Prezentare istorică a notațiilor matematice
Prezentarea istorică a notațiilor matematice , în plus față de furnizarea unor informații cu privire la matematică , încearcă să prezinte problemele care au însoțit și încă apar pentru alegerea notațiilor și modul în care acestea sunt legate de întrebări de bază despre scopul, domeniul de aplicare și despre semnificații a disciplinei. Alegerea notațiilor este deci de o mare importanță.
Istorie
Istoria notațiilor pentru numerele întregi naturale are o serie de discrepanțe și gânduri secundare și doar pentru câteva secole a înregistrat prevalența notațiilor poziționale în baza 10 , un sistem zecimal în care valoarea atribuită unei cifre depinde și de poziția sa .
Primele civilizații au folosit replici ale obiectelor simple: pietricele (în latină „calcul”, din care calcul), scoici, noduri pe corzi, crestături pe tije de lemn și mai ales degete (de unde și termenul „digital”). Cu un singur obiect, totuși, este împovărător să exprimăm un număr mare; apoi au fost introduse semne diferite pentru a indica valori diferite, urmând principiul adăugării prin juxtapunere.
Babilon
Notări de acest fel sunt cele mai vechi notații babiloniene ; deschid utilizarea scalei zecimale și a scalei sexagesimale (preferată datorită numărului mare de divizori de 60, utilă pentru calculele astronomice). Ca parte a practicii scrierii cuneiforme , babilonienii au dezvoltat notații avansate, care pot fi calificate drept combinații elaborate și raționale de semne simple. Aceștia adoptă, de asemenea, principiul înmulțirii și scăderii și, spre secolul al II-lea î.Hr. , reușesc parțial să folosească instrumentul redutabil care sa dovedit a fi zero , dominând astfel calculele complexe, abordând probleme algebrice și trigonometrice elaborate, compilând tabele astronomice complete. .
Zona mediteraneană
Notațiile numerice ale celorlalte popoare străvechi din zona mediteraneană , care nu sunt foarte potrivite pentru calcule, vezi scara zecimală prevalează; există variante sensibile pentru simbolurile care favorizează diferențele. Acest lucru se întâmplă și egiptenilor care dețineau cunoștințe matematice considerabile, dar foloseau trei forme de notație (hieroglifică, hieratică și demotică).
Cu fenicienii , siriacii și evreii , cardinalul corespunzător începe să fie asociat cu pozițiile literelor din alfabet; această atitudine se dovedește a nu fi foarte rațională.
Dintre greci , până în secolul al V-lea î.Hr. , prevalează semnele numite „Herodian” sau „Mansardă”, care folosesc 6 inițiale ale numelor primilor numere întregi și litere, sau combinațiile acestora pentru a reprezenta cifre majore. Ulterior, probabil datorită contactelor cu fenicienii, predomină o notație care folosește cele 24 de litere ale alfabetului și patru semne speciale (cu semnul M denotând 10.000). În acest caz, predomină un simbolism matematic concis, dar neclar și inoperant. Pentru notațiile astronomice, grecii continuă să folosească fracțiile sexagesimale ale babilonienilor.
Imperiul Roman
Romanii, probabil influențați de etrusci și greci , folosesc notații care folosesc câteva litere mari și principiile adunării și scăderii: de exemplu, CCCLVII pentru 300 + 50 + 5 + 2 = 357, CIL pentru 100-1 + 50 = 149 . Principiul scăderii este puternic și influențează expresiile verbale precum: "undeviginti pentru 19" și "duodequadraginta pentru 38". Uneori se adoptă și principiul multiplicării: de exemplu, XCII.M cu 92.000 și CX.M cu 110.000. Multiplii de 1000 se exprimă prin plasarea unei bare deasupra numărului de mii, deși acest lucru favorizează falsificarea.
La fel ca notațiile grecilor, cifrele romane sunt, de asemenea, nepotrivite pentru calcule, dar, cu toate acestea, în Europa, ele rămân, de asemenea, utilizate pentru contabilitate și pentru a exprima fracții până în secolul al XVII-lea , cu mult dincolo de începutul difuzării numerelor indo-arabe superioare. . .
America
Maya din America Centrală , începând de la începutul erei creștine, dezvoltă notații numerice și cronologice foarte evoluate, grație stăpânirii zero, reprezentată de pictograma unui ochi pe jumătate închis. Scara vigesimală urmează cu o variantă: deasupra unității cele douăzeci (" uinal "), apoi 18 "uinal" dau un "tun" de 360 de unități (număr apropiat de zilele unui an), și deasupra multiplilor 7200, 144,000 și 2.880.000. Urmează principiul pozițional și exprimă clar numerele întregi de la 1 la 19 cu un punct ori 1 și o bară ori 5.
Unele popoare antice au exprimat numere cu frânghii înnodate. Incasii peruvieni au dezvoltat proceduri elaborate folosind quipu (o frânghie răsucită de care sunt legate fire de lână colorate, cu noduri) care urmează scara zecimală și au codificat, de asemenea, cunoștințe astronomice complexe. Aztecii , pe de altă parte, au adoptat notații pictografice și scara vigesimală.
China
Vechii chinezi codificau și numere cu frânghii și noduri. Ulterior au adoptat trei notații diferite: cifre vechi (adoptate și de japonezi ), cifre comerciale și cifre științifice. Acestea din urmă se bazează pe bare verticale și orizontale: indică diferit numerele de la 1 la 9 și cele de la 10 la 90 și sunt capabile să controleze numerele mai mari urmând principiul pozițional.
India
Cel mai probabil, notațiile de poziție cu utilizarea zero (cea zecimală este prevalentă în prezent) provin din sistemul de numerotare indian din secolele al V -lea și al VI-lea . Brahmagupta ( 598ca - 670 ) explică modul de operare cu zero și cu cifre pozitive (avere) și negative (datorii). Mai multe documente indiene sunt din 813 și 867 . Arabii din secolele al IX-lea și al X- lea știu să stăpânească notațiile hindușilor, dar se folosesc notații care sunt foarte diferite de arabii estici și occidentali („cifre gobar”).
Europa medievală
Cifrele indo-arabe apar pentru prima dată în Europa în Spania în 976 . Gerbert d'Aurillac , după ce a studiat matematică și astronomie în Spania și înainte de a deveni papa Silvestru al II-lea ( 999 - 1003 ), în 980ca . prezintă utilizarea lor prin intermediul unui abac .
Notările indo-arabe întâmpină însă rezistență și opoziție; comercianții și bancherii sunt suspicioși, care se tem că favorizează înșelăciunea și falsificarea. Traducerea latină intitulată Algoritmi de numero Indorum a textului popular aritmetic de al Khwarizmi ( 780ca - 850 ) a contribuit la difuzarea lor. Un sprijin puternic vine de la Liber abbaci al lui Leonardo Pisano , numit „Fibonacci” ( 1170 - 1250 ). Cu toate acestea, aceste notații au fost impuse doar în anii 1500 și 1600. Ipotezele privind legătura dintre forma grafică și semnificația figurilor utilizate sunt multe, dar se bazează pe foarte puține fapte documentate.
Europa renascentistă și modernă
Notările utilizate în prezent au origini diferite: de exemplu, fricțiunile dintre europenii britanici și continentali au întârziat adoptarea în Anglia a notațiilor infinitesimale din Leibniz și a școlilor franceze și elvețiene. Notările, cu excepția pictografiilor, trec granițele mai puțin ușor decât ideile. Semnele + și - convenabile, care au evoluat în Germania în secolul al XV-lea , au fost adoptate în Franța în 1550 și în Italia în 1608 , datorită imigrantului Clavius .
O situație conflictuală care a apărut în diferite perioade privește alegerea între „expunere retorică” și „expunere simbolică”. Algebrii italieni își prezintă rezultatele în formă „retorică” (adică verbală), cu unele concesii la algebra „sincopată” (adoptată deja de Diofantul Alexandriei în secolul al IV-lea ) cu utilizarea abrevierilor și a simbolurilor derivate din acestea. Obiceiul competițiilor dintre matematicieni care se provocă reciproc în rezolvarea unor ecuații algebrice particulare și nu intenționează să dezvăluie procedurile lor generale, conduce la expuneri „ezoterice”, exprimate într-un limbaj cheie, care vizează manifestarea superiorității intelectuale a autorului fără acordare impartasire de cunostinte. De exemplu, Tartaglia ( 1499 - 1557 ) prezintă soluția unei ecuații de gradul III în formă metaforică, luându-se asupra sa să o expună în triplete de hendecasilabe.
Cu toate acestea, dezvoltarea algebrei renascentiste duce la o bună conștientizare a oportunității de a folosi simboluri semnificative și la dezvoltarea simbolismului lui François Viète și al succesorilor săi. „Retorica” și „simboliștii” se opun reciproc în expozițiile geometriei de bază: după primele ediții ale Elementelor fără simboluri ale lui Euclid , tendința spre simbolism s-a dezvoltat cu Pierre Hérigone , William Oughtred și Johann Heinrich Rahn (sec. XVII) și schematizarea marcată a demonstrațiilor. Thomas Hobbes susține că simbolurile din tratatul lui John Wallis , un elev al lui Oughtred, de pe secțiunile conice scurtează expunerea, dar o fac mai puțin de înțeles; dar Isaac Barrow publică o nouă ediție a Elementelor cu un simbolism abundent, de asemenea, pentru a avea un volum mai compact și mai comercializabil.
