Sistem de numere ternare echilibrat

( EN ) „Poate că cel mai frumos sistem numeric dintre toate este notația ternară echilibrată”	( IT ) „Poate că cel mai frumos sistem numeric dintre toate este notația ternară echilibrată”
( Donald E. Knuth )

Ternarul echilibrat este un sistem de numere poziționale non-standard. Este un sistem de bază 3, care, spre deosebire de sistemul ternar standard, folosește -1, 0 și 1 ca cifre în loc de 0, 1 și 2. Puterile lui 3 utilizate pentru a reprezenta numărul pot avea deci un pozitiv, nul sau negativ coeficient.

Următorul tabel listează primele 12 numere scrise în sistemul zecimal echilibrat, ternar și ternar (simbolul 1 este utilizat pentru a reprezenta cifra -1).

Zecimal	Ternar	Ternar echilibrat
$1$ ${\ displaystyle 1}$ $1$	$1$ ${\ displaystyle 1}$ $1$	$1$ ${\ displaystyle 1}$ $1$
$2$ ${\ displaystyle 2}$ $2$	$2$ ${\ displaystyle 2}$ $2$	$1{\bar {1}}$ ${\ displaystyle 1 {\ bar {1}}}$ $1 {\ bar {1}}$
$3$ ${\ displaystyle 3}$ $3$	$10$ ${\ displaystyle 10}$ $10$	$10$ ${\ displaystyle 10}$ $10$
$4$ ${\ displaystyle 4}$ $4$	$11$ ${\ displaystyle 11}$ $11$	$11$ ${\ displaystyle 11}$ $11$
$5$ ${\ displaystyle 5}$ $5$	$12$ ${\ displaystyle 12}$ $12$	$1{\bar {1}}{\bar {1}}$ ${\ displaystyle 1 {\ bar {1}} {\ bar {1}}}$ $1 {\ bar {1}} {\ bar {1}}$
$6$ ${\ displaystyle 6}$ $6$	$20$ ${\ displaystyle 20}$ $20$	$1{\bar {1}}0$ ${\ displaystyle 1 {\ bar {1}} 0}$ $1 {\ bar {1}} 0$
$7$ ${\ displaystyle 7}$ $7$	$21$ ${\ displaystyle 21}$ $21$	$1{\bar {1}}1$ ${\ displaystyle 1 {\ bar {1}} 1}$ $1 {\ bar {1}} 1$
$8$ ${\ displaystyle 8}$ $8$	$22$ ${\ displaystyle 22}$ $22$	$10{\bar {1}}$ ${\ displaystyle 10 {\ bar {1}}}$ $10 {\ bar {1}}$
$9$ ${\ displaystyle 9}$ $9$	$100$ ${\ displaystyle 100}$ $100$	$100$ ${\ displaystyle 100}$ $100$
$10$ ${\ displaystyle 10}$ $10$	$101$ ${\ displaystyle 101}$ $101$	$101$ ${\ displaystyle 101}$ $101$
$11$ ${\ displaystyle 11}$ $11$	$102$ ${\ displaystyle 102}$ $102$	$11{\bar {1}}$ ${\ displaystyle 11 {\ bar {1}}}$ $11 {\ bar {1}}$
$12$ ${\ displaystyle 12}$ $12$	$110$ ${\ displaystyle 110}$ $110$	$110$ ${\ displaystyle 110}$ $110$
$13$ ${\ displaystyle 13}$ ${\ displaystyle 13}$	$111$ ${\ displaystyle 111}$ ${\ displaystyle 111}$	$111$ ${\ displaystyle 111}$ ${\ displaystyle 111}$
$14$ ${\ displaystyle 14}$ ${\ displaystyle 14}$	$112$ ${\ displaystyle 112}$ ${\ displaystyle 112}$	$1{\bar {1}}{\bar {1}}{\bar {1}}$ ${\ displaystyle 1 {\ bar {1}} {\ bar {1}} {\ bar {1}}}$ ${\ displaystyle 1 {\ bar {1}} {\ bar {1}} {\ bar {1}}}$

Aritmetic

Plus

Tabelul de adăugare este foarte simplu, ținând cont de faptul că puteți avea un report negativ

{\begin{array}{cc}1&+\\0&=\\\hline 1&\\\end{array}}\ {\begin{array}{cc}1&+\\1&=\\\hline 1{\bar {1}}&\\\end{array}}\ {\begin{array}{cc}1&+\\{\bar {1}}&=\\\hline 0&\\\end{array}}\ {\begin{array}{cc}{\bar {1}}&+\\{\bar {1}}&=\\\hline {\bar {1}}1&\\\end{array}}

