Succesiunea Sylvester

Succesiunea lui Sylvester este formată din numitorii unei fracții egiptene primare (este suma fracțiilor care au numărător la unitate și pentru a denumi întregi numere întregi pozitive distincte între ele, de exemplu ^{_^1/2} + ^_1/3. Se arată că orice număr rațional pozitiv, a / b, poate fi scris ca o fracție egipteană).

Suma fracțiilor obținute prin plasarea numerelor secvenței Sylvester în numitor tinde la 1. Primii ei termeni sunt

2 , 3 , 7 , 43 , 1807, 3263443, 10650056950807, 113423713055421844361000443 ^[1]

Condițiile succesiunii pot fi calculate astfel:

a_{n}=1+\prod _{i=0}^{n-1}a_{i}=1+(a_{n-1})^{2}-a_{n-1}

{\ displaystyle a_ {n} = 1 + \ prod _ {i = 0} ^ {n-1} a_ {i} = 1 + (a_ {n-1}) ^ {2} -a_ {n-1} }

{\ displaystyle a_ {n} = 1 + \ prod _ {i = 0} ^ {n-1} a_ {i} = 1 + (a_ {n-1}) ^ {2} -a_ {n-1} }

.

Punând 1 ca numărător la aceste numere și adăugând treptat rezultatele fracțiilor astfel obținute, obținem o sumă care converge la 1, așa cum se arată în tabelul următor:

2	1/2 ...	1/2	0,5
3	... + 1/3 ...	5/6	0,833 ...
7	... + 1/7 ...	41/42	0.976190476190476 ...
43	... + 1/43 ...	1805/1806	0.99944629014396456257 ...
1807	... + 1/1807 ...	3263441/3263442	0.99999969357506583540 ...
3263443	... + 1/3263443 ...	10650056950805/10650056950806	0.9999999999999990610379 ...
10650056950807	... + 1/10650056950807 ...	113423713055421844361000441 113423713055421844361000442	0.9999999999999999999999 ...

Putem apoi să scriem

\lim _{n\to \infty }\sum _{i=0}^{n}{1 \over {a_{i}}}=1

{\ displaystyle \ lim _ {n \ to \ infty} \ sum _ {i = 0} ^ {n} {1 \ over {a_ {i}}} = 1}

{\ displaystyle \ lim _ {n \ to \ infty} \ sum _ {i = 0} ^ {n} {1 \ over {a_ {i}}} = 1}

Secvența Sylvester este utilă pentru obținerea unor aproximări raționale a numerelor iraționale, folosind un algoritm lacom ( Algoritmo greedy , un algoritm de optimizare care continuă să construiască în fiecare dintre etapele sale succesive o soluție optimă locală, cu speranța de a găsi soluția optimă globală).

Deși este evident că termenii din secvența Sylvester sunt coprimi, nu se știe dacă toți sunt lipsiți de tulpină (toți termenii cunoscuți sunt).

În setul de soluții ale problemei Znám pentru o lungime dată k , este plăcut că cel puțin una dintre soluții va conține primele k - 2 numere ale secvenței Sylvester.

Notă

^ (EN) secvența A000058 , on -line Encyclopedia of Integer Sequences , Fundația OEIS.

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică

[1] (EN) secvența A000058 , on -line Encyclopedia of Integer Sequences , Fundația OEIS.

[1]