \ prod {\ frac {1} {x_ {i}}} = 1.}

{\ displaystyle \ sum {\ frac {1} {x_ {i}}} + \ prod {\ frac {1} {x_ {i}}} = 1.}

Fracțiile egiptene necesită în mod normal ca toți numitorii să fie diferiți, dar această cerință poate fi eliminată pentru a permite numitori egali între ei. Cu toate acestea, acest tip de definiție nu ne permite să construim fracții egiptene de lungime mai mică pentru fiecare număr. Cu toate acestea, este posibilă transformarea unei fracțiuni egiptene cu numitori repetați într-una clasică, cu o formulă de genul

Exemplu numeric

${\frac {1}{3}}+{\frac {1}{3}}={\frac {1}{3}}+{\frac {1}{3+1}}+{\frac {1}{3(3+1)}}={\frac {1}{3}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{12}}$ ${\ displaystyle {\ frac {1} {3}} + {\ frac {1} {3}} = {\ frac {1} {3}} + {\ frac {1} {3 + 1}} + { \ frac {1} {3 (3 + 1)}} = {\ frac {1} {3}} + {\ frac {1} {4}} + {\ frac {1} {12}}}$ ${\ frac {1} {3}} + {\ frac {1} {3}} = {\ frac {1} {3}} + {\ frac {1} {3 + 1}} + {\ frac { 1} {3 (3 + 1)}} = {\ frac {1} {3}} + {\ frac {1} {4}} + {\ frac {1} {12}}$

{\frac {1}{a}}+{\frac {1}{a}}={\frac {1}{a}}+{\frac {1}{a+1}}+{\frac {1}{a(a+1)}}.

{\ displaystyle {\ frac {1} {a}} + {\ frac {1} {a}} = {\ frac {1} {a}} + {\ frac {1} {a + 1}} + { \ frac {1} {a (a + 1)}}.}

{\ displaystyle {\ frac {1} {a}} + {\ frac {1} {a}} = {\ frac {1} {a}} + {\ frac {1} {a + 1}} + { \ frac {1} {a (a + 1)}}.}

Graham, în 1964 , a definit care numere pot fi exprimate sub forma unei fracții egiptene cu numitori crescuți la n . În special, cu n = 2 , matematicianul a constatat că un număr rațional q poate fi exprimat ca suma fracțiilor cu exponenți pătratici dacă și numai dacă este inclus în interval

\left[0,{\frac {\pi ^{2}}{6}}-1\right)\cup \left[1,{\frac {\pi ^{2}}{6}}\right).

{\ displaystyle \ left [0, {\ frac {\ pi ^ {2}} {6}} - 1 \ right) \ cup \ left [1, {\ frac {\ pi ^ {2}} {6}} \ dreapta).}

{\ displaystyle \ left [0, {\ frac {\ pi ^ {2}} {6}} - 1 \ right) \ cup \ left [1, {\ frac {\ pi ^ {2}} {6}} \ dreapta).}

Extinderea Engel , numită și produs egiptean, este un anumit tip de fracțiune egipteană în care fiecare numitor este multiplu al precedentului:

{\frac {a}{b}}={\frac {1}{k}}+{\frac {1}{n\cdot k}}+{\frac {1}{n\cdot (mk)}}+\cdots .

{\ displaystyle {\ frac {a} {b}} = {\ frac {1} {k}} + {\ frac {1} {n \ cdot k}} + {\ frac {1} {n \ cdot ( mk)}} + \ cdots.}

{\ displaystyle {\ frac {a} {b}} = {\ frac {1} {k}} + {\ frac {1} {n \ cdot k}} + {\ frac {1} {n \ cdot ( mk)}} + \ cdots.}

Probleme deschise

Conjectura Erdős-Straus .

Chiar și astăzi, unele probleme legate de satele egiptene rămân nerezolvate. Cel mai cunoscut este

conjectura Erdős - Straus care ia în considerare cea mai scurtă expansiune posibilă în ceea ce privește fracțiile de tip ${\textstyle {\frac {4}{n}}}$ ${\ textstyle {\ frac {4} {n}}}$ ${\ textstyle {\ frac {4} {n}}}$ . În special, extinderea

\forall n\in \mathbb {N^{*}} \qquad {\frac {4}{n}}={\frac {1}{a}}+{\frac {1}{b}}+{\frac {1}{c}}.

{\ displaystyle \ forall n \ in \ mathbb {N ^ {*}} \ qquad {\ frac {4} {n}} = {\ frac {1} {a}} + {\ frac {1} {b} } + {\ frac {1} {c}}.}

{\ displaystyle \ forall n \ in \ mathbb {N ^ {*}} \ qquad {\ frac {4} {n}} = {\ frac {1} {a}} + {\ frac {1} {b} } + {\ frac {1} {c}}.}

A fost verificat pentru toate n <10 ¹⁴ , dar încă nu există o certitudine matematică a valorii adevărului acestei conjecturi.

Notă

^ Croot, Ernest S., III, On a color conjecture about unit fractions ( PDF ), în Annals of Mathematics , vol. 157, nr. 2, 2003, pp. 545–556, DOI : 10.4007 / annals.2003.157.545 , arXiv : math.NT / 0311421 .

Bibliografie

( EN ) Michael M. Anshel și Dorian Goldfeld , Partiții, fracțiuni egiptene și produse gratuite ale grupurilor abeliene finite , în Proceedings of the American Mathematical Society , vol. 111, nr. 4, 1991, pp. 889–899, DOI : 10.1090 / S0002-9939-1991-1065083-1 , MR 1065083 .
( EN ) L. Beeckmans, Algoritmul de divizare pentru fracțiile egiptene , în Journal of Number Theory , vol. 43, nr. 2, 1993, pp. 173–185, DOI : 10.1006 / jnth.1993.1015 , MR 1207497 .
( FR ) Evert M. Bruins, Platon et la table 2 / n égyptiennes , în Janus , vol. 46, 1957, pp. 253-263.
(RO) Richard K. Guy , D11. Fracțiuni egiptene , în Probleme nerezolvate în teoria numerelor , 3rd, Springer-Verlag, 2004, pp. 252-262, ISBN 978-0-387-20860-2 .
(EN) Richard J. Gillings, Matematica în timpul faraonilor, Dover, 1982, ISBN 0-486-24315-X .

Elemente conexe

Alte proiecte

Wikimedia Commons conține imagini sau alte fișiere pe fracțiune egipteană

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică

[1] Croot, Ernest S., III, On a color conjecture about unit fractions ( PDF ), în Annals of Mathematics , vol. 157, nr. 2, 2003, pp. 545–556, DOI : 10.4007 / annals.2003.157.545 , arXiv : math.NT / 0311421 .

[1]