{\ displaystyle {\ begin {array} {cc} 1 & + \\ 0 & = \\\ hline 1 & \\\ end {array}} \ {\ begin {array} {cc} 1 & + \\ 1 & = \\\ hline 1 {\ bar {1}} & \\\ end {array}} \ {\ begin {array} {cc} 1 & + \\ {\ bar {1}} & = \\\ hline 0 & \\\ end {array}} \ {\ begin {array} {cc} {\ bar {1}} & + \\ {\ bar {1}} & = \\\ hline {\ bar {1 }} 1 & \\\ end {array}}}

{\ begin {array} {cc} 1 & + \\ 0 & = \\\ hline 1 & \\\ end {array}} \ {\ begin {array} {cc} 1 & + \\ 1 & = \ \\ hline 1 {\ bar {1}} & \\\ end {array}} \ {\ begin {array} {cc} 1 & + \\ {\ bar {1}} & = \\\ hline 0 & \\\ end {array}} \ {\ begin {array} {cc} {\ bar {1}} & + \\ {\ bar {1}} & = \\\ hline {\ bar {1}} 1 & \\\ end {array}}

Scădere

Scăderea se face inversând cifrele numărului de scăzut și adăugând.

Multiplicare

Înmulțirea se face, de asemenea, destul de simplu, reducându-se la o serie de modificări și adăugiri de semne, ca în exemplul următor, în care se efectuează operația 23 × 17 = 391:

{\begin{aligned}&10{\bar {1}}{\bar {1}}\ \times \\&1{\bar {1}}0{\bar {1}}\ =\\\hline &{\bar {1}}011\\0&000\\{\bar {1}}0&11\\10{\bar {1}}&{\bar {1}}\\\hline 1{\bar {1}}{\bar {1}}&{\bar {1}}111\end{aligned}}

{\ displaystyle {\ begin {align} & 10 {\ bar {1}} {\ bar {1}} \ \ times \\ & 1 {\ bar {1}} 0 {\ bar {1}} \ = \ \\ hline & {\ bar {1}} 011 \\ 0 & 000 \\ {\ bar {1}} 0 & 11 \\ 10 {\ bar {1}} & {\ bar {1}} \\\ hline 1 {\ bar {1}} {\ bar {1}} și {\ bar {1}} 111 \ end {align}}}

{\ displaystyle {\ begin {align} & 10 {\ bar {1}} {\ bar {1}} \ \ times \\ & 1 {\ bar {1}} 0 {\ bar {1}} \ = \ \\ hline & {\ bar {1}} 011 \\ 0 & 000 \\ {\ bar {1}} 0 & 11 \\ 10 {\ bar {1}} & {\ bar {1}} \\\ hline 1 {\ bar {1}} {\ bar {1}} și {\ bar {1}} 111 \ end {align}}}

Numere negative

Sistemul ternar echilibrat nu are nevoie de un semn minus pentru a reprezenta numere negative. Pentru a schimba semnul unui număr, trebuie doar să schimbați semnul cifrelor sale.

1{\bar {1}}1{\bar {1}}=20

{\ displaystyle 1 {\ bar {1}} 1 {\ bar {1}} = 20}

1 {\ bar {1}} 1 {\ bar {1}} = 20

{\bar {1}}1{\bar {1}}1=-20

{\ displaystyle {\ bar {1}} 1 {\ bar {1}} 1 = -20}

{\ bar {1}} 1 {\ bar {1}} 1 = -20

Posibilitatea reprezentării numerelor negative are, de asemenea, un cost pentru cifrele care trebuie utilizate în comparație cu sistemul ternar standard, de fapt, pentru a reprezenta un număr generic n în sistemul ternar echilibrat este necesar $int[log_{3}({2\left\vert n\right\vert })]$ ${\ displaystyle int [log_ {3} ({2 \ left \ vert n \ right \ vert})]}$ ${\ displaystyle int [log_ {3} ({2 \ left \ vert n \ right \ vert})]}$ cifre, mai mari sau cel mult egale cu $int[log_{3}({\left\vert n\right\vert })]+1$ ${\ displaystyle int [log_ {3} ({\ left \ vert n \ right \ vert})] + 1}$ ${\ displaystyle int [log_ {3} ({\ left \ vert n \ right \ vert})] + 1}$ cifre în sistemul ternar standard.

Alte proiecte

Wikimedia Commons conține imagini sau alte fișiere pe ternar echilibrat

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică

V · D · M Sisteme de numerotare
După bază	Unar (1) · Binar (2) · ternar (3) · Ternar echilibrat (3) · Cuaternar (4) · Quinarius (5) · Senario (6) · Septenar (7) · Octal (8) · Nonario (9) · Zecimal (10) · Ieftin (12) · Hex (16) · vigesimal (20) · Sexagesimal (60)
După cultură	Cifre arabe · Numere armenii · Numere babiloniene · Numere chineze · Numere chirilice · Numere evreiești · Numere egiptene · Numere georgiene · japonez numere · numere glagolitice · Numere grecești · Numeri incașe · Numere indiene · Numere mayașe · cifre romane · Numere persane · Numere Thai
Lista sistemelor de numerotare