Europa contemporană
Spre sfârșitul secolului al XVIII-lea există ediții ale Elementelor și considerații metodologice mai echilibrate, dar în Anglia controversa continuă până în 1900. În timp ce uniformitatea notațiilor a fost visul multor matematicieni (un nume pentru toți, Leibniz), predominantul individualismul a contribuit în schimb la discrepanța scripturilor. În jurul anului 1900 s-au făcut câteva încercări de standardizare, cu puțin succes: un comitet pentru standardizarea notațiilor pentru calculul vectorial, înființat în 1889 , dizolvat odată cu primul război mondial , fără a fi formulat nicio propunere incisivă. În această perioadă, însă, mișcările de standardizare din disciplinele învecinate au avut succes: astronomie, științe actuariale, fizică, electrotehnică etc.
Notări pentru alte entități matematice
Notările matematice au evoluții tulburi, cu modificări și motivații ale cărora s-au pierdut aproape fiecare urmă; se pot face doar generalizări empirice. Multe simboluri derivă din abrevieri de cuvinte și sunt motivate de ocazia de a evita, cu concizie, lungele întorsături dispersive ale frazei; printre inițialele care se impun: „p”; pentru periferia cercului unitar, "d" pentru diferențiat , "i" pentru imaginar . Abrevierile utilizate pe scară largă includ „lim” pentru limită , „log” pentru logaritmul la baza 10, „exp” pentru e , „sin” pentru funcția sinusoidală , „cos” pentru funcția cosinus , „tan” pentru tangentă funcție, "sec" pentru funcția secantă .
Multe abrevieri sunt modificate pentru a lua forme mai evidente, adesea florescente, și pentru a trece la simboluri ideografice. Exemplele sunt „+” derivate din et , semnul integral „∫” din summa , tilde alungită pentru similis . Se folosesc apoi simboluri pictografice precum cele care indică triunghi , pătrat , cerc , paralelism , unghi . În schimb, putem considera paranteze „()“ agregare care indică, „=“ pentru egalitate, semnele pentru și , prin urmare , având în vedere că și utilizarea de litere pentru a desemna numere generice și cantități nedefinite sau necunoscute. Multe simboluri își propun să facă relațiile logice și conceptele mai evidente pentru minte.
Altele se datorează unor motive practice: „x” pentru multiplicare a fost adoptat de tipografi, care pur și simplu au rotit pumnul „+”. Invențiile documentate au fost preponderent individualiste și până în ultimii ani rareori s-au căutat acorduri privind adoptarea simbolurilor care ar putea satisface comunitățile mari. O excepție este Leibniz care, în conformitate cu programul său care vizează identificarea unui limbaj care ar reduce raționamentul la calcule formale („ Caracteristica universală ”), a menținut contactul cu principalii matematicieni ai timpului său cu scopul de a identifica simboluri acceptabile pe scară largă. Un avantaj al unor simboluri este adaptabilitatea lor la progresul cunoașterii: de exemplu, semnul integral a reușit să se îmbogățească pentru a denota integrale definite. Un alt merit este abilitatea de a stimula investigațiile care permit generalizări: acesta este cazul exponentului puterilor, mai întâi numai întreg pozitiv, apoi real și complex. Dintre inventatorii de simboluri, doar Euler și Leibniz se laudă cu multe simboluri care au supraviețuit.
Notatii matematice cu tehnologii noi
În vremuri mai recente, dezvoltarea TIC aduce noi probleme și noi oportunități și pentru documentarea matematică. Răspândirea sistemului tipografic TeX , creat de Donald Knuth începând cu sfârșitul anilor șaptezeci, a avut o influență notabilă: acest produs software a făcut ca tipografia matematică personală la nivel înalt să fie tot mai practicată, ajută la reducerea diferențelor în pregătirea formulelor, și a favorizat circulația cunoștințelor matematice prin canale digitale.
Pe măsură ce World Wide Web crește, sunt dezvoltate containere mari de cunoștințe matematice online, precum MathWorld Encyclopedia de Eric Weisstein și Enciclopedia on-line a secvențelor întregi de Neil Sloane . Se dezvoltă jurnale electronice și inițiative pentru biblioteci digitale deschise , arhive mari de documente accesibile pe net: Biblioteca digitală matematică este proiectul internațional pentru rețeaua tuturor literaturii matematice.
În 1997 , în cadrul consorțiului W3C , a fost începută definiția MathML , un limbaj de aplicație XML pentru inserarea formulelor matematice în paginile web. Din 2002, proiectele de management al cunoștințelor matematice au început să fie definite. Toate aceste inițiative abordează problemele de standardizare a notațiilor matematice.
Jucătorii industriali joacă, de asemenea, un rol important în aceste evoluții: sistemele CAS pentru calcul numeric, simbolic și grafic (cum ar fi Mathematica și Maple ) tind să-și impună propriile simboluri, în special acronime care corespund identificatorilor lor de rutină.
Bibliografie
- Florian Cajori (1928-1929): A History of Mathematical Notations , Dover Publications, 1993, ISBN 0486677664
