Conjectura Erdős-Straus

Conjectura Erdős-Straus afirmă că pentru orice număr întreg $n\geq 2$ ${\ displaystyle n \ geq 2}$ $n \ geq 2$ , numărul rațional 4 / n poate fi scris ca suma a trei fracții unitare , adică există trei numere întregi pozitive $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ , $b$ ${\ displaystyle b}$ $b$ Și $c$ ${\ displaystyle c}$ $c$ astfel încât

{\frac {4}{n}}={\frac {1}{a}}+{\frac {1}{b}}+{\frac {1}{c}}

{\ displaystyle {\ frac {4} {n}} = {\ frac {1} {a}} + {\ frac {1} {b}} + {\ frac {1} {c}}}

{\ displaystyle {\ frac {4} {n}} = {\ frac {1} {a}} + {\ frac {1} {b}} + {\ frac {1} {c}}}

Suma acestor fracții unitare este o reprezentare ca o fracție egipteană a numărului 4 / n . De exemplu, pentru n = 1801, există o soluție cu x = 451, y = 295364 și z = 3249004:

{\frac {4}{1801}}={\frac {1}{451}}+{\frac {1}{295364}}+{\frac {1}{3249004}}.

{\ displaystyle {\ frac {4} {1801}} = {\ frac {1} {451}} + {\ frac {1} {295364}} + {\ frac {1} {3249004}}.

{\ displaystyle {\ frac {4} {1801}} = {\ frac {1} {451}} + {\ frac {1} {295364}} + {\ frac {1} {3249004}}.}

Înmulțirea ambelor părți ale ecuației cu nxyz dă ecuația echivalentă diofantină 4 xyz = n ( xy + xz + yz ). Restricția x , y și z la numere pozitive este crucială pentru dificultatea problemei, deoarece, dacă s-ar permite valori negative, problema ar putea fi rezolvată în mod trivial prin una dintre cele două identități 4 / (4 k +1 ) = 1 / k - 1 / k (4 k +1) și 4 / (4 k -1) = 1 / k + 1 / k (4 k -1).

Dacă n este un număr compus , n = pq , atunci s-ar putea găsi imediat o soluție ca suma fracțiilor egiptene pentru 4 / n din soluția pentru 4 / p sau pentru 4 / q . Prin urmare, dacă există contraexemple la conjectura Erdős - Straus, cel mai mic trebuie să fie în mod necesar un număr prim .

Paul Erdős și Ernst G. Straus au formulat conjectura în 1948 (a se vedea, de exemplu, Elsholtz), dar prima referință dezvăluită pare a fi o publicație Erdős din 1950 .

Verifica

Conjectura Erdős-Straus a fost verificată de Swett (prin tehnici de forță brută și exploatarea identităților similare celei indicate mai jos) pentru fiecare $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ până la $10^{14}$ ${\ displaystyle 10 ^ {14}}$ ${\ displaystyle 10 ^ {14}}$ .

Unele clase de numere pot fi verificate imediat prin identități algebrice. De exemplu:

{\frac {4}{(2+3x)}}={\frac {1}{2+3x}}+{\frac {1}{1+x}}+{\frac {1}{(1+x)(2+3x)}}

{\ displaystyle {\ frac {4} {(2 + 3x)}} = {\ frac {1} {2 + 3x}} + {\ frac {1} {1 + x}} + {\ frac {1} {(1 + x) (2 + 3x)}}}

{\ displaystyle {\ frac {4} {(2 + 3x)}} = {\ frac {1} {2 + 3x}} + {\ frac {1} {1 + x}} + {\ frac {1} {(1 + x) (2 + 3x)}}}

ceea ce implică asta, pentru fiecare $n\equiv 2{\pmod {3}}$ ${\ displaystyle n \ equiv 2 {\ pmod {3}}}$ ${\ displaystyle n \ equiv 2 {\ pmod {3}}}$ , primul membru poate fi reprezentat ca suma a trei fracții unitare.

Bibliografie

Richard K. Guy, Probleme nerezolvate în teoria numerelor, ediția a II-a , Springer-Verlag, New York, 1994, ISBN 0387208607 , §D11
LJ Mordell, ecuații diofantine (1969)
LA Rosati, Despre ecuația diofantină 4 / n = 1 / x ₁ + 1 / x ₂ + 1 / x ₃ , Bull. Un. Mat. Ital. (3) 9 (1954) 59-63; MR 15, 684

Elemente conexe

linkuri externe

Site-ul web al lui Swett Arhivat 3 august 2006 la Internet Archive . cu informații despre verificarea conjecturii
Erdos-Straus Conjecture - Pagina MathWorld despre presupuneri.

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică